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《1.1.1 函数的平均变化率》同步练习3


《1.1.1 函数的平均变化率》同步练习 3
一、选择题 1.函数 y=f(x),当自变量从 x0 到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函 数( ) A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 B.在 x0 处的变化率 C.在 x1 处的变化率 D.在[x0,x1]上的变化率 [答案] A 2.函数 y=x +x 在 x=1 到 x=1+Δ x 之间的平均变化率为( A.Δ x+2 B.2Δ x+(Δ x) C.Δ x+3 D.3Δ x+(Δ x) [答案] C 3. 物体做直线运动所经过的路程 s 可表示为时间 t 的函数 s=s(t)=2t +2, 则在一小 段时间[2,2+Δ t]上的平均速度为( A.8+2Δ t B.4+2Δ t C.7+2Δ t D.-8+2Δ t [答案] A 1 4.函数 y= 在 x=1 到 x=2 之间的平均变化率为( )
2 2 2 2

)

x

)

A.-1 1 B.- 2 C.-2 D.2 [答案] B 5.函数 f(x)=2x+1 在区间[1,5]上的平均变化率为( A. 11 5 )

11 B.- 5 C.2 D.-2 [答案] C [解析] Δy f = Δx

x2 -f x1 f = x2-x1

-f 5-1

=2. )

Δy 2 6. 在曲线 y=x +1 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δ x,2+Δ y), 则 为( Δx 1 A.Δ x+ +2 Δx 1 B.Δ x- -1 Δx C.Δ x+2 1 D.Δ x- +2 Δx [答案] C [解析] Δy = Δx +Δ x
2

Δx

+1-1 -1 =Δ x+2.
2

2

7. 一质点的运动方程是 s=4-2t , 则在时间段[1,1+Δ t]内相应的平均速度是( A.2Δ t+4 B.-2Δ t+4 C.2Δ t-4 D.-2Δ t-4 [答案] D Δ s 4- [解析] = Δt +Δ t -4+2×1 =-2Δ t-4. Δt
2 2

)

1 2 3 8.在 x=1 附近,取 Δ x=0.3,在四个函数①y=x、②y=x 、③y=x 、④y= 中,平

x

均变化率最大的是( A.④ B.③ C.② D.① [答案] B

)

[解析] Δ x=0.3 时,①y=x 在 x=1 附近的平均变化率 k1=1;②y=x 在 x=1 附近 的平均变化率 k2=2+Δ x=2.3;③y=x 在 x=1 附近的平均变化率 k3=3+3Δ x+(Δ x) =
3 2

2

1 1 10 3.99;④y= 在 x=1 附近的平均变化率 k4=- =- .∴k3>k2>k1>k4.故选 B. x 1+ Δ x 13 1 2 ? 1? 9.已知曲线 y= x 和这条曲线上的一点 P?1, ?,Q 是曲线上点 P 附近的一点,则点 Q 4 ? 4? 的坐标为( )
2

1 ? A.?1+Δ x, Δ x 4 ? 1 ? B.?Δ x, Δ x 4 ?
2

? ? ?

? ? ?
2

1 ? C.?1+Δ x, Δ x+ 4 ? 1 ? D.?Δ x, 4 ? [答案] C +Δ x
2

? ? ?

? ? ?

1 2 10.函数 y=-x 、y= 、y=2x+1、y= x在 x=1 附近(Δ x 很小时),平均变化率最

x

大的一个是( A.y=-x 1 B.y=
2

)

x

C.y=2x+1 D.y= x [答案] C 1 2 [解析] y=-x 在 x=1 附近的平均变化率为 k1=-(2+Δ x);y= 在 x=1 附近的平

x

1 均变化率为 k2=- ;y=2x+1 在 x=1 附近的平均变化率为 k3=2;y= x在 x=1 附 1+ Δ x 近的平均变化率为 k4= 选 C. 二、填空题 Δy 3 11.已知函数 y=x -2,当 x=2 时, =________. Δx [答案] (Δ x) +6Δ x+12 [解析] Δy = Δx +Δ x
3 2

1 1+Δ x+1

;当 Δ x 很小时,k1<0,k2<0,0<k4<1,∴最大的是 k3.故

Δx

-2-2 +2 2 =(Δ x) +6Δ x+12.

3

1 12.函数 y= x在 x=1 附近,当 Δ x= 时平均变化率为________. 2

[答案] [解析]

6-2 Δy 1+Δ x- 1 1 = = = 6-2. Δx Δx 1+Δ x+1
2

13.已知圆的面积 S 与其半径 r 之间的函数关系为 S=π r ,其中 r∈(0,+∞),则当 半径 r∈[1,1+Δ r]时,圆面积 S 的平均变化率为________. [答案] 2π +π Δ r ΔS [解析] = Δr +Δ r ·π -π ·1 =2π +π ·Δ r. Δr
2 2

? π? ?π π ? 14.函数 y=cosx 在 x∈?0, ?时的变化率为________;在 x∈? , ?时的变化率为 6? ? ?3 2?
________. [答案] 3 3-6 π 3 - π

π cos -cos0 6 π Δ y 3 3-6 ? ? [解析] 当 x∈?0, ?时, = = ; 6? Δx π π ? -0 6 π π cos -cos 2 3 π π Δ y ? ? 当 x∈? , ?时, = Δx π π ?3 2? - 2 3 1 0- 2 3 = =- . π π 6 3 3-6 3 ? π? ?π π ? 因此,y=cosx 在区间?0, ?和区间? , ?上的平均变化率分别是 和- . 6? π π ? ?3 2? 三、解答题 15.已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在下列区间上 f(x)及 g(x)的平均 变化率: (1)[-3,-1];(2)[0,5]. [解析] (1)函数 f(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为 = - +1]- 2 - +1] =2,

f -


-f - - -

g(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为 g -
- -g - - -



[-



-[- 2



=-2.

(2)函数 f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为

f

-f 5-0 + - 5 + =2,



g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为 g
-g 5-0 -2×5- - 5
3



=-2.

16.过曲线 f(x)=x 上两点 P(2,8)和 Q(2+Δ x,8+Δ y)作曲线的割线,求出当 Δ x= 0.1 时割线的斜率. [解析] ∵Δ y=f(2+Δ x)-f(2) =(2+Δ x) -8=(Δ x) +6(Δ x) +12Δ x, ∴割线 PQ 的斜率 Δ y Δ x +6Δ x +12Δ x 2 k= = =Δ x +6Δ x+12. Δx Δx 设 Δ x=0.1 时割线的斜率为 k1, 则 k1=0.1 +6×0.1+12=12.61. 17.婴儿从出生到第 24 个月的体重变化如图,试分别计算第一年与第二年婴儿体重的 平均变化率. [解析] 第一年婴儿体重平均变化率为 11.25-3.75 =0.625(千克/月); 12-0 第二年婴儿体重平均变化率为 14.25-11.25 =0.25(千克/月). 24-12 18.已知某质点按规律 s=2t +2t(单位 m)做直线运动,求: (1)该质点在前 3s 内的平均速度; (2)该质点在 2s 到 3s 内的平均速度. [解析] (1)由题设知,Δ t=3s,Δ s=s(3)-s(0)=24, Δ s 24 ∴平均速度为 v= = =8m/s. Δt 3 (2)由题意知,Δ t=3-2=1s,Δ s=s(3)-s(2)=12m,
2 2 3 2 3 3 2

Δs ∴平均速度为 v= =12m/s. Δt


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