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【配套K12】2018北师大版高中数学必修一学案:第三章 5.3 对数函数的图像和性质

最新 K12 教育

5.3 对数函数的图像和性质
学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合

函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式.4.了解反函数的概念及它们的图像特点.

知识点一 y=logaf(x)型函数的单调区间 思考 我们知道 y=2f(x)的单调性与 y=f(x)的单调性相同,那么 y=log2f(x)的单调区间与 y= f(x)的单调区间相同吗?

梳理 一般地,形如函数 f(x)=logag(x)的单调区间的求法:①先求 g(x)>0 的解集(也就是函 数的定义域);②当底数 a 大于 1 时, g(x)>0 限制之下 g(x)的单调增区间是 f(x)的单调增区 间, g(x)>0 限制之下 g(x)的单调减区间是 f(x)的单调减区间; ③当底数 a 大于 0 且小于 1 时, g(x)>0 限制之下 g(x)的单调区间与 f(x)的单调区间正好相反. 知识点二 对数不等式的解法 思考 log2x<log23 等价于 x<3 吗?

梳理 一般地,对数不等式的常见类型: 当 a>1 时, f?x?>0?可省略?, ? ? log f(x)>log g(x)??g?x?>0, ?f?x?>g?x?; ?
a a

当 0<a<1 时, 教案试题

最新 K12 教育 f?x?>0, ? ? log f(x)>log g(x)??g?x?>0?可省略?, ? ?f?x?<g?x?.
a a

知识点三 不同底的对数函数图像的相对位置 思考 y=log2x 与 y=log3x 同为(0,+∞)上的增函数,都过点(1,0),怎样区分它们在同一坐 标系内的相对位置?

梳理 一般地,对于底数 a>1 的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越大越靠近 x 轴;对 于底数 0<a<1 的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越小越靠近 x 轴. 知识点四 反函数的概念 思考 如果把 y=2x 视为 A=R→B=(0, +∞)的一个映射, 那么 y=log2x 是从哪个集合到哪 个集合的映射?

梳理 一般地,像 y=ax 与 y=logax(a>0,且 a≠1)这样的两个函数互为反函数. (1)y=ax 的定义域 R,就是 y=logax 的值域,而 y=ax 的值域(0,+∞)就是 y=logax 的定义 域. (2)互为反函数的两个函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)与 y=logax(a>0, 且 a≠1)的图像关于直线 y =x 对称. (3)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.

类型一 对数型复合函数的单调性 命题角度1 求单调区间 例 1 求函数 y=log 1 (-x2+2x+1)的值域和单调区间.
2

教案试题

最新 K12 教育

反思与感悟

求复合函数的单调性要抓住两个要点:(1)单调区间必须是定义域的子集,哪

怕一个端点都不能超出定义域. (2)f(x),g(x)单调性相同,则 f(g(x))为增函数;f(x),g(x)单调性相异,则 f(g(x))为减函数,简 称“同增异减”. 跟踪训练 1 已知函数 f(x)=log 1 (-x2+2x).
2

(1)求函数 f(x)的值域; (2)求 f(x)的单调性.

教案试题

最新 K12 教育 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围 例 2 已知函数 y=log 1 (x2-ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,求实数 a 的取值范围.
2

反思与感悟 若 a>1, 则 y=logaf(x)的单调性与 y=f(x)的单调性相同, 若 0<a<1, 则 y=logaf(x) 的单调性与 y=f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练 2 若函数 f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则 a 的取值范围是( A.(0,1) C.(1,3] 类型二 对数型复合函数的奇偶性 例 3 判断函数 f(x)=ln 引申探究 a-x 若已知 f(x)=ln 为奇函数,则正数 a,b 应满足什么条件? b+x 2-x 的奇偶性. 2+x B.(1,3) D.[3,+∞) )

反思与感悟

(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他函数复合

教案试题

最新 K12 教育 成奇函数(或偶函数). (2)含对数式的奇偶性判断,一般用 f(x)± f(-x)=0 来判断,运算相对简单. 跟踪训练 3 判断函数 f(x)=lg( 1+x2-x)的奇偶性.

类型三 对数不等式 例 4 已知函数 f(x)=loga(1-ax)(a>0,且 a≠1),解关于 x 的不等式:loga(1-ax)>f(1).

反思与感悟 对数不等式解法要点: (1)化为同底 logaf(x)>logag(x). (2)根据 a>1 或 0<a<1 去掉对数符号,注意不等号方向. (3)加上使对数式有意义的约束条件 f(x)>0 且 g(x)>0. 1 跟踪训练 4 已知 A={x|log2x<2},B={x| <3x< 3},则 A∩B 等于( 3 )

教案试题

最新 K12 教育 1? A.? ?0,2? 1? C.? ?-1,2? B.(0, 2) D.(-1, 2)

4 3 1 1.如图所示,曲线是对数函数 f(x)=logax 的图像,已知 a 取 3, , , ,则对应于 C1, 3 5 10 C2,C3,C4 的 a 值依次为( )

4 3 1 A. 3, , , 3 5 10 4 3 1 C. , 3, , 3 5 10 2.如果 log 1 x ? log 1 y ? 0, 那么(
2 2

4 1 3 B. 3, , , 3 10 5 4 1 3 D. , 3, , 3 10 5 ) B.x<y<1 D.1<y<x )

A.y<x<1 C.1<x<y

3.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)等于( A.log2x C. log 1 x
2

1 B. x 2 D.2x
-2

4.已知函数 f(x)=ln

1+ax (a≠2)为奇函数,则实数 a=________. 1+2x

5.函数 f(x)=ln x2 的减区间为____________.

1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响. 2.y=ax 与 x=logay 的图像是相同的,只是为了适应习惯用 x 表示自变量,y 表示因变量, 把 x=logay 换成 y=logax,y=logax 才与 y=ax 关于 y=x 对称,因为(a,b)与(b,a)关于 y= x 对称.

教案试题

最新 K12 教育

答案精析
问题导学 知识点一 思考 y=log2f(x)与 y=f(x)的单调区间不一定相同,因为 y=log2f(x)的定义域与 y=f(x)的定 义域不一定相同. 知识点二 思考 不等价.log2x<log23 成立的前提是 log2x 有意义,即 x>0, ∴log2x<log23?0<x<3. 知识点三 思考 可以通过描点定位,也可令 y=1,对应 x 值即底数. 知识点四 思考 如图, y=log2x 是从 B=(0, +∞)到 A=R 的一个映射, 相当于 A 中元素通过 f: x→2x 对应 B 中的元素 2x,y=log2x 的作用是 B 中元素 2x 原路返回对应 A 中元素 x.

题型探究 例 1 解 设 t=-x2+2x+1,则 t=-(x-1)2+2. ∵y=log 1 t 为减函数,且 0<t≤2,
2

y=log 1 2=-1,即函数的值域为[-1,+∞).
2

又函数 log 1 (-x2+2x+1)的定义域为-x2+2x+1>0, 由二次函数的图像知 1- 2<x<1+ 2.
2

∴t=-x2+2x+1 在(1- 2,1)上递增,而在(1,1+ 2)上递减,而 y=log 1 t 为减函数.
2

∴函数 y=log 1 (-x2+2x+1)的增区间为(1,1+ 2),减区间为(1- 2,1).
2

跟踪训练 1 解 (1)由题意得-x2+2x>0,∴x2-2x<0, 由二次函数的图像知 0<x<2. 当 0<x<2 时,y=-x2+2x=-(x2-2x)∈(0,1], 教案试题

最新 K12 教育 ∴log 1 (-x2+2x)≥log 1 1=0.
2 2

∴函数 y=log 1 (-x2+2x)的值域为[0,+∞).
2

(2)设 u=-x2+2x(0<x<2),v=log 1 u,
2

∵函数 u=-x2+2x 在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,v=log 1 u 是减函数,
2

∴由复合函数的单调性得到函数 f(x)=log 1 (-x2+2x)在(0,1)上是减函数, 在(1,2)上是增函数.
2

a 1 -∞, ?上是减函数,∵0< <1,∴y=log 1 g(x)是减 例 2 解 令 g(x)=x2-ax+a,g(x)在? 2? ? 2
2

函数,而已知复合函数 y=log 1 (x2-ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,
2

∴只要 g(x)在(-∞, 2)上单调递减,且 g(x)>0 在 x∈(-∞, 2)恒成立, a ? ? 2≤2, 即? 2 ? ?g? 2?=? 2? - 2a+a≥0, ∴2 2≤a≤2( 2+1), 故所求 a 的取值范围是[2 2,2( 2+1)]. 跟踪训练 2 B [函数由 y=logau,u=6-ax 复合而成,因为 a>0,所以 u=6-ax 是减

函数,那么函数 y=logau 就是增函数,所以 a>1,因为[0,2]为定义域的子集,所以当 x=2 时,u=6-ax 取得最小值,所以 6-2a>0,解得 a<3,所以 1<a<3.故选 B.] 2-x 例3 解 由 >0 可得-2<x<2, 2+x 所以函数的定义域为(-2,2),关于原点对称. 方法一 f(-x)=ln 即 f(-x)=-f(x), 所以函数 f(x)=ln 2-x 是奇函数. 2+x 2+x 2-x 1 2-x =ln( )- =-ln =-f(x), 2-x 2+x 2+x

方法二 f(x)+f(-x) 教案试题

最新 K12 教育 2-x 2+x 2-x 2+x +ln =ln( · ) 2+x 2-x 2+x 2-x

=ln

=ln 1=0, 即 f(-x)=-f(x), 所以函数 f(x)=ln 引申探究 a-x 解 由 >0 得-b<x<a. b+x ∵f(x)为奇函数, ∴-(-b)=a,即 a=b. a-x 当 a=b 时,f(x)=ln , a+x a+x a-x f(-x)+f(x)=ln +ln a-x a+x =ln? 2-x 是奇函数. 2+x

?a+x a-x? · ? ?a-x a+x?

=ln 1=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴此时 f(x)为奇函数. 故 f(x)为奇函数时,a=b. 跟踪训练 3 解 方法一 由 1+x2-x>0 可得 x∈R,

所以函数的定义域为 R 且关于原点对称, 又 f(-x)=lg( =lg ? 1+x2+x) 1+x2-x?

1+x2+x??

1+x2-x 1 1+x2-x

=lg

教案试题

最新 K12 教育 =-lg( 1+x2-x)=-f(x),

即 f(-x)=-f(x). 所以函数 f(x)=lg( 方法二 由 f(x)+f(-x) =lg( =lg[( 1+x2-x)+lg( 1+x2-x)( 1+x2+x) 1+x2-x)是奇函数.

1+x2-x>0 可得 x∈R,

1+x2+x)]

=lg(1+x2-x2)=0, 所以 f(-x)=-f(x), 所以函数 f(x)=lg( 1+x2-x)是奇函数.

例 4 解 ∵f(x)=loga(1-ax), ∴f(1)=loga(1-a). ∴1-a>0,∴0<a<1. ∴不等式可化为 loga(1-ax)>loga(1-a).
x x ? ? ?1-a >0, ?a <1, ∴? 即? x ∴0<x<1. ?1-ax<1-a, ? ? ?a >a,

∴不等式的解集为(0,1). 跟踪训练 4 A [log2x<2,

?x>0, ? 即 log2x<log24,等价于? ? ?x<4,
∴A=(0,4). 1 x <3 < 3,即 3-1<3x< 3 2 , 3 1? 1 ∴-1<x< ,B=? ?-1,2?, 2 1? ∴A∩B=? ?0,2?.]
1

教案试题

最新 K12 教育 当堂训练 1.A 2.D 3.A

4.-2 5.(-∞,0)

教案试题


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