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安徽省阜阳市第三中学2015-2016学年高二数学上学期第二次调研考试试题 理


安徽省阜阳三中 2015-2016 学年高二年级第二次调研考试 理科数学
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 命题“存在 x0 ? R, 2
x0

? 0”的否定是(
x


x0

A 不存在 x0 ? R, 使 2 0 >0 C 假命题

B 一切 x0 ? R, 2 D 真命题

?0

2.已知 a=(λ +1,0,2),b=(6,2μ -1,2λ ),若 a∥b,则 λ 与 μ 的值可以是( 1 A.2, 2 1 1 B.- , 3 2 C.-3,2 D.2,2

)

3.如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 为 PB 的中点, 3 → → cos〈DP,AE〉= ,若以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立 3 空间直角坐标系,则点 E 的坐标为( A.(1,1,1) 1? ? B.?1,1, ? 2? ? ) 3? ? C.?1,1, ? 2? ? D.(1,1,2)

4.二面角 α ?l?β 为 60°,A,B 是棱 l 上的两点,AC,BD 分别在半平面 α ,β 内,AC⊥l,

BD⊥l,且 AB=AC=a,BD=2a,则 CD 的长为(
A. a B. 5a C.2a

) . 3a

5.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 - =1 的一个焦点重合,则该抛物线的标准方 5 4 程可能是 A.x =4y
2 2

y

2

x

2

( B.x =-4y
2

)

C.y =-12x

2

D.x =-12y

2

x → → 2 6.已知椭圆 +y =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且MF1·MF2=0,则点 M 4
到 y 轴的距离为( A. 2 3 3 ) 2 6 B. 3 C. 3 3 D. 3 ) D.

7.双曲线 x2 ? my 2 ? 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m =( A.2
2

B.4

C.

1 2

1 4
)

8.已知抛物线 y=-x +3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A,B,则|AB|等于( A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

-1-

9.在椭圆 + =1 内,通过点 M(1,1),且被这点平分的弦所在的直线方程为( 16 4 A.x+4y-5=0 C.4x+y-5=0 10.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;w.w.w..c.o.m B.x-4y-5=0 D.4x-y-5=0

x2

y2

)

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ )

11.已知实数 a、b、c、d、e、f 都不为零,则“”是“不等式与不等式的解集相同”的( 条件 A 充分非必要 B 必要非充分 C 充要 D 既不充分又不必要 D1 A1 B1 C1

12.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 点 M 在棱 AB 上,且 AM ?

1 ,点 P 是平面 ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 3

A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1, 则动点 P 的
轨迹是( A.圆 ) A B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

D

. P . M

C B

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.双曲线 C : x 2 ? 3 y 2 ? 1 的右焦点到其中一条渐近线的距离是 .

14.三角形 ABC 中, “ sin A ? sin B ”是“A>B”的___________条件(填写“充分非必要,必要 非充分,充要,或者既不充分又不必要”之一) 15.若直线 y=(a+1)x-1 与曲线恰好有一个公共点,则实数 a 的取值的集合为___________ 16.若自椭圆的中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形,则 该椭圆离心率的平方等于_____________

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(必做题每题 12 分,选做题 10 分,

-2-

共 70 分) 2 2 2 17.已知 p:-x +6x+16≥0,q:x -4x+4-m ≤0(m>0). (1)若 p 为真命题,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 成立的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围

18.默写并证明三垂线定理(要求用向量法证明)

19.如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边 的等腰直角三角形, E , F , O 分别为 PA , PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 . (1)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; ( 2 )证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE ,并求点 M 到 OA , OB 的距离.

20.已知椭圆 C 经过点 P(2),且与双曲线有相同的焦点 (1)求椭圆的标准方程; (2)如果点 Q 是椭圆 C 上一点,点 F 是椭圆 C 的左焦求的取值范围。

? 2? 0交 于 两 点 A( xA ,yA )和 B( xB , yB ) , 且 21. 已 知 曲 线 C : y ? x2 与 直 线 l : x? y
xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为
D .设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.
(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 ? 0 与点集 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的一个题目. 如果多做,则按所做的第一个题目计分.如果第一个做的题目划掉,则直接计零分,请慎重!
-3-

22. 设 {an } 是 首 项 为 a , 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ( d ? 0) , Sn 是 其 前 n 项 和 . 记

bn ?

nS n * , n ? N ,其中 c 为实数. 证明:数列 {bn } 是等差数列的必要条件是: c ? 0 . n2 ? c

23 已知四棱锥 P-ABCD 的五个顶点都在半球 O 的球面上,若半球的半径是 2,正方形 ABCD 的 边长是,求四棱锥 P-ABCD 的体积最大是多少?

O

24.已知 E,F 是椭圆 C:

3 x y ? ? 1 上的两个动点,A(1, ) , 2 4 3

2

2

如果直线 AE、直线 AF 与 x 轴的交点不同,分别为点 M、N,且 =,证明直线 EF 的斜率为定值, 并求出这个定值。

高二理科数学 参 考 答 案 本试卷涉及到的其他知识尽量以必修五为依托,尽量紧扣课本,希望学生们学会研读教 材,认真体会。题目 4、9、10、13、15、18、20 均来源于课本,你能找到么? 1-12 13、 DAACD BBCAD DC 14、充要 15、 16、

17.(1)由-x2+6x+16≥0,解得-2≤x≤8, 所以当 p 为真命题时,实数 x 的取值范围为-2≤x≤8. (2)解法一:若 q 为真,可由 x2-4x+4-m2≤0(m>0),解得 2-m≤x≤2+m(m>0) 若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则[-2,8]是[2-m,2+m]的真子集,

-4-

m>0 ? ? 所以?2-m≤-2, ? ?2+m≥8

(两等号不同时成立),得 m≥6.

所以实数 m 的取值范围是 m≥6. 解法二:设 f(x)=x2-4x+4-m2(m>0), 若 p 是 q 成立的充分不必要条件, m>0 ? ? 则有?f?-2?≤0, ? ?f?8?≤0

(两等号不同时成立),解得 m≥6.

所以实数 m 的取值范围是 m≥6.

18.默写并证明三垂线定理。 (课本 41 页例题三), 19.证明: (I)如图,连结 OP,因为 PA ? PC ? 10 ,所以 PO AC, 由平面 PAC ? 平面 ABC ,可得 PO ,且 ?ABC 是等腰直角三角形,BO 以 O 为坐标原点, 分别以 OB、 OC、 OP 所在直线为 x 轴,y 轴, 建立空间直角坐标系 O ? xyz , z 轴,

O ? 0,0,0? , A(0, ?8,0), B(8,0,0), C(0,8,0),
P(0,0,6), E(0, ?4,3), F ? 4,0,3? , 由题意得, G ? 0, 4,0? , 因

z

??? ? ??? ? OB ? (8,0,0), OE ? (0, ?4,3) ,因此可以计算得到 ? ??? ? 平 面 BOE 的 法 向 量 为 n ? (0,3,4) , FG ? (?4, 4, ?3 得 ? ??? ? n ? FG ? 0 ,又直线 FG 不在平面 BOE 内,
因此有 FG / / 平面 BOE

y

x

(II)设点 M 的坐标为 ? x0 , y0 ,0? ,则 FM ? ( x0 ? 4, y0 , ?3) ,因为 FM ? 平面 BOE,所以有

???? ?

???? ? ? 9 9 ? ? FM // n ,因此有 x0 ? 4, y0 ? ? ,即点 M 的坐标为 ? 4, ? , 0 ? ,在平面直角坐标系 xoy 中, 4 4 ? ? ?x ? 0 ? ?AOB 的内部区域满足不等式组 ? y ? 0 ,经检验,点 M 的坐标满足上述不等式组,所以 ?x ? y ? 8 ? 在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE ,由点 M 的坐标得点 M 到 OA , OB 的距离 9 为 4, . 4
注意:这里需要证明点 M 在 ?ABO 内,属于必修五刚学习过的线性规划内容。

20. (1)双曲线的焦点为(4,0) 、 (-4,0) ,可以设椭圆的方程为, P(2 在椭圆上,坐标代入 方程,去分母可化为,解得,因为 c=4,a>c,所以,所求的椭圆方程为
-5-

(2)设椭圆上任一点 P(x,y),则, ,且, ====,因为 , ,x+10>0,所以=,,所以 21. (1)联立 y ? x 2 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,设线段 PQ 的中

1 5 2 2

1 5 ?s ?t 1 5 点 M 坐标为 ( x, y ) , 则x ? 2 , 即 s ? 2x ? , t ? 2 y ? , 又点 P 在曲线 C 上, ,y ? 2 2 2 2 2 11 5 1 2 2 ∴ 2 y ? ? (2 x ? ) 化简可得 y ? x ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点,且不与点 A 和点 8 2 2 11 1 1 5 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? ? 2 ,即 ? ? x ? ,∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x 2 ? x ? 8 2 4 4 1 5 ( ? ? x ? ). 4 4 51 2 2 2 y ?0, (2)曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25 49 7 2 2 即圆 E : ( x ? a ) ? ( y ? 2) ? ,其圆心坐标为 E (a,2) ,半径 r ? 25 5
,抛物线上有点() ,由图易知可知,当 0 ? a ?

xB

2 时,曲线

xA

D

G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2?

51 ? 0 与点 D 有公共点; 25 51 2 2 2 ? 0 与点 D 有公 当 a ? 0 时, 要使曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25
|a?2?2| 2 ? |a| 2 ?

o

x

? 2? 0的 距 离 d ? 共 点 , 只 需 圆 心 E 到 直 线 l : x? y
7 2 7 2 ? a ? 0 ,则 a 的最小值为 ? . 5 5

7 ,得 5

?

22.∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ( d ? 0) , Sn 是其前 n 项和

n(n ? 1) d 2 nS 带入 bn ? 2 n 得: n ?c
∴ S n ? na ?

b1 =

a 4a + 2d 6a + 6d , b2 = , b3 = , 9+ c 1+ c 4+ c

∵ {bn } 是等差数列∴ 2b2 = b1 + b3 ,去分母整理得 ,所以所以 c=0

-6-

所以数列 {bn } 是等差数列的必要条件是: c ? 0 当然也可以求充要条件

c?0

23.如图,四边形 ABCD 所在的平面截半球获得的截面轮廓是球的小圆,圆的直径为 2,则半球 的球心 O 到截面的距离为,如图所示,则当 PA C 为球的直径时,四棱锥 P-ABCD 的体积最大,此 时体积为 V== B

O1

P

D O

A

24.如果直线 AE、直线 AF 与 x 轴的交点分别为 M、N,且 AM=AN,则可以知道直线 AE、直线 AF 的倾斜角互补,斜率互为相反数,可设AE的斜率为 k ,得方程 y ? k ( x ? 1) ?

3 ,代入 2

x2 y 2 ? ? 1得 4 3
3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2
设E( xE , yE ) ,F( xF , yF ) .因为点A(1,

3 )在椭圆上,所以 2

3 4( ? k )2 ? 12 , xE ? 2 3 ? 4k 2 3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2
所以直线 EF 的斜率 kEF ?

3 yE ? kxE ? ? k 2

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得

yF ? ? kxF ?

3 ?k。 2

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? 。 xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

-7-


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