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浙江省考试院2013届高三测试卷数学(理)试题


测试卷
数学(理科)
姓名_____________ 准考证号__________________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题 部分 4 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= C p (1-p) (k=0,1,2,?,n) 台体的体积公式 V=
k n
k n-k

柱体的体积公式

V ? Sh
其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式

V ?

1 3

Sh

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式

1 3

h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 )

其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

V ?

4 3

πR

3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={y | y=2x,x∈R},则 A. ? B. (-∞,0]
R A=

C.(0,+∞)

D.R

2.已知 a,b 是实数,则“| a+b |=| a |+| b |”是“ab>0”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.若函数 f (x) (x∈R)是奇函数,函数 g (x) (x∈R)是偶函数,则 A.函数 f [g(x)]是奇函数 C.函数 f (x) ? g(x)是奇函数
3

B.函数 g [f(x)]是奇函数 D.函数 f (x)+g(x)是奇函数

4.设函数 f (x)=x -4x+a,0<a<2.若 f (x)的三个零点为 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则 D.x3>2 ??? ? ???? ???? ??? ? 5.如图,在四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AD⊥DC.若| AB |=a,| AD |=b,则 AC ? BD = A.b2-a2 C.a2+b2 6.设数列{an}. A.若 a =4 ,n∈ N*,则{an}为等比数列
2 B.若 an ? an+2= an ?1 ,n∈ N*,则{an}为等比数列

A.x1>-1

B.x2<0

C.x2>0

B.a2-b2 D.ab
A

D C B (第 6 题图)

2 n

n

C.若 am ? an=2m+n,m,n∈ N*,则{an}为等比数列 D.若 an ? an+3=an+1 ? an+2,n∈ N*,则{an}为等比数列 7.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是 ..

3

3

3

3

A. 1
正视图 2 俯视图 侧视图

B.

2 正视图 1 俯视图

C. 1
侧视图 正视图 2 俯视图 侧视图

D.

2 正视图 1 俯视图

侧视图

? x ? y ? 0, ? 8.若整数 x,y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 10 ? 0, 则 2x+y 的最大值是 ? ? 3x ? y ? 5 3 ? 0,
A.11 B.23 C.26 D.30

y 9.如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2
A F1 O

B

的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分 别交于 A, 两点. | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3:4 : 5, B 若 则双曲线的离心率为 A. 13 C.2 B. 15 D. 3

F2

x

(第 9 题图) y 1 B

10.如图,函数 y=f (x)的图象为折线 ABC,设 f 1 (x)=f (x), f n+1 (x)=f [f n(x)],n∈ N*,则函数 y=f 4 (x)的图象为
y 1 y 1 1 O -1 y 1 -1 1 O -1 x -1 x

-1 O A -1 (第 10 题图) 1 x

1 x C

A.

-1

B.

-1 O -1 y 1

C.

D.

1 O -1 x

非选择题部分 (共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 a ? 2i 11.已知 i 是虚数单位,a∈R.若复数 的虚部 a ? 2i 为 1,则 a= .

开 始 n=12, i=1

12.设公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a22+a32=a42+a52,则 S6= .
是 n=3n+1 n 是奇数? 否 n n= 2 i=i+1 n=1? 是 输出 i 结 束 (第 14 题图) D1 A1 B1 C1 否

13.若 ( x ? ) n (n 为正偶数)的展开式中第 5 项的二 项式系数最大,则第 5 项是 .

x 2

14. 若某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的值 是 .

15.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 C=2A,cos A= . 16.在△ABC 中,B(10,0),直线 BC 与圆Γ :x2+(y-5)2=25 相切,切点为线段 BC 的中点.若△ABC 的重心恰好为圆 Γ 的圆心,则点 A 的坐标为 .

3 ,b=5,则△ABC 的面积为 4

17.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AD=2.若存在 各棱长均相等的四面体 P1P2P3P4,其中 P1,P2,P3,P4 分别在棱 AB,A1B1,C1D1,CD 所在的直线上,则此长方 体的体积为 .
A D B (第 17 题图) C

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分) 已知函数 f (x)=3 sin2 ax+ 3 sin ax cos ax+2 cos2 ax 的周期为 π,其 中 a>0. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求 f (x)的值域. 19.(本题满分 14 分) 已知 A,B,C,D,E,F 是边长为 1 的正六边形的 6 个顶点,在顶 点取自 A,B,C,D,E,F 的所有三角形中,随机(等可能)取一个三角形.设随机变 量 X 为取出三角形的面积. (Ⅰ) 求概率 P ( X=

3 ); 4
B C

(Ⅱ) 求数学期望 E ( X ). 20.(本题满分 15 分) 如图,平面 ABCD⊥平面 ADEF,其 中 ABCD 为矩形, ADEF 为梯形, AF∥DE, AF⊥FE, AF=AD=2 DE=2. (Ⅰ) 求异面直线 EF 与 BC 所成角的大小;
A D E F (第 20 题图)

1 3 2 21.(本题满分 15 分) 如图,F1,F2 是离心率为 的椭圆 2 x2 y2 1 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,直线 l :x=- a b 2

(Ⅱ) 若二面角 A-BF-D 的平面角的余弦值为 , AB 的长. 求

y P M A F1 O F2 x B

将线段 F1F2 分成两段, 其长度之比为 1 : 3. A, 是 C 设 B 上的两个动点,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q 两点, 线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (Ⅰ 求椭圆 C 的方程; ) (Ⅱ 求 F2 P ? F2Q 的取值范围. ) 22.(本题满分 14 分) 已知函数 f (x)=x3+

???? ???? ? ?

Q x=- 1 2 (第 21 题图)

3 (1-a)x2-3ax+1,a>0. 2

(Ⅰ 证明:对于正数 a,存在正数 p,使得当 x∈ ) [0,p]时,有-1≤f (x)≤1; (Ⅱ 设(Ⅰ ) )中的 p 的最大值为 g(a),求 g(a)的最大值.

数学测试题(理科)答案及评分参考
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分 细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.B 6.C 2.B 7.D 3.C 8.B 4.C 9.A 5.A 10.D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11.2 15. 12.0 13.

35 6 x 8

14.10 17.4

15 7 4

16.(0,15) 或 (-8,-1)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.本题主要考查三角函数的图象与性质、三角变换等基础知识,同时考查运算求解能力。 满分 14 分。 (Ⅰ) 由题意得 f (x)=

3 3 (1-cos 2ax)+ sin 2ax+(1+cos 2ax) 2 2 3 1 5 = sin 2ax- cos 2ax+ 2 2 2 5 π =sin (2ax- )+ . 2 6
a=1. ???? 7 分

因为 f (x)的周期为 π,a>0,所以

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得 f (x)=sin (2x- 所以 f (x)的值域为[

5 π )+ , 2 6

3 7 , ]. 2 2
???? 14 分

19.本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象 概括、运算求解能力和应用意识。满分 14 分。 (Ⅰ) 由题意得取出的三角形的面积是

3 的概率 4

P ( X=

3 6 3 )= 3 = . 4 C 6 10
???? 7 分

(Ⅱ) 随机变量 X 的分布列为 X P

3 4 3 10

3 2 6 10

3 3 4 1 10

所以 E ( X )=

3 3 3 3 9 3 3 6 1 × + × + × = . 4 2 4 20 10 10 10
???? 14 分

20.本题主要考查空间点、线、面位置关系,异面直线所成角、二面角等基础知识,空间 向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 延长 AD,FE 交于 Q. 因为 ABCD 是矩形,所以 BC∥AD, 所以∠AQF 是异面直线 EF 与 BC 所成的角. 在梯形 ADEF 中, 因为 DE∥AF, AF⊥FE, AF=2, DE=1 得 ∠AQF=30° . (Ⅱ) 方法一: 设 AB=x.取 AF 的中点 G.由题意得
A H G F (第 20 题图) D E Q B C

???? 7 分

DG⊥AF. 因为平面 ABCD⊥平面 ADEF,AB⊥AD,所以 AB⊥平面 ADEF, 所以 AB⊥DG. 所以 DG⊥平面 ABF. 过 G 作 GH⊥BF,垂足为 H,连结 DH,则 DH⊥BF, 所以∠DHG 为二面角 A-BF-D 的平面角. 在直角△AGD 中,AD=2,AG=1,得 DG= 3 . 在直角△BAF 中,由

AB GH =sin∠AFB= ,得 BF FG 1 GH = , 2 x x ?4
GH=

所以 . x ?4 x 在直角△DGH 中,DG= 3 ,GH= ,得 2 x ?4
2

x

DH= 2 因为 cos∠DHG=

x2 ? 3 . x2 ? 4

GH 1 = ,得 DH 3
x=

2 15 , 5 2 15 . 5
???? 15 分

所以 AB=

方法二:设 AB=x. 以 F 为原点,AF,FQ 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系 Fxyz.则 F(0,0,0),A(-2,0,0),E( 3 ,0,0),D(-1, 3 ,0),B(-2,0,x),

所以

???? ??? ? DF =(1,- 3 ,0), BF =(2,0,-x). ?? ? 因为 EF⊥平面 ABF,所以平面 ABF 的法向量可取 n1 =(0,1,0). ?? ? 设 n2 =(x1,y1,z1)为平面 BFD 的法向量,则

? 2 x1 ? z1 x ? 0, ? ? ? x1 ? 3 y1 ? 0, ?
所以,可取 n2 =( 3 ,1,

z B C

2 3 ). x ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? n1 ? n2 1 ? ? 因为 cos< n1 , n2 >= ?? ?? = ,得 | n1 | ? | n2 | 3
x=

?? ?

A

D E F x (第 20 题图)

y

2 15 , 5 2 15 . 5

所以 AB=

???? 15 分 21.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几 何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 设 F2(c,0),则 1 c? 2 =1, 1 3 c? 2 所以 c=1. 因为离心率 e=
2 2

y B M A F1 O F2 x

,所以

a= 2 . 所以椭圆 C 的方程为

x=- 1 2 (第 21 题图)

x2 ? y2 ? 1 . 2
(Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=-

???? 6 分

???? ???? ? ? F2 P ? F2Q ? ?1.

1 ,此时 P( ? 2 ,0)、Q( 2 ,0) 2

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,M(- B(x2,y2).

1 ,m) (m≠0),A(x1,y1), 2

? x12 2 ? ? y1 ? 1, ?2 由 ? 2 得 ? x2 ? y 2 ? 1, 2 ? 2 ?
(x1+x2)+2(y1+y2) ? 则 -1+4mk=0, 故 k=

y1 ? y2 =0, x1 ? x2

1 . 4m

此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? ?4m ,PQ 的直线方程为



1 y ? m ? ?4m( x ? ) . 2 y ? ?4mx ? m .

? y ? ?4mx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y,整理得 2 ? ? y ?1 ?2

(32m2 ? 1) x2 ? 16m2 x ? 2m2 ? 2 ? 0 .
所以

x1 ? x2 ? ?
于是

16m2 2m 2 ? 2 , x1 x2 ? . 32m 2 ? 1 32m2 ? 1

F2 P ? F2Q ? (x1-1)(x2-1)+y1y2
? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? (4mx1 ? m)(4mx2 ? m)

? (1 ? 16m2 ) x1x2 ? (4m2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? 1 ? m2

?

(1 ? 16m2 )(2m2 ? 2) (4m2 ? 1)(?16m2 ) ? ? 1 ? m2 2 2 32m ? 1 32m ? 1

19m 2 ? 1 ? . 32m 2 ? 1
令 t=1+32m2,1<t<29,则

F2 P ? F2Q ?
又 1<t<29,所以

19 51 . ? 32 32t

???? ???? 125 ? ? ?1 ? F2 P ? F2Q ? . 232 125 综上, F2 P ? F2Q 的取值范围为[ ?1 , ) . 232
???? 15 分 22.本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨 论等综合解题能力和创新意识。满分 14 分。 (Ⅰ 由于 f ′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x+1)(x-a),且 a>0, ) 故 f (x)在[0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增. 又 f (0)=1, f (a)=- 当 f (a)≥-1 时,取 p=a. 此时,当 x∈ [0,p]时有-1≤f (x)≤1 成立. 当 f (a)<-1 时,由于 f (0)+1=2>0,f (a)+1<0, 故存在 p∈ (0,a)使得 f (p)+1=0. 此时,当 x∈ [0,p]时有-1≤f (x)≤1 成立. 综上,对于正数 a,存在正数 p,使得当 x∈ [0,p]时,有-1≤f (x)≤1. ???? 7 分 (Ⅱ 由(Ⅰ f (x)在[0,+∞)上的最小值为 f (a). ) )知 当 0<a≤1 时,f (a)≥-1,则 g(a)是方程 f (p)=1 满足 p>a 的实根, 即 2p2+3(1-a)p-6a=0 满足 p>a 的实根,所以

1 3 3 2 1 a - a +1= (1-a)(a+2) 2-1. 2 2 2

g(a)=

3(a ? 1) ? 9a 2 ? 30a ? 9 . 4

又 g(a)在(0,1]上单调递增,故 g(a)max=g(1)= 3 . 当 a>1 时,f (a)<-1. 由于 f (0)=1,f (1)=

9 (1-a)-1<-1,故 2
[0,p]? [0,1].

此时,g(a)≤1. 综上所述,g(a)的最大值为 3 . ???? 14 分


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