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不等式证明之反证法


不等式证明 -----反证法
灵宝五高高二数学组

教学目标
? 结合已经学过的数学实例,了解间接证明 的一种基本方法——反证法;了解反证法 的思考过程、特点. ? 教学重点:会用反证法证明问题;了解反 证法的思考过程. ? 教学难点:根据问题的特点,选择适当的 证明方法.

一.复习
1.直接证明的两种基本证法: 综合法和分析法

2.这两种基本证法的推证过程和特点:
综合法 :已知条件? 分析法 : 结论 ? ? ?

由因导果 ? 已知条件 执果索因

? 结论

3、在实际解题时,两种方法如何运用? 综合分析法 (1)通常用分析法提供思路,再由综合法写过程

(2)“两边凑”

思考?
A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都 撒谎。则C必定是在撒谎,为什么?

分析: 假设C没有撒谎, 则C真; 那么A假且B假; 由 A 假, 知 B 真 . 这与B假矛盾.

反证法
由假设
推出矛盾. 推翻假设.

那么假设“C没有撒谎”不成立; 则C必定是在撒谎.

原命题成立.

反证法:

假设命题结论的反面成立,经过正确的 推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而 间接证明原命题成立,这样的的证明方法 叫反证法。

反证法的思维方法:
正难则反

?请你概括反证法的证明过程: ? 否定结论——推出矛盾——肯定结论, ? 即分三个步骤:反设—归谬—存真

反设--假设命题的结论不成立, 即假设原结论的反面为真. 归谬--从反设和已知条件出发, 经过一系列正确的逻辑推理, 得出矛盾结果. 存真--由矛盾结果,断定反设不真, 从而肯定原结论成立.

?请你概括反证法的证明过程: ? 否定结论——推出矛盾——肯定结论, ? 即分三个步骤:反设—归谬—存真 归谬矛盾: (1)与已知条件矛盾;
(2)与反设矛盾; (3)与已有公理、定理、定义矛盾;

(4)自相矛盾。

应用反证法的情形: (1)直接证明比较困难; (2)直接证明需分成很多类,而对立命 题分类较少; (3)结论有“至少”,“至多”,“有无 穷多个”之类字样 (4)结论为 “唯一”之类的命题;

常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.

对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时

在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其
在一些选择题中,更是如此.

例1 已 知x , y ? 0, 且x ? y ? 2, 1? x 1? y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x 1? x 1? y 证明 : 假设 , 都不小于2, y x

1? x 1? y 即 ? 2, 且 ? 2, y x ? x , y ? 0,? 1 ? x ? 2 y , 1 ? y ? 2 x , ? 2 ? x ? y ? 2( x ? y ) ? x ? y ? 2, 这与已知条件x ? y ? 2矛盾. 1? x 1? y ? 与 中至少有一个小于2 y x

例2、已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0, abc > 0, 求证:a, b, c > 0 证:设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0,则与abc > 0矛盾, ∴必有a > 0 同理可证:b > 0, c > 0

例3、设0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a, 不可能同时大于1/4

证明:设(1 ? a)b>1/4, (1 ? b)c>1/4,
(1 ? c)a>1/4,
1 则三式相乘: (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > 64
又∵0 < a, b, c < 1



1 以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 64 与①矛盾∴结论成立

1 1 ( 1 ? b ) b ? (1 ? c )c ? 同理: 4 4

1 ? (1 ? a ) ? a ? ? ∴0 ? (1 ? a )a ? ? ? 2 4 ? ?

2

例 4 :已知 f ( x ) ? x 2 ? px ? q ,求证: | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中 1 至少有一个不小于 . 2

1 分析:设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 , 2 观察: f (1) ? 1 ? p ? q, f (2) ? 4 ? 2 p ? q, f (3) ? 9 ? 3 p ? q 得: f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2 所以 2= | f (1) ? 2 f (2) ? f (3) | ≤ | f (1) | ?2 | f (2) | ? | f (3) | 1 1 1 < +2× + =2 这是不可能的,矛盾表明原结论成立。 2 2 2 证明:略. 说明: “至少”型命题常用反证法,由于其反面情况也只有一 种可能,所以属于归谬反证法.

?解题反思:

用反证法证题要把握三点: (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现多 种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证 明都是不完全的。 (2)反正法必须从否定结论进行推理,且必须 根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论, 不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法 (3)推导出来的矛盾可能多种多样,有的与已 知矛盾,有的与假设矛盾,有的与定理、公里 相违背等,但推导出的矛盾必须是明显的。

? 一、选择题 ? 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下 列哪些作为条件使用 ( ) ? ①结论相反判断,即假设 ②原命题的结论 ? ③公理、定理、定义等 ④原命题的条件 ? A.①④ B.①②③ ? C.①③④ D.②③ ? [答案] C ? [解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条 件使用,故应选C.

? 2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角” 的结论的否定是 ( ) ? A.两个内角是直角 ? B.有三个内角是直角 ? C.至少有两个内角是直角 ? D.没有一个内角是直角 ? [答案] C ? [解析] “最多只有一个”即为“至多一个”, 反设应为“至少有两个”,故应选C.

? 3 .如果两个实数之和为正数,则这两个 数( ) ? A.一个是正数,一个是负数 ? B.两个都是正数 ? C.至少有一个正数 ? D.两个都是负数 ? [答案] C ? [ 解析 ] 假设两个数都是负数,则两个数 之和为负数,与两个数之和为正数矛盾, 所以两个实数至少有一个正数,故应选C.

4.否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的 反设为( )

(A)a、b、c都是奇数 (B)a、b、c都是偶数 (C)a、b、c中至少有两个偶数 (D)a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 【解析】选D.三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、

二偶一奇、二奇一偶”4种,而自然数a、b、c中恰有
一个为偶数包含“二奇一偶”的情况,故反面的情况

有3种,只有D项符合.

5.设a,b是两个实数,给出下列条件:

(1)a+b>1;(2)a+b=2;(3)a+b>2;(4)a2+b2>2;(5)ab>1,

其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(
(A)(2)(3) (C)(3) (B)(1)(2) (D)(4)(5)

)

【解析】选C.(1)可取a=0.5,b=0.6,故不正确;(2)若a+b=2, 则可取a=1,b=1;(3)若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,正

确;(4)若a2+b2>2,可取a=-2,b=-1;(5)若ab>1,则可取a=2,b=-1,故选C.

6.实数a、b、c、d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1.

求证:a、b、c、d中至少有一个是负数.
【证明】

假设a、b、c、d都是非负数.
即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0 则1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd. 这与已知中ac+bd>1矛盾,∴原假设错误, 故a、b、c、d中至少有一个是负数.

7.(2011·南通模拟)若a、b、c均为实数,且 ? ? ? 2 2 2 a ? x ? 2y ? , b ? y ? 2z ? ,c ? z ? 2x ? . 3 6 2 求证:a、b、c中至少有一个大于0.

【分析】本题是一个“至少”成立的问题且a、b、

c是含有x、y、z的代数式,从正面证明难度较大,
可考虑反证法.

【解答】假设a、b、c都不大于0,即 a≤0,b≤0,c≤0,∴a+b+c≤0.
? ? ? 2 2 2 而a ? b ? c ? (x ? 2y ? ) ? (y ? 2z ? ) ? (z ? 2x ? ) 2 3 6

=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π

=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3
∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾,

故a、b、c中至少有一个大于0.

用反证法证明命题“若p则q”的过程用框图

表示为:
肯定条件p 导 致 “p且非q”

“若p则q”

否定结论q

逻辑矛盾









反证法的基本步骤:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成 ------立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾;

(2)与已有公理、定理、定义矛盾;
(3)自相矛盾。

作业
P29 习题2.3 4


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