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高中数学2-2-2第1课时椭圆的简单几何性质精品课件同步导学新人教A版选修_图文

? 2.2.2 椭圆的简单几何性质 ? 第1课时 椭圆的简单几何性质 ? 1.掌握椭圆的简单几何性质 ? 2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响. ? 1.椭圆的简单几何性质.(重点) ? 2.本节常与几何图形、方程、不等式、平面向量等内容结 合出题. ? 3.命题形式比较灵活,各种题型均有可能出现. 1.圆 C:(x-1)2+y2=4,利用其方程可研究圆的性质, 如圆心、半径、面积等. 2.圆和椭圆都具有对称性,都是非常优美的曲线. x 2 y2 3.椭圆必定有不同于其它曲线的性质.画出椭圆 + 5 4 x2 y2 =1 与 + =1,并观察其特点,你认为椭圆有哪些性质? 16 9 两个椭圆的扁平程度一样吗?椭圆的扁平程度是由什么决 定的? ? 椭圆的简单几何性质 焦点 的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 范围 顶点 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) -a≤x≤a,-b≤y≤b y2 x2 a2+b2=1(a>b>0) -b≤x≤b,-a≤y≤a (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0) 焦 点的 位置 轴 长 焦 点 焦 距 对 |F1F2|= 坐标轴 对称轴: (±c,0) 2b ,长轴长= 2a 焦点在x轴上 焦点在y轴上 短轴长= . (0,±c) 2 a2-b2 . 坐标原点 称性 离 心率 ,对称中心: . e= c a . 1.椭圆 x2+4y2=1 的离心率为( 3 A. 2 2 C. 2 3 B. 4 2 D. 3 ) 2 y 解析: 将椭圆方程 x2+4y2=1 化为标准方程 x2+ =1, 1 4 1 则 a =1,b = , 4 2 2 1 即 a=1,b= , 2 3 所以 c= , 2 c 3 故离心率 e= = .故选 A. a 2 答案: A 2.椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别 是(4,0),(0,2),则此椭圆的方程是( x2 y2 x2 y2 A. 4 +16=1 或16+ 4 =1 x2 y2 C. + =1 16 4 ) x2 y2 B. 4 +16=1 x2 y2 D. + =1 16 20 解析: 由已知 a=4,b=2,椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 所以椭圆方程是 + =1.故选 C. 16 4 答案: C 3.椭圆的短轴长等于 2,长轴端点与短轴端点间的距离 等于 5,则此椭圆的标准方程是______________. 解析: 设此椭圆的长半轴长为 a,短半轴长为 b,焦 距为 2c,则 b=1,a2+b2=( 5)2, 即 a2=4. x2 2 y2 2 所以椭圆的标准方程是 +y =1 或 +x =1. 4 4 x2 2 y2 2 答案: +y =1 或 +x =1 4 4 4.设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点 与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端 点的距离为 4( 2-1),求这个椭圆的方程、离心率、焦点坐 标、顶点坐标. 解析: >b>0). x2 y2 y2 x2 设所求的椭圆方程为 2+ 2=1 或 2+ 2=1(a a b a b ?b=c, ? 则有?a-c=4? 2-1?, ?a2=b2+c2, ? ?a=4 2, ? 解得?b=4, ?c=4. ? x2 y2 y2 x2 所以所求的椭圆方程为 + =1 或 + =1, 32 16 32 16 c 2 离心率 e= = . a 2 当焦点在 x 轴上时,焦点坐标为(-4,0),(4,0), 顶点坐标为(-4 2,0),(4 2,0),(0,-4),(0,4); 当焦点在 y 轴上时,焦点坐标为(0,-4),(0,4), 顶点坐标为(-4,0),(4,0),(0,-4 2),(0,4 2). ? 求下列椭圆的长轴长和短轴长,焦点坐标和顶点坐标和 离心率: ? (1)4x2+9y2=36; ? (2)m2x2+4m2y2=1(m>0). [解题过程] x2 y2 (1)将椭圆方程变形为 + =1, 9 4 ∴a=3,b=2,∴c= a2-b2= 9-4= 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=6,2c=2 5, 焦点坐标为 F1(- 5,0),F2( 5,0), 顶点坐标为 A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2), c 5 离心率 e= = . a 3 2 2 x y (2)椭圆的方程 m2x2+4m2y2=1(m>0)可化为 + = 1 1 m2 4m2 1. 1 1 ∵m <4m ,∴ 2> 2, m 4m 2 2 1 ∴椭圆的焦点在 x 轴上,并且长半轴长 a= ,短半轴 m 1 3 长 b= ,半焦距长 c= . 2m 2m 2 1 ∴椭圆的长轴长 2a= ,短轴长 2b= , m m ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 焦点坐标为?- ,0?,? ,0? ?, 2 m 2 m ? ? ? ? ?1 ? ? 1 ? ? ? 1? 1? ? ? ? ? ? ? ? 顶点坐标为?m,0?,?-m,0?,?0,-2m?,?0,2m? ?. ? ? ? ? ? ? ? ? 3 c 2m 3 e= = = . a 1 2 m ? [ 题后感悟 ] 已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形 式的先化成标准形式,再确定焦点的位置,焦点位置不确定 的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2,求出焦点坐 标,再写出顶点坐标. ? 1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离 心率. ? (1)25x2+y2=25; ? (2)4x2+9y2=1. 2 y 解析: (1)将椭圆方程变形为 x2+ =1, 25 ∴a=5,b=1, ∴c= a2-b2= 25-1=2 6. ∴椭圆的长轴长 2a=10,短轴长 2b

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