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高二数学期中调研试卷


扬州市邗江区 2013—2014 学年度第二学期期中抽测

高二数学试题(理科)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置上) 1.设 i 是虚数单位,复数 z ? 1 ? i 的虚部为 ▲ . 2.用反证法证明“已知 a 、 b 是正整数,若 a ? b 是偶数,则 a 、 b 中至少有一个是偶数” ,那 么假设的内容是 ▲ . 3.设 a ? 3 ? 2 , b ?

6 ? 5 ,则 a , b 的大小关系为



. . .

4.已知 a ? (1,0,?1),b ? (1,1,1), c ? (2,1, ?) ,若 a, b, c 共面,则实数 ? 的值为 ▲ 5.已知 a ? (1,1,0) , b ? (?1,0,2) ,且 k a ? b 与 2a ? b 垂直,则 k 的值为
2 x ?1 x?2 6.若 C16 ,则 x ? ? C16





.

7.从 5 名志愿者中选出 4 人分别从事 A、B、C、D 四项不同的工作,每人承担一项,其中甲、 乙二人均不能从事 A 工作,则不同的工作分配方案共有 ▲ 种. 8. (1 ? 2 x) 6 的展开式中 x 的系数是
4



.

9 .一条直线与矩形 ABCD 中过顶点 A 的相邻两边相交得到线段 EF ,我们知道有结论:

EF 2 ? AE 2 ? AF 2 。类比此性质,一个平面与长方体 ABCD-A1B1C1D1 中过顶点 A 的相
邻三个面相交, 得到三角形 EFG , 请你写一个正确的结论: ▲ .

10.对某种产品的 5 件不同正品和 4 件不同次品进行一一检测,直到检出所有次品为止,若 所有次品恰好经过五次检测被全部检出,则这样的检测方法有 ▲ 种. 11.已知二面角 α-l-β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β,BD⊥l,D 为垂足.若 AB=2, AC=CD=BD=1,则二面角 α-l-β 的大小为 ▲ . 12. 如图, 若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1, AB1 与底面 ABCD 成 60° 角, 则 A1C1 到底面 ABCD 的距 离为 ▲ . 13.已知 ( x ? 1) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a10 x .其中 ai ( i ? 0,1, 2, ???,10 )为实常数,则
2 5 2 10

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? 10a10 =





14.请阅读下列材料:若两个正实数 a1 , a2 满足 a12 ? a22 ? 1 ,那么 a1 ? a2 ?

2.

证明:构造函数 f ( x) ? ( x ? a1 )2 ? ( x ? a2 )2 ? 2x2 ? 2(a1 ? a2 ) x ?1 ,因为对一切实数 x ,恒

有 f ( x) ? 0 ,所以 ? ? 0 ,从而得 4(a1 ? a2 )2 ? 8 ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? 若 n 个正实数满足 a12 ? a22 ???? ? an 2 ? 1 时,你能得到的结论为 ▲

2 .根据上述证明方法,


二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内 作答,解答时应写出文 ........ 字说明、证明过程或演算步骤. ) 15.(本小题满分 14 分) 是否存在实数 a ,使得等式 若存在, 求出 a 的 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 1) ? an(n ? 1)(n ? 2) 对一切正整数 n 都成立, 值,并证明你的结论;若不存在,说明理由. 16.(本小题满分 14 分)已知 ( x ? (1)求 n 的值;

1 n ) 的展开式中前三项的系数成等差数列. 2x 1 ? R 且 | z ? 1 |? 2 的复数 z . z

(2)求展开式中常数项.

17.(本小题满分 14 分)设 z ? a ? bi(b ? 0) ,求满足 z ?

18. (本小题满分 16 分) 如图, 在棱长为 1 的正方体 A C1 中, E、 F 分别为 CC 1 和 A1B1 的中点. (1)求证: DE ? BF : (2)求平面 ACC 1 与平面 BFC 1 所成的锐二面角大小:

19.(本小题满分 16 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中(A 为空间直角坐标系原点) , 顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B,且 AB ? AC ? 2 ,侧棱 AA1 与 BC 所成的角为 60° (1)求 A1 B 长度;
C1 A1 B1

Z

(2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使 AP ? 14 .

20 . ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 已 知 数 列 {an } 满 足

a n ?1 ?

1 2 1 a n ? na n ? 1(n ? N * ), 且 a1 ? 3. 2 2

X

C B

A

(1) 计算 a 2 , a3 , a 4 的值, 由此猜想数列 {an } 的通项公式, 并给出证明;
n (2)求证:当 n ? 2 时, an ? 4n n .

Y

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高二数学试题(理科)
1. ? 1 2. a 、 b 都是奇数 3. a ? b 4.0 5.

7 5

6.3 或 5

7.72 11.

8.240 12. 3

2 2 2 2 9. S ? EFG ? S ?AEF ? S ?AFG ? S ?AGE

10.480

2? 3

13.160

14. a1 ? a2 ? ? ? an ?

n

15.取 n ? 1 ,则 2=6 a ,所以 a ? 证明: (1) n ? 1 时,等式成立。

1 3

?????????4 分 ???????????5 分

(2)假设 n ? k (k ? N *)时,等式成立, 即 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? (k ? 1) ?

1 k (k ? 1)( k ? 2) 3

????7 分

则 n ? k ? 1 时,左边= 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? (k ? 1) ? (k ? 1) ? (k ? 2)

1 3 1 = (k ? 1)( k ? 2)( k ? 3) =右边,等式成立???12 分 3 1 由(1)(2) 等式 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 1) ? n(n ? 1)( n ? 2) 对一切正整数 n 都成立 3
= k (k ? 1)( k ? 2) ? (k ? 1)( k ? 2) ? ????10 分 ???????????14 分

1 1 n 2 ? 9n ? 8 ? 0 , 16. (1)由题设,得 C0 ? C2 ? C1 n ? n ? 2? n ,即 4 2
解得 n ? 8或n ? 1(舍去) . (2) Tr ?1 ? C 8 x
r 8? r

???????????6 分

(

1 1 )r = C8r r x 8? 2 r 2x 2
???????????10 分

令 8 ? 2r ? 0 得 r ? 4 所以常数项为 T5 ?

35 . ???????????14 分 8 1 a ? bi 17.解: z ? ? a ? bi ? 2 z a ? b2 b b ) ? (b ? 2 )i ? R = (a ? 2 ???????????4 分 2 a ?b a ? b2 b ? 0 ,因为 b ? 0 ,所以 a 2 ? b 2 ? 1 ???????????6 分 所以 b ? 2 a ? b2
又因为 | z ? 1 |?

2 ,所以 (a ? 1) 2 ? b 2 ? 2

???????????10 分

所以 ?

?a ? 0 即 z ? ?i ?????????14 分 ?b ? ?1
1 2

E (1,0, ) , 18. (1) 以 D 为原点,DA,DC,DD1 分别为轴,建立如图所示的直角坐标系,则 A(1,0,0) ,
1 B(1,1,0) , F (1, ,1) . 2
?????????2 分

1 1 DE ? (1,0, ) BF ? (0,? ,0) 2 2
所以 DE ? BF ? 0 ,所以 DE ? BF ????????6 分

取 z ? 1 得平面 BFC ,2,1) ????????12 分 1 一个法向量 n ? (1

∴所求的锐二面角为

? 6

????????????16 分 ???????????2 分

19. (1)依题意 C(2,0,0),B(0,2,0) , 设 A1 B ? t ,则 A1 (0,2, t ) , B1 (0,4, t ) , 所以 AA 1 ? (0,2, t ) , BC ? (2,?2,0) 所以 cos ? AA1 , BC ??

???????????4 分

?4 t2 ? 4 ?2 2

?

? 2 t2 ? 4 2 t2 ? 4 ? 1 2

因为 AA1 与 BC 所成的角为 60°,所以 | cos ? AA1 , BC ?|? 所以 t ? 2 ,即 A1 B 长度为 2 (2)依题意 B1C1 ? BC ? (2,?2,0)

???????????8 分

设 B1P ? ? B1C1 ? ? 2?, 4 ? 2?, 2? .???12 分 ? 2?, 0? , 0 ? ? ? 1 ,则 P ? 2?, 于是 AP ? 4? 2 ? ? 4 ? 2? ? ? 4 ? 14 ? ? ?
2

1 3 ( ? ? 舍去) , 2 2
???????????16 分

即 P 是 B1C1 中点

20.⑴ a2 ? 4 , a3 ? 5 , a4 ? 6 ,猜想: an ? n + 2(n ? N* ) .???????????2 分 ①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,结论成立; ②假设当 n ? k (k ≥1, k ? N* ) 时,结论成立,即 ak ? k + 2 ,
2 则当 n ? k + 1 时, ak ?1 ? ak ? kak ? 1= (k + 2)2 ? k (k +2)+1=k +3=(k +1)+2 ,

1 2

1 2

1 2

1 2

即当 n ? k + 1 时,结论也成立, 由①②得,数列{an } 的通项公式为 an ? n + 2(n ? N* ) . ???????????8 分 ⑵原不等式等价于 (1 + )n ≥ 4 . 证明:显然,当 n ? 2 时,等号成立;
1 当 n ? 2 时, (1 ? )n ? C0 n ? Cn

2 n

2 2 2 2 ? C2 n( ) ? n n n 2 1 2 2 2 2 > C0 ? Cn ( ) ?5? ? 4, n ? Cn n n n

2 2 n 2 n 1 2 3 2 3 ? Cn ( ) ≥ C0 ? C2 n ? Cn n ( ) ? Cn ( ) n n n n

n 综上所述,当 n ≥ 2 时, an ≥ 4nn .???????????????????16 分


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