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2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (5)


2015 年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设集合 A ? {?1,0, 2} ,集合 B ? {? x | x ? A 且 2 ? x ? A} ,则集合 B 等于 A. {1} B. {?2} C. {?1, ?2} D. {?1, 0} 2.设 k ? A. ?1

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,若 (1 ? kx)8 ? a0 ? a1x ? ?? a8 x8 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a8 等于
B.0 C.1 D.2

cos x | (0 ? x ? ? ) 的图象大致是 3.函数 y ? sin x? | sin x

A.

B.

C.

D.

4.已知函数 f ( x) ? sin5 x ? 1,根据函数的性质,积分的性质和积分的几何意义,探求 结果是 A.

??
2 ?

?

f ( x)dx 的值,

2

1 ? ? 6 2
1 8

B.0
10

C. 1

D. ?

5.设正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2 S30 ? S10 ? (210 ? 1) S20 ,则数列 {an } 的公比为 A. B.

1 4

C.

1 2

D. 1

6.某几何体的三视图如图所示,其侧视图是一个边长为 1 的等边三角形,俯视图是两 个等边三角形拼成的菱形,则这个几何体的体积是

1 2 1 1 C. D. 4 8 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 7.设变量 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,目标函数 z ? abx ? y(a ? 0, b ? 0) 的 ? x ? 0, y ? 0 ?
A. 1 B. 最大值是 8,则 a ? b 的最小值是 A.3 B.4 8.设 a ? 0, b ? 0 ,则下列不等式中不恒成立 的是 .... A. C.5 D.6

2 1 1 ? a b

? ab

B.

1 1 4 ? ? a b a?b

2 2 C. | a ? b | ? a ? b D. a ? b ? 1 ? a ? b

9.甲,乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记作 a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字 记作 b ,其中 a, b ?{1, 2,3, 4,5, 6},若 | a ? b |? 1 ,就称甲,乙“心相近”,现任意找两个人玩这个游戏,则 他们“心相近”的概率为 A.

4 9

B.

2 9

C.

7 18

D.

10.设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四个点,若 A 1A 3 ? ?A 1A 2,

?????

?????

5 18

????? ????? 1 1 且 ? ? 2 , 则称 A3 , A4 调和分割 A1 A2 , 已知平面上的点 C , D 调和分 A1 A4 ? ? A1 A (2?, ? ? R ) ? ?
割 AB ,则下列说法正确的是 A. C 可能是线段 AB 的中点 C. C , D 可能同时在线段 AB 上 B. D 可能是线段 AB 的中点 D. C , D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

11.四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,边长为 a, PD ? a, PA ? PC ? 2a ,在这个四棱锥中 放入一个球,则球的最大半径为

2 D. a )a 2 sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 12.设等差数列 {an } 满足: ? 1 ,公差 d ? (?1, 0) ,若 sin(a4 ? a5 ) 当且仅当 n ? 9 时数列 {an } 的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是 7? 4? 4? 3? 7? 4? 4? 3? , ) , ) , ] , ] A. ( B. ( C. [ D. [ 6 3 3 2 6 3 3 2
A. ( 2 ?1)a B. 2a C. (1 ? 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在题后的横线上.

y2 ? 1的右支上的一点, M , N 分别是圆 ( x ? 4)2 ? y2 ? 4 和 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1 15 上的点,则 | PM | ? | PN | 的最大值为 14. 在 ?ABC 中 , 点 O 是 BC 的 中 点 , 过 点 O 的 直 线 分 别 交 直 线 AB, AC 于 不 同 两 点 M , N , 若 ??? ? ???? ? ??? ? ???? AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值为 ? ? 1 3 3 15.若 x, y ? [ ? , ], a ? R 且 x ? sin x ? 2a ? 0, 4 y ? sin 2 y ? a ? 0 ,则 cos( x ? 2 y) 的值为 4 4 2 16.若函数 y ? f ( x) 对定义域内的每一个值 x1 ,在其定义域内都存在唯一的实数 x2 ,使 1 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 成立,则称该函数为“依赖函数”,给出以下命题: ① y ? 2 是“依赖函数”; x ? ? x ②函数 y ? 2 ? sin x( x ? [? , ] 是“依赖函数”; ③函数 y ? 2 是“依赖函数”; 2 2 ④函数 y ? ln x 是“依赖函数”; ⑤若函数 y ? f ( x), y ? g ( x) 都是“依赖函数”,且定义域相同,则函 数 y ? f ( x) g ( x) 也是“依赖函数”.其中所有真命题的序号是 (填上你认为正确的所有命
13.若 P 是双曲线 x ?
2

题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log2 (a x ? bx ) 且 f (1) ? 1, f (2) ? log 2 12 . (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)当 x ? [1, 2] 时,求函数 f ( x ) 的最大值.

18(本小题满分 12 分) 在一个盒子中,放有标号为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别 为 x, y ,记 ? ?| x ? 2 | ? | y ? x | . (Ⅰ)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望 E (? ) .

19(本小题满分 12 分)

已知向量 m ? ( 3 sin? x , cos ? x ), n ? (cos ?x ? , cos ?x ? )( ? 为

?

?

? ? , 函数 f ( x) ? m ? n 的最小正周期 0)

(Ⅰ)求 ? 的值; 2 (Ⅱ)设 ?ABC 的三边 a, b, c 满足: b ? ac 且边 b 所对的角为 x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同 的实数解,求实数 k 的取值范围.

? . 2

20(本小题满分 12 分) 如图, PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面, ?ADC ? ?BAD ? 90 , F 为 PA 中点,
?

1 PD ? 2, AB ? AD ? CD ? 1 ,四边形 PDCE 为矩形,线段 PC 交 DE 于点 N . 2 (Ⅰ)求证: AC / / 平面 DEF ; (Ⅱ)求二面角 A ? BC ? P 的大小; ? (Ⅲ)在线段 EF 上是否存在一点 Q ,使得 PQ 与平面 BCP 所成的角的大小为 ? 若存在,请求出 6 PQ 的长;若不存在,请说明理由.

21(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点, | AF | 的最大值 a 2 b2 3 2 为 M ,| BF | 的最小值是 m ,满足: Mm ? a . 4
如图,椭圆 (Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设线段 AB 的中点为 G, AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点, O 是坐标原点,记

?G F D 的面积为 S1 , ?OED 的面积为 S2 ,求

2S1S2 的取值范围. 2 S12 ? S2

22(本小题满分 12 分)

x ? ax. ln x (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上为单调递减函数,求实数 a 的最小值;
设函数 f ( x) ? (Ⅱ)若存在 x1 , x2 ?[e, e2 ] ,使 f ( x1 ) ? f '( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围。


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