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行测数学运算49种经典类型


行测数学运算 49 种经典类型
一、容斥原理 容斥原理关键就两个公式: 1. 两个集合的容斥关系公式:A+B=A∪B+A∩B

2. 三个集合的容斥关系公式:A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C 请看例题: 【例题 1】某大学某班学生总数是 32 人,在第一次考试中有 26 人及格,在第二次考 试中有 24 人及格, 若两次考试中, 都没及格的有 4 人, 那么两次考试都及格的人数是( ) A.22 B.18 C.28 D.26 【解析】设 A=第一次考试中及格的人数(26 人),B=第二次考试中及格的人数(24 人), 显然,A+B=26+24=50; A∪B=32-4=28,则根据 A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案为 A。 【例题 2】电视台向 100 人调查前一天收看电视的情况,有 62 人看过 2 频道,34 人看 过 8 频道,11 人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人? 【解析】设 A= 看过 2 频道的人(62),B=看过 8 频道的人(34),显然,A+B=62+34=96; A∩B=两个频道都看过的人(11),则根据公式 A∪B= A+B-A∩B=96-11=85,所以,两个 频道都没看过的人数为 100-85=15 人。 二、作对或做错题问题 某次考试由 30 到判断题,每作对一道题得 4 分,做错一题倒扣 2 分,小周共得 96 分,问他做错了多少道题? A.12 B.4 C.2 D.5 【解析】 方法一 假设某人在做题时前面 24 道题都做对了,这时他应该得到 96 分,后面还有 6 道题,如果让这最后 6 道题的得分为 0,即可满足题意.这 6 道题的得分怎么 才能为 0 分呢?根据规则,只要作对 2 道题,做错 4 道题即可,据此我们可知做错的题为 4 道, 作对的题为 26 道. 方法二 作对一道可得 4 分,如果每作对反而扣 2 分,这一正一负差距就变成了 6 分.30 道题全做对可得 120 分,而现在只得到 96 分,意味着差距为 24 分,用 24÷6=4 即可得 到做错的题,所以可知选择 B

三、植树问题 ①总路线长②间距(棵距)长③棵数。只要知道三个要素中的任意两个 要素,就可以求出第三个。 【例题 1】李大爷在马路边散步,路边均匀的栽着一行树,李大爷从第一棵数走到底 15 棵树共用了 7 分钟,李大爷又向前走了几棵树后就往回走,当他回到第 5 棵树是共用了 30 分钟。李大爷步行到第几棵数时就开始往回走?

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A.第 32 棵

B.第 32 棵

C.第 32 棵

D.第 32 棵

解析: 李大爷从第一棵数走到第 15 棵树共用了 7 分钟, 也即走 14 个棵距用了 7 分钟, 所以走没个棵距用 0.5 分钟。 当他回到第 5 棵树时, 共用了 30 分钟, 计共走了 30÷0.5=60 个棵距,所以答案为 B。第一棵到第 33 棵共 32 个棵距,第 33 可回到第 5 棵共 28 个棵距, 32+28=60 个棵距。 【例题 2】为了把 2008 年北京奥运会办成绿色奥运,全国各地都在加强环保,植树造林。 某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树,现运回一批树苗,已知 一条路的长度是另一条路长度的两倍还多 6000 米,若每隔 4 米栽一棵,则少 2754 棵;若 每隔 5 米栽一棵, 则多 396 棵, 则共有树苗: ( ) A.8500 棵 B.12500 棵 C.12596 棵 D.13000 棵 解析:设两条路共有树苗ⅹ棵,根据栽树原理,路的总长度是不变的,所以可根据路 程相等列出方程:(ⅹ+2754-4)×4=(ⅹ-396-4)×5(因为 2 条路共栽 4 排,所以要减 4)解 得ⅹ=13000,即选择 D。 四、和差倍问题 核心要点提示:和、差、倍问题是已知大小两个数的和或差与它们的倍数关系,求大 小两个数的值。(和+差)÷2=较大数;(和—差)÷2=较小数;较大数—差=较小数。 【例题】甲班和乙班共有图书 160 本,甲班的图书是乙班的 3 倍,甲班和乙班各有图 书多少本? 解析:设乙班的图书本数为 1 份,则甲班和乙班图书本书的合相当于乙班图书本数的 4 倍。乙班 160÷(3+1)=40(本),甲班 40×3=120(本)。 五.浓度问题 【例 1】(2008 年北京市应届第 14 题)—— 甲杯中有浓度为 17%的溶液 400 克,乙杯中 有浓度为 23%的溶液 600 克。现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液,把从甲杯中取出 的倒入乙杯中,把从乙杯中取出的倒入甲杯中,使甲、乙两杯溶液的浓度相同。问现在两 倍溶液的浓度是多少( ) A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4% 【答案】B。 【解析】这道题要解决两个问题: (1)浓度问题的计算方法

浓度问题在国考、京考当中出现次数很少,但是在浙江省的考试中,每年都会遇到浓 度问题。这类问题的计算需要掌握的最基本公式是

(2)本题的陷阱条件 “现在从甲、 乙两杯中取出相同总量的溶液, 把从甲杯中取出 的倒入乙杯中,把从乙杯中取出的倒入甲杯中,使甲、乙两倍溶液的浓度相同。”这句话

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描述了一个非常复杂的过程,令很多人望而却步。然而,只要抓住了整个过程最为核心的 结果——“甲、乙两杯溶液的浓度相同”这个条件,问题就变得很简单了。 因为两杯溶液最终浓度相同,因此整个过程可以等效为——将甲、乙两杯溶液混合均 匀之后,再分开成为 400 克的一杯和 600 克的一杯。因此这道题就简单的变成了“甲、乙 两杯溶液混合之后的浓度是多少”这个问题了。 根据浓度计算公式可得,所求浓度为:

如果本题采用题设条件所述的过程来进行计算,将相当繁琐。 六.行程问题 【例 1】(2006 年北京市社招第 21 题)—— 2 某单位围墙外面的公路围成了边长为 300 米的正方形,甲乙两人分别从两个对角沿 逆时针同时出发,如果甲每分钟走 90 米,乙每分钟走 70 米,那么经过( )甲才能看到乙 A.16 分 40 秒 B.16 分 C.15 分 D.14 分 40 秒 【答案】A。这道题是一道较难的行程问题,其难点在于“甲看到乙”这个条件。有一 种错误的理解就是“甲看到乙”则是甲与乙在同一边上的时候甲就能看到乙,也就是甲、 乙之间的距离小于 300 米时候甲就能看到乙了,其实不然。考虑一种特殊情况,就是甲、 乙都来到了这个正方形的某个角旁边,但是不在同一条边上,这个时候虽然甲、乙之间距 离很短,但是这时候甲还是不能看到乙。由此看出这道题的难度——甲看到乙的时候两人 之间的距离是无法确定的。 有两种方法来“避开”这个难点—— 解法一:借助一张图来求解 虽然甲、乙两人沿正方形路线行走,但是行进过程完全可以等效的视为两人沿着直线 行走,甲、乙的初始状态如图所示。

图中的每一个“格档”长为 300 米, 如此可以将题目化为这样的问题“经过多长时间, 甲、乙能走入同一格档?” 观察题目选项,发现有 15 分钟、16 分钟两个整数时间,比较方便计算。因此代入 15 分钟值试探一下经过 15 分钟甲、乙的位置关系。经过 15 分钟之后,甲、乙分别前进了 90×15=1350 米=(4×300+150)米 70×15=1050 米=(3×300+150)米

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也就是说,甲向前行进了 4 个半格档,乙向前行进了 3 个半格档,此时两人所在的地 点如图所示。

甲、乙两人恰好分别在两个相邻的格档的中点处。这时甲、乙两人相距 300 米,但是 很明显甲还看不到乙,正如解析开始处所说,如果单纯的认为甲、乙距离差为 300 米时, 甲就能看到乙的话就会出错。 考虑由于甲行走的比乙快,因此当甲再行走 150 米,来到拐弯处的时候,乙行走的路 程还不到 150 米。此时甲只要拐过弯就能看到乙。因此再过 150/90=1 分 40 秒之后,甲恰 好拐过弯看到乙。所以甲从出发到看到乙,总共需要 16 分 40 秒,甲就能看到乙。 这种解法不是常规解法,数学基础较为薄弱的考生可能很难想到。 解法二:考虑实际情况 由于甲追乙,而且甲的速度比乙快,因此实际情况下,甲能够看到乙恰好是当甲经过 了正方形的一个顶点之后就能看到乙了。也就是说甲从一个顶点出发,在到某个顶点时, 甲就能看到乙了。 题目要求的是甲运动的时间,根据上面的分析可知,经过这段时间之后,甲正好走了 整数个正方形的边长,转化成数学运算式就是 90×t=300×n 其中,t 是甲运动的时间,n 是一个整数。带入题目四个选项,经过检验可知,只有 A 选项 16 分 40 秒过后,甲运动的距离为 90×(16×60+40)/60=1500=300×5 符合“甲正好走了整数个正方形的边长”这个要求,它是正确答案。 七.抽屉问题三个例子: (1)3 个苹果放到 2 个抽屉里,那么一定有 1 个抽屉里至少有 2 个苹果。 (2)5 块手帕分给 4 个小朋友,那么一定有 1 个小朋友至少拿了 2 块手帕。 (3)6 只鸽子飞进 5 个鸽笼,那么一定有 1 个鸽笼至少飞进 2 只鸽子。 我们用列表法来证明例题(1): 放 抽 法 屉

①种 3个

②种 2个

③种 1个

④种 0个

第 1 个抽屉

4

第 2 个抽屉

0个

1个

2个

3个

从上表可以看出,将 3 个苹果放在 2 个抽屉里,共有 4 种不同的放法。 第①、②两种放法使得在第 1 个抽屉里,至少有 2 个苹果;第③、④两种放法使得在 第 2 个抽屉里,至少有 2 个苹果。 即:可以肯定地说,3 个苹果放到 2 个抽屉里,一定有 1 个抽屉里至少有 2 个苹果。 由上可以得出: 题 号 物 苹 手 鸽 体 数 果 帕 子 量 抽屉数 放入 2 个抽屉 分给 4 个人 飞进 5 个笼子 结 果

(1) (2) (3)

3个 5块 6只

有一个抽屉至少有 2 个苹果 有一人至少拿了 2 块手帕 有一个笼子至少飞进 2 只鸽

上面三个例子的共同特点是:物体个数比抽屉个数多一个,那么有一个抽屉至少有 2 个这样的物体。从而得出: 抽屉原理 1:把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里,则至少有一个抽屉里有 2 个或 2 个 以上的物体。 再看下面的两个例子: (4)把 30 个苹果放到 6 个抽屉中,问:是否存在这样一种放法,使每个抽屉中的苹 果数都小于等于 5? (5)把 30 个以上的苹果放到 6 个抽屉中,问:是否存在这样一种放法,使每个抽屉 中的苹果数都小于等于 5? 解答:(4)存在这样的放法。即:每个抽屉中都放 5 个苹果;(5)不存在这样的放 法。即:无论怎么放,都会找到一个抽屉,它里面至少有 6 个苹果。 从上述两例中我们还可以得到如下规律: 抽屉原理 2:把多于 m×n 个的物体放到 n 个抽屉里,则至少有一个抽屉里有 m+1 个 或多于 m+l 个的物体。 可以看出,“原理 1”和“原理 2”的区别是:“原理 1”物体多,抽屉少,数量比 较接近;“原理 2”虽然也是物体多,抽屉少,但是数量相差较大,物体个数比抽屉个数 的几倍还多几。 以上两个原理, 就是我们解决抽屉问题的重要依据。 抽屉问题可以简单归结为一句话: 有多少个苹果,多少个抽屉,苹果和抽屉之间的关系。解此类问题的重点就是要找准“抽 屉”,只有“抽屉”找准了,“苹果”才好放。

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我们先从简单的问题入手: (1)3 只鸽子飞进了 2 个鸟巢,则总有 1 个鸟巢中至少有几只鸽子?(答案:2 只) (2)把 3 本书放进 2 个书架,则总有 1 个书架上至少放着几本书?(答案:2 本) (3)把 3 封信投进 2 个邮筒,则总有 1 个邮筒投进了不止几封信?(答案:1 封) (4)1000 只鸽子飞进 50 个巢,无论怎么飞,我们一定能找到一个含鸽子最多的巢, 它里面至少含有几只鸽子?(答案:1000÷50=20,所以答案为 20 只) (5)从 8 个抽屉中拿出 17 个苹果,无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的 抽屉,从它里面至少拿出了几个苹果?(答案:17÷8=2??1,2+1=3,所以答案为 3) (6)从几个抽屉中(填最大数)拿出 25 个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从 它当中至少拿了 7 个苹果?(答案:25÷□=6??□,可见除数为 4,余数为 1,抽屉数 为 4,所以答案为 4 个) 抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。如上面(1)、(2)、(3)题, 讲的就是这些原理。上面(4)、(5)、(6)题的规律是:物体数比抽屉数的几倍还多几 的情况,可用“苹果数”除以“抽屉数”,若余数不为零,则“答案”为商加 1;若余数 为零,则“答案”为商。其中第(6)题是已知“苹果数”和“答案”来求“抽屉数”。 抽屉问题的用处很广,如果能灵活运用,可以解决一些看上去相当复杂、觉得无从下 手,实际上却是相当有趣的数学问题。 例 1:某班共有 13 个同学,那么至少有几人是同月出生?( )A. 13 B. 12 C. 6 D. 2 解 1:找准题中两个量,一个是人数,一个是月份,把人数当作“苹果”,把月份当 作“抽屉”,那么问题就变成:13 个苹果放 12 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里放两个 苹果。【已知苹果和抽屉,用“抽屉原理 1”】 例 2:某班参加一次数学竞赛,试卷满分是 30 分。为保证有 2 人的得分一样,该班 至少得有几人参赛?( ) A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 解 2: 毫无疑问, 参赛总人数可作“苹果”, 这里需要找“抽屉”, 使找到的“抽屉” 满足:总人数放进去之后,保证有 1 个“抽屉”里,有 2 人。仔细分析题目,“抽屉”当 然是得分,满分是 30 分,则一个人可能的得分有 31 种情况(从 0 分到 30 分),所以“苹 果”数应该是 31+1=32。【已知苹果和抽屉,用“抽屉原理 2”】 例 3. 在某校数学乐园中,五年级学生共有 400 人,年龄最大的与年龄最小的相差不 到 1 岁,我们不用去查看学生的出生日期,就可断定在这 400 个学生中至少有两个是同年 同月同日出生的,你知道为什么吗?

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解 3:因为年龄最大的与年龄最小的相差不到 1 岁,所以这 400 名学生出生的日期总 数不会超过 366 天,把 400 名学生看作 400 个苹果,366 天看作是 366 个抽屉,(若两名 学生是同一天出生的, 则让他们进入同一个抽屉, 否则进入不同的抽屉) 由“抽屉原则 2” 知“无论怎么放这 400 个苹果, 一定能找到一个抽屉, 它里面至少有 2 (400÷366=1??1, 1+1=2)个苹果”。即:一定能找到 2 个学生,他们是同年同月同日出生的。 例 4:有红色、白色、黑色的筷子各 10 根混放在一起。如果让你闭上眼睛去摸,(1) 你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的?为什么?(2)至少拿几根,才能保 证有两双同色的筷子,为什么? 解 4:把 3 种颜色的筷子当作 3 个抽屉。则: (1)根据“抽屉原理 1”,至少拿 4 根筷子,才能保证有 2 根同色筷子;(2)从最 特殊的情况想起,假定 3 种颜色的筷子各拿了 3 根,也就是在 3 个“抽屉”里各拿了 3 根 筷子,不管在哪个“抽屉”里再拿 1 根筷子,就有 4 根筷子是同色的,所以一次至少应拿 出 3×3+1=10(根)筷子,就能保证有 4 根筷子同色。 例 5. 证明在任意的 37 人中,至少有 4 人的属相相同。 解 5:将 37 人看作 37 个苹果,12 个属相看作是 12 个抽屉,由“抽屉原理 2”知, “无论怎么放一定能找到一个抽屉,它里面至少有 4 个苹果”。即在任意的 37 人中,至少 有 4(37÷12=3??1,3+1=4)人属相相同。 例 6:某班有个小书架,40 个同学可以任意借阅,试问小书架上至少要有多少本书, 才能保证至少有 1 个同学能借到 2 本或 2 本以上的书? 分析:从问题“有 1 个同学能借到 2 本或 2 本以上的书”我们想到,此话对应于“有 一个抽屉里面有 2 个或 2 个以上的苹果”。所以我们应将 40 个同学看作 40 个抽屉,将书 本看作苹果,如某个同学借到了书,就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。 解 6:将 40 个同学看作 40 个抽屉,书看作是苹果,由“抽屉原理 1”知:要保证有 一个抽屉中至少有 2 个苹果,苹果数应至少为 40+1=41(个)。即:小书架上至少要有 41 本书。 例 7:(国家公务员考试 2004 年 B 类第 48 题的珠子问题): 有红、黄、蓝、白珠子各 10 粒,装在一个袋子里,为了保证摸出的珠子有两颗颜色 相同,应至少摸出几粒?( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解 7:把珠子当成“苹果”,一共有 10 个,则珠子的颜色可以当作“抽屉”,为保 证 摸出的珠子有 2 颗颜色一样,我们假设每次摸出的分别都放在不同的“抽屉”里,摸 了4

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个颜色不同的珠子之后,所有“抽屉”里都各有一个,这时候再任意摸 1 个,则一定 有 一个“抽屉”有 2 颗,也就是有 2 颗珠子颜色一样。答案选 C。 例 8:(国家公务员考试 2007 年第 49 题的扑克牌问题): 从一副完整的扑克牌中, 至少抽出 ( ) 张牌, 才能保证至少 6 张牌的花色相同? A. 21 B.22 C.23 D.24 解 8:完整的扑克牌有 54 张,看成 54 个“苹果”,抽屉就是 6 个(黑桃、红桃、梅 花、方块、大王、小王),为保证有 6 张花色一样,我们假设现在前 4 个“抽屉”里各放 了 5 张,后两个“抽屉”里各放了 1 张,这时候再任意抽取 1 张牌,那么前 4 个“抽屉” 里必然有 1 个“抽屉”里有 6 张花色一样。答案选 C。 归纳小结:解抽屉问题,最关键的是要找到谁为“苹果”,谁为“抽屉”,再结合两 个原理进行相应分析。可以看出来,并不是每一个类似问题的“抽屉”都很明显,有时候 “抽屉”需要我们构造,这个“抽屉”可以是日期、扑克牌、考试分数、年龄、书架等等 变化的量,但是整体的出题模式不会超出这个范围。 八.“牛吃草”问题 牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草,这块地既有原有的草,又有每天新长 出的草。由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。 解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草 地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。 这类问题的基本数量关系是: 1. (牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数- 吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。 2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃 草天数=草地原有的草。 下面来看几道典型试题: 例 1. 由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算,牧场上 的草可供 20 头牛吃 5 天, 或供 16 头牛吃 6 天。 那么可供 11 头牛吃几天? ( ) A.12 B.10 C.8 D.6 【答案】C。 解析:设每头牛每天吃 1 份草,则牧场上的草每天减少(20×5-16×6)÷(6-5) =4 份草,原来牧场上有 20×5+5×4=120 份草,故可供 11 头牛吃 120÷(11+4)=8 天。

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例 2. 有一片牧场,24 头牛 6 天可以将草吃完;21 头牛 8 天可以吃完,要使牧草 永远吃不完,至多可以放牧几头牛?( ) A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】C。 解析:设每头牛每天吃 1 份草,则牧场上的草每天生长出(21×8-24×6)÷(8-6) =12 份,如果放牧 12 头牛正好可吃完每天长出的草,故至多可以放牧 12 头牛。 例 3. 有一个水池, 池底有一个打开的出水口。 用 5 台抽水机 20 小时可将水抽完, 用 8 台抽水机 15 小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水,那么多长时间将水漏完?( ) A.25 B.30 C.40 D.45 【答案】D。 解析:出水口每小时漏水为(8×15-5×20)÷(20-15)=4 份水,原来有水 8×15+4×15=180 份,故需要 180÷4=45 小时漏完。 练习: 1.一片牧草,可供 16 头牛吃 20 天,也可以供 80 只羊吃 12 天,如果每头 牛每天吃草量等于每天 4 只羊的吃草量,那么 10 头牛与 60 只羊一起吃这一片草,几天可 以吃完?( ) A.10 B.8 C.6 D.4 2.两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。20 秒内男孩走 27 级,女孩走了 24 级,按此 速度男孩 2 分钟到达另一端,而女孩需要 3 分钟才能到达。则该扶梯静止时共有多少级可 以看见?( ) A.54 B.48 C.42 D.36 3.22 头牛吃 33 公亩牧场的草,54 天可以吃尽,17 头牛吃同样牧场 28 公亩的草,84 天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场 40 公亩的草,24 天吃尽?( )A.50 B.46 C.38 D.35 九.利润问题 利润就是挣的钱。利润占成本的百分数就是利润率。商店有时减价出售商品,我们把 它称为“打折”, 几折就是百分之几十。 如果某种商品打“八折”出售, 就是按原价的 80% 出售;如果某商品打“八五”折出售,就是按原价的 85%出售。利润问题中,还有一种利 息和利率的问题,属于百分数应用题。本金是存入银行的钱。利率是银行公布的,是把本 金看做单位“1”,按百分之几或千分之几付给储户的。利息是存款到期后,除本金外,按 利率付给储户的钱。本息和是本金与利息的和。 这一问题常用的公式有: 定价=成本+利润 利润=成本×利润率 定价=成本×(1+利润率) 利润率=利润÷成本 利润的百分数=(售价-成本)÷成本

×100% 售价=定价×折扣的百分数 利息=本金×利率×期数 本息和=本金×(1+利率×期数)

例 1 某商品按 20%的利润定价,又按八折出售,结果亏损 4 元钱。这件商品的成本是

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多少元? A.80 B.100 C.120 D.150 【答案】B。解析:现在的价格为(1+20%)×80%=96%,故成本为 4÷(1-96%)=100 元。 例 2 某商品按定价出售,每个可以获得 45 元的利润,现在按定价的八五折出售 8 个, 按定价每个减价 35 元出售 12 个,所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元?( ) A.100 B.120 C.180 D.200 【答案】D。解析:每个减价 35 元出售可获得利润(45-35)×12=120 元,则如按八五 折出售的话, 每件商品可获得利润 120÷8=15 元, 少获得 45-15=30 元, 故每个定价为 30÷ (1-85%)=200 元。 例 3 一种商品,甲店进货价比乙店便宜 12%,两店同样按 20%的利润定价,这样 1 件 商品乙店比甲店多收入 24 元,甲店的定价是多少元?( ) A.1000 B.1024 C.1056 D.1200 【答案】C。解析:设乙店进货价为 x 元,可列方程 20%x-20%×(1-12%)x=24,解得 x=1000,故甲店定价为 1000×(1-12%)×(1+20%)=1056 元。 练习: 1.书店卖书,凡购同一种书 100 本以上,就按书价的 90%收款,某学校到 书店购买甲、乙两种书,其中乙书的册数是甲书册数的 ,只有甲种书得到了优惠,这时, 买甲种书所付总钱数是买乙种书所付钱数的 2 倍,已知乙种书每本定价是 1.5 元,优惠前 甲种书每本定价多少元? A.4 B.3 C.2 D.1 2.某书店对顾客实行一项优惠措施:每次买书 200 元至 499.99 元者优惠 5%,每次买 书 500 元以上者(含 500 元)优惠 10%。某顾客到书店买了三次书,如果第一次与第二次合 并一起买,比分开买便宜 13.5 元;如果三次合并一起买比三次分开买便宜 39.4 元。已知 第一次付款是第三次付款的 ,这位顾客第二次买了多少钱的书? A.115 B.120 C.125 D.130 3.商店新进一批洗衣机,按 30%的利润定价,售出 60%以后,打八折出售,这批洗衣机 实际利润的百分数是多少? A.18.4 B.19.2 C.19.6 D.20 十.平均数问题 这里的平均数是指算术平均数,就是 n 个数的和被个数 n 除所得的商,这里的 n 大于 或等于 2。通常把与两个或两个以上数的算术平均数有关的应用题,叫做平均数问题。 平 均数应用题的基本数量关系是: 总数量和÷总份数=平均数 平均数×总份数=总数量和 总数量和÷平均数=总份数 解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。

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例 1: 在前面 3 场击球游戏中,某人的得分分别为 130、143、144。为使 4 场游戏得 分的平均数为 145,第四场他应得多少分?( ) 【答案】C。解析:4 场游戏得分平均数为 145,则总分为 145×4=580,故第四场应的 580-130-143-144=163 分。 例 2: 李明家在山上,爷爷家在山下,李明从家出发一每分钟 90 米的速度走了 10 分 钟到了爷爷家。回来时走了 15 分钟到家,则李 是多少?( ) A.72 米/分 B.80 米/分 C.84 米/分 D90 米/分 【答案】A。解析:李明往返的总路程是 90×10×2=1800(米),总时间为 10+15=25 均 速度为 1800÷25=72 米/分。 例 3: 某校有有 100 个学生参加数学竞赛,平均得 63 分,其中男生平均 60 分,女生 平均 70 分,则男生比女生多多少人?( ) A.30 B.32 C.40 D.45 【答案】C。解析:总得分为 63×100=6300,假设女生也是平均 60 分,那么 100 个学 生共的 6000 分,这样就比实得的总分少 300 分。这是女生平均每人比男生高 10 分,所以 这少的 300 分是由于每个女生少算了 10 分造成的,可见女生有 300÷10=30 人,男生有 100-30=70 人,故男生比女生多 70-30=40 人。 练习: 1. 5 个数的平均数是 102。如果把这 5 个数从小到大排列,那么前 3 个数的平均数是 70, 后 3 个数的和是 390。 中间的那个数是多少?( ) A.80 B.88 C.90 D.96 2. 甲、乙、丙 3 人平均体重 47 千克,甲与乙的平均体重比丙的体重少 6 千克,甲比 丙少 3 千克,则乙的体重为( )千克。 A.46 B.47 C.43 D.42

3. 一个旅游团租车出游,平均每人应付车费 40 元。后来又增加了 8 人,这样每人应 付的车 费是 35 元,则租车费是多少元?( ) 十一.方阵问题 学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列。如果行数与列数都相等,则正 好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。 核心公式: A.320 B.2240 C.2500 D.320

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1.方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心) 2.方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+1 3.方阵外一层总人数比内一层总人数多 2 4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1 例1 学校学生排成一个方阵,最外层的人数是 60 人,问这个方阵共有学生多少人? B.250 人 C.225 人 D.196 人 (2002 年

A.256 人 A 类真题)

解析:正确答案为 A。方阵问题的核心是求最外层每边人数。 根据四周人数和每边人数的关系可以知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层 每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人) 16×16=256(人)。 整个方阵共有学生人数:

例 2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。 如果要使这个正方 形队列减少一行和一列,则要减少 33 人。问参加团体操表演的运动员有多少人? 分析 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。 从图中可以看出正方形的每行、 每列 人数相等;最外层每边人数是 5,去一行、一列则一共要去 9 人,因而我们可以得到如下 公式: 去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1 解析:方阵问题的核心是求最外层每边人数。 原题中去掉一行、一列的人数是 33,则去掉的一行(或一列)人数=(33+1)÷2=17 方阵的总人数为最外层每边人数的平方,所以总人数为 17×17=289(人) 练习: 1. 小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形,正好用完,后来又改围成一 个正方形,也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用 5 枚硬币,则小红所 有五分硬币的总价值是( ): A. 1元 B. 2元 年中央真题) C. 3元 D. 4元 (2005

2. 某仪仗队排成方阵,第一次排列若干人,结果多余 100 人;第二次比第一次每行、每

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列都增加 3 人, 又少 29 人。 仪仗队总人数为多少? 案:1.C 2. 500 人 十二.年龄问题



主要特点是: 时间发生变化, 年龄在增长, 但是年龄差始终不变。 年龄问题往往是“和 差”、“差倍”等问题的综合应用。解题时,我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。 解答年龄问题的一般方法: 几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄 几年前的年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差 例 1: 甲对乙说:当我的岁数是你现在岁数时,你才 4 岁。乙对甲说:当我的岁数 到你现在的岁数时,你将有 67 岁,甲乙现在各有: A.45 岁,26 岁 B.46 岁,25 岁 C.47 岁,24 岁 D.48 岁,23 岁 【答案】B。 解析:甲、乙二人的年龄差为(67-4)÷3=21 岁,故今年甲为 67-21=46 岁,乙的 年龄为 45-21=25 岁。 例 2: 爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是 64 岁。当爸爸的年龄是哥哥的 3 倍时,妹 妹是 9 岁;当哥哥的年龄是妹妹的 2 倍时,爸爸 34 岁。现在爸爸的年龄是多少岁? A.34 B.39 C.40 D.42 【答案】C。 解析:解法一:用代入法逐项代入验证。解法二,利用“年龄差”是不变的,列方程 求解。设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为:x、y 和 z。那么可得下列三元一次方程: x+y+z=64;x-(z-9)=3[y-(z-9)];y-(x-34)=2[z-(x-34)]。可求得 x=40。 例 3: 1998 年,甲的年龄是乙的年龄的 4 倍。2002 年,甲的年龄是乙的年龄的 3 倍。 问甲、乙二人 2000 年的年龄分别是多少岁? A.34 岁,12 岁 B.32 岁,8 岁 C.36 岁, 12 岁 D.34 岁,10 岁 【答案】C。 解析:抓住年龄问题的关键即年龄差,1998 年甲的年龄是乙的年龄的 4 倍,则甲乙 的年龄差为 3 倍乙的年龄,2002 年,甲的年龄是乙的年龄的 3 倍,此时甲乙的年龄差为 2 倍乙的年龄,根据年龄差不变可得 3×1998 年乙的年龄=2×2002 年乙的年龄 3×1998 年乙的年龄=2×(1998 年乙的年龄+4) 1998 年乙的年龄=4 岁

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则 2000 年乙的年龄为 10 岁。 练习: 1. 爸爸在过 50 岁生日时,弟弟说:“等我长到哥哥现在的年龄时,我和哥 哥的年龄之和等于那时爸爸的年龄”,那么哥哥今年多少岁? A.18 B.20 C.25 D.28 2. 甲、乙两人的年龄和正好是 80 岁,甲对乙说:“我像你现在这么大时,你的年龄 正好是我的年龄的一半。”甲今年多少岁?( ) A.32 B.40 C.48 D.45 3. 父亲与儿子的年龄和是 66 岁,父亲的年龄比儿子年龄的 3 倍少 10 岁,那么多少 年前父亲的年龄是儿子的 5 倍?( ) A.10 B.11 C.12 D.13 十三. 比例问题 解决好比例问题,关键要从两点入手:第一,“和谁比”;第二,“增加或下降多少”。 例1 b 比 a 增加了 20%,则 b 是 a 的多少? a 又是 b 的多少呢?

解析:可根据方程的思想列式得 a×(1+20%)=b,所以 b 是 a 的 1.2 倍。 A/b=1/1.2=5/6,所以 a 是 b 的 5/6。 例 2 养鱼塘里养了一批鱼,第一次捕上来 200 尾,做好标记后放回鱼塘,数日后再 捕上 100 尾,发现有标记的鱼为 5 尾,问鱼塘里大约有多少尾鱼?

A. 200 B. 4000 年中央 B 类真题)

C. 5000

D. 6000

(2004

解析:方程法:可设鱼塘有 X 尾鱼,则可列方程,100/5=X/200,解得 X=4000,选择 B。 例 3 2001 年,某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了 20%,而每台的价格比 上一年度下降了 20%。如果 2001 年该公司的计算机销售额为 3000 万元,那么 2000 年的计 算机销售额大约是多少? A.2900 万元 题) B.3000 万元 C.3100 万元 D.3300 万元(2003 年中央 A 类真

解析:方程法:可设 2000 年时,销售的计算机台数为 X,每台的价格为 Y,显然由题 意可知,2001 年的计算机的销售额=X(1+20%)Y(1-20%),也即 3000 万=0.96XY,显然 XY≈3100。答案为 C。 特殊方法:对一商品价格而言,如果上涨 X 后又下降 X,求此时的商品价格原价的多 少?或者下降 X 再上涨 X, 求此时的商品价格原价的多少?只要上涨和下降的百分比相同, 我们就可运用简化公式, 1-X 。 但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式, 需要一步一步来。对于此题而言,计算机台数比上一年度上升了 20%,每台的价格比上一

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年度下降了 20%,因为销售额=销售台数×每台销售价格,所以根据乘法的交换律我们可 以看作是销售额上涨了 20%又下降了 20%,因而 2001 年是 2000 年的 1-(20%) =0.96, 2001 年的销售额为 3000 万,则 2000 年销售额为 3000÷0.96≈3100。 例 4 生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。 其中 25%是白色的, 75%是蓝色的。 如果这批衬衫总共有 100 件,其中大号白色衬衫有 10 件,问小号蓝色衬衫有多少 件?A.15 B.25 C.35 D.40 解析:这是一道涉及容斥关系(本书后面会有专题讲解)的比例问题。 根据已知 大号白=10 件,因为大号共 50 件,所以,大号蓝=40 件; 大号蓝=40 件,因为蓝色共 75 件,所以,小号蓝=35 件; 此题可以用另一思路进行解析(多进行这样的思维训练,有助于提升解题能力) 大号白=10 件,因为白色共 25 件,所以,小号白=15 件; 小号白=15 件,因为小号共 50 件,所以,小号蓝=35 件; 例 5 某企业发奖金是根据利润提成的, 利润低于或等于 10 万元时可提成 10%; 低于 或等于 20 万元时,高于 10 万元的部分按 7.5%提成;高于 20 万元时,高于 20 万元的部分 按 5%提成。当利润为 40 万元时,应发放奖金多少万元?

A. 2 B. 2.75 年中央 A 类真题)

C. 3

D. 4.5

(2003

解析:这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式即可。 奖金应为 10×10%+(20-10)×7.5%+(40-20)×5%=2.75 例 6 某企业去年的销售收入为 1000 万元,成本分生产成本 500 万元和广告费 200 万元两个部分。若年利润必须按 P%纳税,年广告费超出年销售收入 2%的部分也必须按 P%纳税,其它不纳税,且已知该企业去年共纳税 120 万元,则税率 P%为 A.40% B.25% C.12% D.10% 解析:选用方程法。根据题意列式如下: (200-1000×2%)×P%=120 即 480×P%=120 P%=25% (1000-500-200)×P%+

例 7 甲乙两名工人 8 小时共加 736 个零件,甲加工的速度比乙加工的速度快 30%,问 乙每小时加工多少个零件? A.30 个 B.35 个 C.40 个 D.45 个 (2002 年 A 类真题)

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解析:选用方程法。设乙每小时加工 X 个零件,则甲每小时加工 1.3X 个零件,并可列 方程如下: (1+1.3X)×8=736 X=40 例 8 已知甲的 12%为 13,乙的 13%为 14,丙的 14%为 15,丁的 15%为 16,则甲、乙、 丙、丁 4 个数中最大的数是: A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (2001 年中央真题) 解析:显然甲=13/12%;乙=14/13%;丙=15/14%;丁=16/15%,显然最大与最小就在甲、 乙之间,所以比较甲和乙的大小即可,甲/乙=13/12%/16/15%>1, 所以,甲>乙>丙 >丁,选择 A。 例 10 某储户于 1999 年 1 月 1 日存人银行 60000 元, 年利率为 2.00%, 存款到期日即 2000 年 1 月 1 日将存款全部取出, 国家规定凡 1999 年 11 月 1 日后孳生的利息收入应缴纳 利息税,税率为 20%,则该储户实际提取本金合计为 A.61 200 元 B.61 160 元 C.61 000 元 D.60 040 元 解析,如不考虑利息税,则 1999 年 1 月 1 日存款到期日即 2000 年 1 月 1 可得利息为 60000×2%=1200,也即 100 元/月,但实际上从 1999 年 11 月 1 日后要收 20%利息税,也即 只有 2 个月的利息收入要交税,税额=200×20%=40 元,所以,提取总额为 60000+1200-40=61160,正确答案为 B。 十四. 尾数计算问题 1. 尾数计算法 知识要点提示: 尾数这是数学运算题解答的一个重要方法, 即当四个答案全不相同时, 我们可以采用尾数计算法,最后选择出正确答案。 首先应该掌握如下知识要点: 2452+613=3065 的。 2452-613=1839 和的尾数 5 是由一个加数的尾数 2 加上另一个加数的尾数 3 得到

差的尾数 9 是由被减数的尾数 2 减去减数的尾数 3 得到。 积的尾数 6 是由一个乘数的尾 2 乘以另一个乘数的尾数 3 得

2452×613=1503076 到。

2452÷613=4 商的尾数 4 乘以除数的尾数 3 得到被除数的尾数 2, 除法的尾数有点 特殊,请学员在考试运用中要注意。 例1 99+1919+9999 的个位数字是( )。

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A.1 B.2 C.3 (2004 年中央 A、B 类真题)

D.7

解析:答案的尾数各不相同,所以可以采用尾数法。9+9+9=27,所以答案为 D。 例2 请计算(1.1)2 +(1.2)2 +(1.3)2 +(1.4)2 值是: C. 6.06 D. 6.30 型 (2002

A. 5.04 B. 5.49 年中央 A 类真题)

解析:(1.1)2 的尾数为 1,(1.2)2 的尾数为 4,(1.3)2 的尾数为 9,(1.4) 2 的尾数为 6,所以最后和的尾数为 1+3+9+6 的和的尾数即 0,所以选择 D 答案。 例 3 3×999+8×99+4×9+8+7 的值是: A.3840 B.3855 C.3866 D.3877 和为 7+2+6+8+7=30,所以正确答案为 A。 2. 自然数 N 次方的尾数变化情况 知识要点提示: 我们首先观察 2n 的变化情况

解析:运用尾数法。尾数

21 的尾数是 2 22 的尾数是 4 23 的尾数是 8

24 的尾数是 6 25 的尾数又是 2

我们发现 2 的尾数变化是以 4 为周期变化的即 21 、 25、 29??24n+1 的尾数都是相同 的。 3n 是以“4”为周期进行变化的,分别为 3,9,7,1, 7n 是以“4”为周期进行变化的,分别为 9,3,1,7, 8n 是以“4”为周期进行变化的,分别为 8,4,2,6, 4n 是以“2”为周期进行变化的,分别为 4,6, 9n 是以“2”为周期进行变化的,分别为 9,1, 5n、6n 尾数不变。 3,9,7,1 9,3,1,7 8,4,2,6 ?? ?? ??

4,6,?? 9,1,??

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例 1 的末位数字是: A.1 B.3 C.7 D.9 解析:9n 是以“2”为周期进行变化的,分别为 9,1, 9,1,??即当奇数方时 尾数为“9”,当偶数方时尾数为“1”,1998 为偶数,所以原式的尾数为“1”,所以答 案为 A。 例 2 19881989+1989 的个位数 是 A.9 B.7

C.5

D.3

解析:由以上知识点我们可知 19881989 的尾数是由 81989 的尾数确定的,1989÷4 =497 余 1,所以 81989 的尾数和 81 的尾数是相同的,即 19881989 的尾数为 8。 我们再来看 19891988 的尾数是由 91988 的尾数确定的,1988÷4=497 余 0,这里注 意当余数为 0 时,尾数应和 94、98 、912 ?? 94n 尾数一致,所以 91988 的尾数与 94 的 尾数是相同的, 即为 1。 综上我们可以得到 19881989 + 19891988 尾数是 8+1=9, 所以应选择 C。 十五. 最小公倍数和最小公约数问题 1.关键提示: 最小公倍数与最大公约数的题一般不难,但一定要细致审题,千万 不要粗心。另外这类题往往和日期(星期几)问题联系在一起,要学会求余。 2.核心定义: (1)最大公约数:如果一个自然数 a 能被自然数 b 整除,则称 a 为 b 的倍数,b 为 a 的约数。几个自然数公有的约数,叫做这几个自然数的公约数。公约 数中最大的一个公约数,称为这几个自然数的最大公约数。 (2)最小公倍数:如果一个自然数 a 能被自然数 b 整除,则称 a 为 b 的倍数,b 为 a 的约数。 几个自然数公有的倍数, 叫做这几个自然数的公倍数.公倍数中最小的一个大于零 的公倍数,叫这几个数的最小公倍数。 例题 1:甲每 5 天进城一次,乙每 9 天进城一次,丙每 12 天进城一次,某天三人在城 里相遇, 那么下次相遇至少要: A. 60 天 B. 180 天 C. 540 天 D. 1620 天 (2003 年浙江真题) 解析:下次相遇要多少天,也即求 5,9,12 的最小公倍数,可用代入法,也可直接求。 显然 5,9,12 的最小公倍数为 5×3×3×4=180。 例题 2:三位采购员定期去某商店,小王每隔 9 天去一次,大刘每隔 11 天去一次, 老杨每隔 7 天去一次,三人星期二第一次在商店相会,下次相会是星期几? A.星期 一 B.星期二 C.星期三 D.星期四 解析: 此题乍看上去是求 9, 11, 7 的最小公倍数的问题, 但这里有一个关键词, 即“每 隔”,“每隔 9 天”也即“每 10 天”,所以此题实际上是求 10,12,8 的最小公倍数。 10, 12,8 的最小公倍数为 5×2×2×3×2=120。120÷7=17 余 1, 所以,下一次相会则 是在星期三,选择 C。

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例题 3:赛马场的跑马道 600 米长,现有甲、乙、丙三匹马,甲 1 分钟跑 2 圈,乙 1 分钟跑 3 圈,丙 1 分钟跑 4 圈。如果这三匹马并排在起跑线上,同时往一个方向跑,请问 经过几分钟,这三匹马自出发后第一次并排在起跑线上?( ) A.1/ 2 B.1 C.6 D.12 解析:此题是一道有迷惑性的题,“1 分钟跑 2 圈”和“2 分钟跑 1 圈”是不同概念, 不要等同于去求最小公倍数的题。显然 1 分钟之后,无论甲、乙、丙跑几圈都回到了起跑 线上。 所以,答案为 B。 一.页码问题 对多少页出现多少1或2的公式 如果是 X 千里找几,公式是 1000+X00*3 如果是 X 百里找几,就是100+X0*2,X 有多 少个0 就*多少。依次类推!请注意,要找的数一定要小于 X ,如果大于 X 就不要加1000或 者100一类的了, 比如,7000页中有多少3 就是 1000+700*3=3100(个) 20000页中有多少6就是 2000*4=8000 (个) 友情提示,如3000页中有多少3,就是300*3+1=901,请不要把3000的3忘了 二,握手问题 N 个人彼此握手,则总握手数 S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2= 『n^2-n』/2 =N×(N-1)/2 例题: 某个班的同学体育课上玩游戏,大家围成一个圈,每个人都不能跟相邻的2 个人握手,整个游戏一共握手152次, 请问这个班的同学有( )人 A、16 B、17 C、18 D、 19 【解析】此题看上去是一个排列组合题,但是却是使用的多边形对角线的原理在解决 此题。 按照排列组合假设总数为 X 人 则 Cx 取3=152 但是在计算 X 时却是相当的麻烦。 我 们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握 x-3次手。每个人都是这样。 则总共握了 x×(x-3)次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数 是 x×(x-3)÷2=152 计算的 x=19人 三,钟表重合公式 钟表几分重合,公式为: x/5=(x+a)/60 a 时钟前面的格数 四,时钟成角度的问题 设 X 时时,夹角为30X , Y 分时,分针追时针5.5,设夹角为 A.(请大家掌握) 钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度,每过一分钟分针走6度,时针走 0.5度,能追5.5度。 1.【30X-5.5Y】或是360-【30X-5.5Y】 【】表示绝对值的意义(求角度公式) 变式与应用 2.【30X-5.5Y】=A 或360-【30X-5.5Y】=A (已知角度或时针或分针求其中一个角) 五,往返平均速度公式及其应用(引用) 某人以速度 a 从 A 地到达 B 地后,立即以速度 b 返回 A 地,那么他往返的平均速度 v=2ab/(a+b )。 证明:设 A、B 两地相距 S,则 往返总路程2S,往返总共花费时间 s/a+s/b 故 v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b) 六,空心方阵的总数 空心方阵的总数= (最外层边人(物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4

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= 最外层的每一边的人数^2-(最外层每边人数-2*层数)^2 =每层的边数相加×4-4×层数 空心方阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数 方阵的基本特点: ① 方阵不论在哪一层, 每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层 边上的人数就少2; ② 每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系: ③ 中实方阵总人(或物)数=(每边人(或物)数)2=(最外层总人数÷4+1)2 例:① 某部队排成一方阵,最外层人数是80人,问方阵共有多少官兵?(441人) ② 某校学生刚好排成一个方队,最外层每边的人数是 24 人,问该方阵有多少名学 生?(576名)解题方法:方阵人数=(外层人数÷4+1)2=(每边人数)2 ③ 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。 如果要使这个正方 形队列减少一行和一列,则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人?(289人) 解题方法:去掉的总人数=原每行人数×2-1=减少后每行人数×2+1 典型例题:某个军队举行列队表演,已知这个长方形的队阵最外围有32人,若以长和 宽作为边长排出2个正方形的方阵需要180人。则原来长方形的队阵总人数是( ) A、64, B、72 C、96 D、100 【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。长方形的 ( 长 + 宽)×2=32+4 得到长+宽=18。 可能这里面大家对于长+宽=18 有些难以计算。 你可以假设 去掉4个点的人先不算。 长+宽(不含两端的人)×2+4(4个端点的人)=32 , 则计算出不含端 点的长+宽=14 考虑到各自的2端点所以实际的长宽之和是14+2+2=18 。 求长方形的人数, 实际上是求长×宽。根据条件 长×长+宽×宽=180 综合(长+宽)的平方=长×长+宽×宽 +2×长×宽=18×18 带入计算即得到 B。其实在我们得到长宽之和为18时,我们就可以通 过估算的方法得到选项 B 七,青蛙跳井问题 例如:①青蛙从井底向上爬,井深10米,青蛙每跳上5米,又滑下4米,这样青蛙需跳 几次方可出井?(6) ②单杠上挂着一条4米长的爬绳,小赵每次向上爬1米又滑下半米来,问小赵几次才能 爬上单杠?(7) 总解题方法: 完成任务的次数=井深或绳长 - 每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位 转化成半米) 例如第二题中,每次下滑半米,要将前面的4米转换成8个半米再计算。 完成任务的次数=(总长-单长)/实际单长+1 八,容斥原理 总公式: 满足条件一的个数+满足条件2的个数-两个都满足的个数=总个数-两个都不满 足的个数 【国2006一类-42】现有50名学生都做物理、化学实验,如果物理实验做正确的有 40 人,化学实验做正确的有31人,两种实验都做错的有4人,则两种实验都做对的有多少人? A.27人 B.25人 C.19人 D.10人 上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”,这类问题一般比较简单, 使用容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较高,而画图浪费时 间比较多。鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出,下面华图名师李委明给出一个通解 公式,希望对大家解题能有帮助:

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例如上题,代入公式就应该是:40+31-x=50-4,得到 x=25。我们再看看其它题目: 【国 2004A-46】某大学某班学生总数为32人,在第一次考试中有26人及格,在第二次考试中有 24人及格,若两次考试中,都没有及格的有4人,那么两次考试都及格的人数是多少?A.22 B.18 C.28 D.26 代入公式:26+24-x=32-4,得到 x=22 九,传球问题 这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。 【李委明解三】不免投机取巧,但最有效果(根据对称性很容易判断结果应该是3的倍 数,如果答案只有一个3的倍数,便能快速得到答案),也给了一个启发---传球问题核心公式 N 个人传 M 次球, 记 X=[(N-1)^M]/N, 则与 X 最接近的整数为传给“非自己的某人”的 方法数,与 X 第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条公式,可以解决此类 至少三人传球的所有问题。 四人进行篮球传接球练习,要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球,并作为第一 次传球,若第五次传球后,球又回到甲手中,则共有传球方式: A.60种 B.65种 C.70种 D.75种 x=(4-1)^5/4 x=60 十,圆分平面公式: N^2-N+2,N 是圆的个数 十一,剪刀剪绳 对折 N 次,剪 M 刀,可成 M*2^n+1段 将一根绳子连续对折3次,然后每隔一定长度剪一刀,共剪6刀。问这样操作后,原来的 绳子被剪成了几段? A.18段 B.49段 C.42段 D.52段 十二,四个连续自然数, 性质一,为两个积数和两个偶数,它们的和可以被2整除,但是不能被4整除 性质二,他们的积+1是一个奇数的完全平方数 十三,骨牌公式 公式是:小于等于总数的2的 N 次方的最大值就是最后剩下的序号 十四,指针重合公式 关于钟表指针重合的问题,有一个固定的公式:61T=S(S 为题目中最小的单位在题目 所要求的时间内所走的格书,确定 S 后算出 T 的最大值知道相遇多少次。) 十五,图色公式 公式:(大正方形的边长的3次方)—(大正方形的边长—2)的3次方。 十六,装错信封问题 小明给住在五个国家的五位朋友分别写信,这些信都装错的情况共有多少种 44种 f(n)=n!(1-1/1!+1/2!!-1/3!......+(-1)n(1/n!)) 或者可以用下面的公式解答 装错1信 0种 装错2信:1种 3 2 4 9 5 44 递 推 公 式 是 S(n)=n.S(n-1)+(-1)^n~~~~~ 如果是6封信装错的话就是265~~

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~~ 十七,伯努利概率模型 某人一次涉及击中靶的概率是3/5,设计三次,至少两次中靶的概率是 集中概率3/5,则没集中概率2/5,即为两次集中的概率+三次集中的概率 公式为 C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0] 81/125 十八,圆相交的交点问题 N 个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析 N*(N-1) 十九,约数个数问题 M=A^X*B^Y 则 M 的约数个数是 (X+1)(Y+1) 360这个数的约数有多少个?这些约数的和是多少? 解〕360=2×2×2×3×3×5,所以360的任何一个约数都等于至多三个2(可以是零个, 下同),至多两个3和至多一个5的积。如果我们把下面的式子 (1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5) 展开成一个和式,和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前 面的分析不难看出, 360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。 由于第一个括号 里有4个数,第二个括号里有3个数,第三个括号里有2个数,所以这个展开式中的加数个数 为4×3×2=24,而这也就是360的约数的个数。另一方面,360的所有约数的和就等于这个 展开式的和,因而也就等于 (1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5) =15×13×6=1,170 答:360的约数有24个,这些约数的和是1,170。 甲数有9个约数,乙数有10个约数,甲、乙两数最小公倍数是2800,那么甲数和乙数分 别是多少? 解:一个整数被它的约数除后,所得的商也是它的约数,这样的两个约数可以配成一 对.只有配成对的两个约数相同时, 也就是这个数是完全平方数时, 它的约数的个数才会是 奇数.因此,甲数是一个完全平方数. 2800=24×52×7. 在它含有的约数中是完全平方数,只有 1,22,24,52,22×52,24×52. 在这6个数中只有22×52=100,它的约数是(2+1)×(2+1)=9(个). 2800是甲、乙两数的最小公倍数,上面已算出甲数是100=22×52,因此乙数至少要含 有24和7,而24×7=112恰好有(4+1)×(1+1)=10(个)约数,从而乙数就是112.综合起来,甲 数是100,乙数是112. 二十,吃糖的方法 当有 n 块糖时,有2^(n-1)种吃法。 二十一,隔两个划数 1987=3^6+1258 1258÷2×3+1=1888 即剩下的是1888 减去1能被3整除 二十二,边长求三角形的个数

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三边均为整数,且最长边为11的三角形有 多少个? [asdfqwer]的最后解答:

11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1 ; 11,10,10;11,10,9;...11,10,2; 11,9,9;...11,9,3; 二十三,2乘以多少个奇数的问题 如果 N 是1,2,3,?,1998,1999,2000的最小公倍数,那么 N 等于多少个2与1个奇 数的积? 解:因2^10=1024,2^11=2048>2000,每个不大于2000的自然数表示为质因数相乘,其 中2的个数不多于10个,而1024=2^10,所以,N 等于10个2与某个奇数的积。 二十四,直线分圆的图形数 设直线的条数为 N 则 总数=1+{N(1+N)}/2 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片, 如果要分成不少于50个小纸片, 至少要画多少条直线?请说明. 〔解〕我们来一条一条地画直线。画第一条直线将圆形纸片划分成2块.画第二条直线, 如果与第一条直线在圆内相交,则将圆形纸片划分成 4块(增加了2块),否则只能划分成3 块.类似地,画第三条直线,如果与前两条直线都在圆内相交,且交点互不相同 (即没有3 条直线交于一点), 则将圆形纸片划分成7块(增加了3块), 否则划分的块数少于7块.下图是 画3条直线的各种情形 由此可见,若希望将纸片划分成尽可能多的块数,应该使新画出的直线与原有的直线 都在圆内相交,且交点互不相同.这时增加的块数等于直线的条数。(为什么?)这样划分出 的块数,我们列个表来观察: 直线条数纸片最多划分成的块数 1 1+1 2 1+1+2 3 1+1+2+3 4 1+1+2+3+4 5 1+1+2+3+4+5 不难看出, 表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。 (为什么?)我们把 问题化为:自第几行起右边的数不小于50?我们知道 1+1+2+3+?+10=56,1+1+2+3+?+9=46,可见 9行右边还不到50,而第10行右边已经超过50了。答:至少要画10条直线。 二十五,公交车超骑车人和行人的问题 一条街上,一个骑车人和一个步行人相向而行,骑车人的速度是步行人的3倍,每个隔 10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人,如果公 交车从始发站每隔相同的时间发一辆车,那么间隔几分钟发一辆公交车? 此类题通解公式: a=超行人时间,b=超自行车时间,m=人速,n=自行车速 则每隔 t 分钟发车;t=(abn-abm)/(bn-am),令 M=1 N=3,解得 T=8。 二十六,公交车前后超行人问题

11,8,8;...11,8,4; 11,7,7,...11,7,5; 11,6,6; 1+3+5+7+9+11=6^2=36 如果将11改为 n 的话, n=2k-1时,为 k^2个三角形; n=2k 时,为(k+1)k 个三角形。

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小明放学后,沿某公交路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停的运 行,每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车, 问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车? 此类题有个通解公式:如果 a 分钟追上,b 分钟相遇, 则是2ab/(a+b)分钟发一次车 二十七,象棋比赛人数问题 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局胜者记2分,负者记0分,和 棋各记1分,四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是:1979,1980,1984,1985, 经核实只有一位观众统计正确,则这次比赛的选手共有多少名? A.44 B.45 C.46 D.47 解析:44*43=1892, 45*44=1980 ,46*45=2070 所以选 B 二十八,频率和单次频度都不同问题 猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑着的兔子,立刻追赶,猎犬的步子大,它跑5 步的路程,兔要跑9步,但兔子动作快,猎犬跑2步的时间,兔子跑3步。猎犬至少跑多少米 才能追上兔子?() A. 67B. 54C. 49D. 34 答案 b 分析:猎犬的步子大, 它跑5步的路程, 兔要跑9步, 但兔子动作快, 猎犬跑2步的时间, 兔子跑3步.可知猎犬和兔子的速度比是6:5,s/(s-9)=6/5,s=54 二十九,上楼梯问题 一般来说上电梯有 a1=1 a2=2 a3=4 a4=a1+a2+a3 所以一般公式是 an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3) 三十,牛吃草公式 核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)*天数 例如:10牛可吃20天,15牛可吃10天,则25牛可吃多少天? 解:可用公式,设每天恰可供 X 头牛吃一天,25牛可吃 N 天 则(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N ,可得 X=5,Y=5 三十一,十字相乘法 十字相乘法使用时要注意几点: 第一点:用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点:得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点:总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放对角线上。 (2007年国考) 某班男生比女生人数多80%,一次考试后,全班平均成级为75 分,而 女生的平均分比男生的平均分高20% ,则此班女生的平均分是: A .84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分 答案:A 分析: 假设女生的平均成绩为 X,男生的平均 Y。男生与女生的比例是9:5。 男生:Y 9 75 女生:X 5 根据十字相乘法原理可以知道 X=84 6. (2007年国考).某高校2006 年度毕业学生7650 名,比上年度增长2 % . 其中本科 毕业生比上年度减少2 % . 而研究生毕业数量比上年度增加10 % , 那么,这所高校今年毕 业的本科生有: A .3920 人 B .4410 人 C .4900人 D .5490 人

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答案:C 分析:去年毕业生一共7500人。7650/(1+2%)=7500人。 本科生:-2% 8% 2% 研究生:10% 4% 本科生:研究生=8%:4%=2:1。 7500*(2/3)=5000 5000*0.98=4900 此方法考试的时候一定要灵活运用 三十二,兔子问题 An=A(n-1)An(n-2) 4;2对成兔.1对幼兔 已知一对幼兔能在一月内长成一对成 5;;3对成兔.2对幼兔 年兔子,一对成年兔子能在一月内生出一 6;5对成兔.3对幼兔....... 对幼兔。如果现在给你一对幼兔,问一年 可看出规律 :1,1,2,3,5,8( 第三数是 后共有多少对兔子? 前两数之和),可求出第12项 析:1月:1对幼兔 为 :13,21,34,55,89,144 ,答 : 有 144 2月:1对成兔 只兔 3月;1对成兔.1对幼兔 三十三,称重量砝码最少的问题 例题:要用天平称出1克、2克、3克??40克这些不同的整数克重量,至少要用多少个 砝码?这些砝码的重量分别是多少? 分析与解:一般天平两边都可放砝码,我们从最简单的情形开始研究。 (1)称重1克,只能用一个1克的砝码,故1克的一个砝码是必须的。 (2)称重2克,有3种方案: ①增加一个1克的砝码; ②用一个2克的砝码; ③用一个3克的砝码,称重时,把一个1克的砝码放在称重盘内,把3克的砝码放在砝码 盘内。从数学角度看,就是利用3-1=2。 (3)称重3克,用上面的②③两个方案,不用再增加砝码,因此方案①淘汰。 (4)称重4克,用上面的方案③,不用再增加砝码,因此方案②也被淘汰。总之,用1 克、3克两个砝码就可以称出(3+1)克以内的任意整数克重。 (5)接着思索可以进行一次飞跃,称重5克时可以利用 9-(3+1)=5,即用一个9克重的砝码放在砝码盘内,1克、3克两个砝码放在称重盘内。 这样,可以依次称到1+3+9=13(克)以内的任意整数克重。 而要称14克时,按上述规律增加一个砝码,其重为 14+13=27(克), 可以称到1+3+9+27=40(克)以内的任意整数克重。 总之,砝码重量为1,3,32,33克时,所用砝码最少,称重最大,这也是本题的答案。 三十三,文示图 红圈: 球赛。 蓝圈: 电影 绿圈:戏剧。

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X 表示只喜欢球赛的人; Y 表示只喜欢 a+b+c=是只喜欢2项的人 我们叫做 B 电影的人; Z 表示只喜欢戏剧的人 T 就是我们所说的三项都喜欢的人 a 表示喜欢球赛和电影的人。仅此 2 x+a+c+T=是喜欢球赛的人数 构成一 项。不喜欢戏剧 个红圈 b 表示喜欢电影和戏剧的人。仅此 2 y+a+b+T=是喜欢电影的人数 构成一 项。不喜欢球赛 个蓝圈 c 表示喜欢球赛和戏剧的人。 仅此2项 z+b+c+T=是喜欢戏剧的人数 构成一 不喜欢电影。 个绿圈 中间的阴影部分则表示三者都喜欢 三个公式。 的。我们用 T 表示。 (1) A+B+T=总人数 回顾上面的7个部分。X,y,z,a,b, (2) A+2B+3T=至少喜欢1个的人数和 c,T 都是相互独立。互不重复的部分 (3) B+3T=至少喜欢2个的人数和 现在开始对这些部分规类。 X+y+z= 是只喜欢一项的人 我们叫做 A 例题: 学校教导处对100名同学进行调查, 结果有58人喜欢看球赛, 有38人喜欢看戏剧, 有52人喜欢看电影。另外还知道,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影)的有6人, 既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人,三种都喜欢的有12人。 通过这个题目我们看 因为每个人都至少喜欢三项中的一项。则我们用三个圈红,绿, 蓝代表球赛。戏剧、和电影。 A+B+T=100 A+2B+3T=148 T=12 则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的 A=64 B=24 典型例题:甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都 有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做 容易题,难题比容易题多( )题? A、6 B、5 C、4 D、3 【解析】第三题需要结合文氏图来理解了,画图会很清楚的 我们设 a 表示简单题目, b 表示中档题目 c 表示难题 a+b+c=20 c+2b+3a=12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的 将 a+b+c=20变成 2a+2b+2c=40 减去 上面的第2个式子 得到: c-a=4 答案出来了 可能很多人都说这个方法太耗时了,的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当 当完全了解熟练运用 a+2b+3c 这个公式时,你会发现再难的题目也不会超过1分钟。 三十四,九宫图问题 此公式只限于奇数行列 步骤1:按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序,依次斜线填写! 步骤2: 然后将3×3格以外格子的数字折翻过来, 最左边的放到最右边,最右边的放到最左边 最上边的放到最下边,最下边的放到最上边 这样你再看中间3×3格子的数字是否已经满足题目的要求了 呵呵! 三十五,用比例法解行程问题

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行程问题一直是国家考试中比较重要的一环,其应用之广恐无及其右者。行程问题的 计算量按照基础做法不得不说非常大。所以掌握简单的方法尤为重要。当然简单的方法需 要对题目的基础知识的全面了掌握和理解。 在细说之前我们先来了解如下几个关系: 路程为 S。速度为 V 时间为 T S=VT V=S/T T=S/V S 相同的情况下: V 跟 T 成反比 V 相同的情况下: S 跟 T 成正比 T 相同的情况下: S 跟 V 成正比 注:比例点数差也是实际差值对应的比例! 理解基本概念后,具体题目来分析 例一、 甲乙2人分别从相距200千米的 AB 两地开车同时往对方的方向行驶。 到达对方始 发点后返回行驶,按照这样的情况,2人第4次相遇时甲比乙多行了280千米 已知甲的速度 为60千米每小时。则乙的速度为多少? 分析:这个题目算是一个相遇问题的入门级的题目。我们先从基础的方法入手,要多 给自己提问 求乙的速度 即要知道乙的行驶路程 S 乙, 乙所花的时间 T 乙。 这2个变量都没 有告诉我们,需要我们去根据条件来求出: 乙的行驶路程非常简单可以求出来。 因为甲乙共经过4次相遇。 希望大家不要嫌我罗嗦。 我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给大家。 第一次相遇情况 A(甲).。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。(甲)C(乙)。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。B(乙) AC 即为第一次相遇 甲行驶的路程。 BC 即为乙行驶的路程 则看出 AC+BC=AB 两者行驶路程之和=S 第2次相遇的情况 A.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。(乙)D(甲)。 。 。 。 。 。C。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。B 在这个图形中, 我们从第一次相遇到第2次相遇来看甲从 C 点开始行驶的路线是 C-B-D, 其路程是 BC+BD 乙行驶的路线则是 C-A-D 其行驶的路程是 AC+AD 可以看出第2次相遇两者的行驶路程之和是 BC+BD+AC+AD=(BC+AC)+(BD+AD)=2S , 同理 第3,4次相遇都是这样。 则我们发现 整个过程中,除第一次相遇是一个 S 外。其余3次相遇都是2S。总路程是 2×3S+S=7S 根据题目,我们得到了行驶路程之和为7×200=1400 因 为 甲 比 乙 多 行 驶 了 280 千 米 则 可 以 得 到 乙 是 (1400-280)÷2=560 则 甲 是 560+280=840 好,现在就剩下乙的行驶时间的问题了。因为两个人的行驶时间相同则通过计算甲的 时间得到乙的时间 即 840÷60=14小时。 所以 T 乙=14小时。 那么我就可以求出乙的速度 V 乙=S 乙÷T 乙=560÷14=40 说道这里我需要强调的是,在行程问题中,可以通过比例来迅速解答题目。 比例求解法: 我们假设乙的速度是 V 则根据时间相同,路程比等于速度比, S 甲:S 乙=V 甲:V 乙 衍生出如下比例:(S 甲+S 乙):(S 甲-S 乙)=(V 甲+V 乙):(V 甲-V 乙) 得出 1400:280=(60+V):(60-V)解得 V=40

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例二、甲车以每小时160千米的速度,乙车以每小时20千米的速度,在长为210千米的 环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次,甲车减速1/3 ,而乙车则增 速1/3 。问:在两车的速度刚好相等的时刻,它们共行驶了多少千米? A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310 【解析】 我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等 160×(2/3)的 N 次方=20×(4/3)的 N 次方 N 代表了次数 解得 N=3 说明第三次相遇即 达到速度相等 第一次相遇前: 开始时速度是160:20=8:1 用时都一样,则路程之比=速度之比 我们设乙行驶了 a 千米 则 (a+210 ) : a = 8:1 解得 a=30 第二次相遇前: 速度比是 甲:乙=4:1 用时都一样, 则路程之比=速度之比 我们设乙从第1次相遇到第2次相遇行驶了 b 千米 则 (b+210 ) : b = 4:1 解得 a=70 第三次相遇前:速度比是 甲:乙=2:1 用时都一样, 则路程之比=速度之比 我们设乙从第2次相遇到第3次相遇行驶了 c 千米 则 (c+210 ) : c = 2: 1 解得 c=210 则三次乙行驶了 210+70+30=310千米 而甲比乙多出3圈 则甲是 210×3+310=940 例三、一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城,返回时它用原速度走了全程的4 分之3多5米,再改用每小时30千米的速度走完余下的路程,因此,返回甲城的时间比前往 乙城的时间多用了10分钟,甲、乙两城相距多远? 【解析】我们知道多出来的10分钟即1/6小时是在最后1/4差5千米的路程里产生的 , 则根据路程相同 速度比等于时间比的反比 即 T30:T40=40:30=4:3 所以30千米行驶的最后部分是用了 1/6×(4-3)×4=2/3小时 即路程是30×2/3=20千米 总路程是(20+5)÷1/4=100 例四、甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走 的路程等于甲摇浆90次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上? A. 14 B.16 C.112 D.124 【解析】 甲摇浆10次时乙摇浆8次 知道甲乙速度之比=5:4 而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是 甲:乙=7:9 所以,我们来看 相同时间内甲乙得距离之比,5×7:4×9=35:36 说明,乙比甲多出1个比例单位 现在甲先划桨 4 次, 每浆距离是 7 个单位,乙每浆就是 9 个单位, 所以甲领先乙是 4×7=28个单位 ,事实上乙每4浆才能追上36-35=1个单位, 说明28个单位需要28×4=112浆次追上! 选 C 例五、甲乙两个工程队共100人,如果抽调甲队人的1/4至乙队,则乙队比甲队多了2/9, 问甲队原来多少人? 这个题目其实也很简单,下面我说一个简单方法 【 解 析 】 根 据 条 件 乙 队 比 甲 队 多 了 2/9 我 们 假 设 甲 队 是 单 位 1 , 则 乙 队 就 是 1+2/9=11/9 ,100人的总数不变 可见 甲乙总数是1+11/9=20/9 (分母不看) 则100人被分成20分 即甲是100÷20×9=45 乙是 55

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因为从甲队掉走1/4 则剩下的是3/4 算出原来甲队是 45÷3/4=60 三十六,计算错对题的独特技巧 例题:某次考试有30道判断题,每做对一 道题得4分, 不做的不得分, 做错一道题倒 扣2分 小明得分是96分,并且小明有题目 没做,则小明答对了几道试题() A 28 B 27 C 26 D25 正确答案是 D 25 题 我们把一个答错的和一个不答的题目 看成一组,则一组题目被扣分是6+4=10 解释一下6跟4的来源 6是做错了不但得不到4分还被扣除2 分 这样里外就差4+2=6分 4是不答题 只被扣4分,不倒扣分。 三十八,两数之间个位和十位相同的个数 1217到2792之间有多少个位数和十位数相 我们还得对结果再次除以 11 直到所 同的数? 得的商小于11为止 从第一个满足条件的数开始每个满足 商+余数再除以11 条件的数之间都是相差11 (143+2)÷11=13 余数是2 方法一: 看整数部分1217~2792 (13+2)÷11=1 因为商已经小于11, 所 先看1220~2790 相差1570 则有这样 以余数不管 规律的数是1570÷10=157个 则我们就可以得到个数应该是 方法二: 我们先求两数差值 143+13+1=157 2792-1217=1575 不过这样的方法不是绝对精确的,考 1575中有多少11呢 1575÷11=143 余 虑到起始数字和末尾数字的关系。误差应 数是2 该会在1之间! 大家不要以为到这里就结束了 其实 还没有结束 三十九,搁两人握手问题 某个班的同学体育课上玩游戏,大家围成一个圈,每个人都不能跟相邻的2个人握手, 整个游戏一共握手152次, 请问这个班的同学有( )人 A、16 B、17 C、18 D、19 【解析】此题看上去是一个排列组合题,但是却是使用的对角线的原理在解决此题。 按照排列组合假设总数为 X 人 则 Cx 取3=152 但是在计算 X 时却是相当的麻烦。我们仔细 来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握 x-3次手。每个人都是这样。则总 共握了 x×(x-3) 次手。但是没 2 个人之间的握手都重复计算了 1 次。则实际握手次数是 x×(x-3)÷2=152 计算的 x=19人 四十,溶液交换浓度相等问题 设两个溶液的浓度分别为 A%,B%并且 A>B 设需要交换溶液为 X 则有:(B-X):X=X:(A-X) A:B=(A-X):X 这两种扣分的情况看着一组 目前被扣了30×4-96=24分 则说明 24÷10=2组 余数是4 余数是4 表明2组还多出1个没有答的 题目 则表明 不答的题目是2+1=3题,答错 的是2题 三十七,票价与票值的区别 票价是 P( 2, M) 是排列 票值是 C(2, M)

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典型例题:两瓶浓度不同得盐水混合液。60%的溶液是40克,40%的溶液是60克。要使 得两个瓶子的溶液浓度相同,则需要相互交换( )克的溶液? A、36 B、32 C、28 D、24 【解析】答案选 D 我们从两个角度分析一下,假设需要交换的溶液为 a 克。则我们来 一个一个研究,先看60%的溶液 相对于交换过来的 a 克40%的溶液 可以采用十字交叉法来 得出一个等式 即(再设混和后的标准浓度是 p) 40-a :a=(P-40% ) :(60%-P) 同理我们对40%的溶液进行研究 采用上述方法 也能得到一个等式: 60-a :a=(60%-P) :(P-40%) 一目了然,两者实际上是反比,即40-a :a=a :60-a 解得 a=24 即选 D 如果你对十字交叉法的原理理解的话 那么这个题目中间的过程完全可以省去。 所以说 任何捷径都是建立在你对基础知识的把握上。 解法二: 干脆把2个溶液倒在一起混和,然后再分开装到2个瓶子里 这样浓度也是相 等的。我们根据十字交叉法 ,60跟40的溶液混合比例 其实跟交换的 x 克60%溶液与剩下 60-x 克40%的溶液比例成反比,则60:40=60-x:x 解 X=24克 四十一,木桶原理 一项工作由编号为1~6的工作组来单独完成,各自完成所需的时间是: 5天,7天,8 天,9天,10.5天,18天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来共同完成。则需要( ) 天? A、2.5 B、3 C、4.5 D、6 【解析】这个题目就是我们常说的“木桶效应”类型的题目。 “木桶效应”概念来自 于经济学中的称呼。意思是一个木桶是由若干个木板拼凑起来的。其存水量取决于最短的 那块木板。 这个题目我们看 该项工作平均分配给了每个小组, 则每个小组完成1/6的工作 量。他们的效率不同 整体的时间是取决于最慢的那个人。当最慢的那个人做完了,其它小 组早就完成了。18天的那个小组是最慢的。所以完成1/6需要3小时,选 B 例题:一项工作,甲单独做需要14天,乙单独做需要18天,丙丁合做需要8天。则4人 合作需要( )天? A、4 B、 5 C、6 D、7 【解析】 题目还是“木桶效应”的隐藏运用。我们知道甲乙的各自效率。但是丙丁不 知道,根据合做的情况 并且最后问的也是合作的情况。我们不妨将其平均化处理。也就是 说 两个人的平均效率是16天。 那么这里效率最差的是18天。 大家都是18天 则4人合作需要 18÷4=4.5天。可见最差也不会超过4.5天,看选项只有 A 满足 四十二,坏钟表行走时间判定问题 一个钟表出现了故障,分针比标准时间每分钟快6秒,时针却是正常的。上午某一时刻 将钟表调整至标准时间。 经过一段时间 发现钟表的时刻为晚上9: 00 请问钟表在何时被调 整为标准时间? A、10:30 B、11:00 C、12:00 D、1:30 【解析】此题也是比较简单的题目。我们看因为每分钟快 6秒则1个小时快60×6=360 秒即6分钟。当9:00的时候 说明分针指在12点上。看选项。其时针正常,那么相差的小时 数是正常的,A 选项差10.5个小时即 分针快了10.5×6=63分钟。则分针应该在33分上。错 误! 同理看 B 选项 相差10个小时 即10×6=60分钟,刚好一圈,即原在12上,现在还在12 上选 B,其它雷同分析。 四十三,双线头法则问题 设做题的数量为 S 做对一道得 X 分 做错一道扣 Y 分 不答不得分 竞赛的成绩可能值为 N 令 T=(X+Y)/Y 则 N={[1+(1+S)]*(1+S)}/2-{[1+(S-T+1)]*(S-T+1)}/2

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某次数学竞赛共有10道选择题,评分办法是每一题答对得4分,答错一道扣2分,不答 不得分,设这次竞赛最多有 N 种可能的成绩,则 N 应等于多少? A、28 B、30 C、32 D、 36 【解析】该题是双线段法则问题【(1+11)×11÷2 】-【(1+8)×8÷2】=30 所谓线段法则就是说,一个线段上连两端的端点算在内共计 N 个点。问这个线段一共 可以行成多少线段。计算方法就是(N-1)×N÷2,我看这个题目。我们按照错误题目罗列大 家就会很清楚了 答对题目数 可能得分 10 40 2 8, 6, 4, 2, 0,-2,-4,-6, 9 36,34 -8 8 32,30,28 1 4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10, 7 28,26,24,22 -12,-14, 6 24,22,20,18,16 0 0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14, 5 20,18,16,14,12,10 -16,-18,-20 4 16,14,12,10, 8, 6,4 3 12,10, 8, 6, 4, 2,0, -2 这样大家就不难发现可能得分的情况随着答对题目数量的减少,或者说答错题目的增 多。 呈现等差数列的关系, 也就是线段法则的规律。 然后从第7开始出现了重复数字的产生。 也是随着题目的答错数量的增加而等差增加。这是隐藏的线段法则。所以称之为双线段法 则应用。 回归倒我一看的题目 大家可能要问,后面【】里面的8从什么地方来的? 这就是确定 重复位置在哪里的问题。 (得分分值+扣分分值)÷扣分分值=3 即当错3题时开始出现重复 数字。也就是隐形线段法则的起始端。10-3=7 就是说 从0~8之间有多少个间隔就有多少 个重复组合。 四十四,两人同向一人逆相遇问题 典型例题: 在一条长12米的电线上,红,蓝甲虫在8:20从左端分别以每分钟13厘米和11厘 米的速度向右端爬行去,黄虫以每分钟15厘米的速度从右端向左爬去,红虫在什么时刻恰好 在蓝虫和黄虫的中间? A 8:55 B 9:00 C 9:05 D 9:10 公式总结;设同向的速度分别为 A B 逆向的为 C 时间为 T 则 T=A+[(A-B)/2+C]*T=S 四十五,往返行程问题的整体求解法 首先两运动物体除第一次相遇行 S 外,每次相遇都行使了2S。 我们可以假设停留的时间没有停留,把他计入两者的总路程中 化静为动巧求答 例题: 1快慢两车同时从甲乙两站相对开出, 6小时相遇, 这时快车离乙站还有240千米, 已知慢车从乙站到甲站需行15小时,两车到站后,快车停留半小时,慢车停留1小时返回, 从第一次相遇到返回途中再相遇,经过多少小时? 解法:根据往返相遇问题的特征可知,从第一次相遇到返回途中再相遇,两车共行的 路程为甲乙两站距离的2倍,假设快车不在乙站停留0.5小时,慢车不在甲站停留1小时,则 两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为600× 2+60× 0.5+40× 1=1270(千米),故此期间 所经时间为1270÷ (60+40)=12.7(小时)

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2 甲乙两人同时从东镇出发, 到相距90千米的西镇办事, 甲骑自行车每小时行30千米, 乙步行每小时行10千米,甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回,途中与乙相遇。问这时乙 走了多少千米? 解法:根据题意可知甲从东镇到西镇,返回时与乙相遇(乙未到西镇,无返回现象), 故两人所行路程总和为(90× 2=)180(千米), 但因甲到西镇用了1小时办事。 倘若甲在这1小时 中没有停步(如到另一地方买东西又回到西镇,共用 1小时),这样两人所行总路程应为: 90× 2+30=210( 千 米 ) , 又 因 两 人 速 度 和 为 30+10=40( 千 米 ) , 故 可 求 得 相 遇 时 间 为 : (210÷ 40=)5.25(小时),则乙行了(10× 5.25=)52.5(千米)。 3 甲、乙两人同时从东西两镇相向步行,在距西镇20千米处两人相遇,相遇后两人又 继续前进。甲至西镇、乙至东镇后都立即返回,两人又在距东镇15千米处相遇,求东西两 镇距离? 解法一 设东西两镇相距为 x 千米, 由于两次相遇时间不变, 则两人第一次相遇前所走 路程之比等于第二次相遇前所走路程之比,故得方程: 所以东西两镇相距45千米。 解法二 紧扣往返行程问题的特征, 两人自出发至第二次相遇所走路程总和为东西两镇 距离的3倍,而第一次相遇距西镇20千米,正是乙第一次相遇前所走路程,则从出发至第二 次相遇乙共走(20× 3=)60(千米),第二次相遇时乙已从东镇返回又走了15千米,所以,两镇 的距离为(20× 3-15=)45(千米) 四十六,行船问题快解 例题:一只游轮从甲港顺流而下到乙港,马上又逆水返回 甲港,共用8小时,顺水每小时比逆水每小时多行12千米,前4小时比后4小时多行30千米。 甲、乙两港相距多少千米?A.72 B.60 C.55 D.48 解析:30/12=5/2,8-5/2=11/2 (12/2)*1/[(2/5-2/11)/2]=55 四十七, N 条线组成三角形的个数 n 条线最多能画成几个不重叠的三角形 F(n)=F(n-1)+ F(n-2) 如 f(11)=19 四十七,边长为 ABC 的小立方体个数 边长为 ABC 的长方体由边长为1的小立方体组成,一共有 abc 个小立方体,露在外面 的小立方体共有 abc-(a-2)(b-2)(c-2) 四十八,测井深问题 用一根绳子测井台到井水面的深度,把绳子对折后垂到井水面,绳子超过井台9米;把 绳子三折后垂到井水面,绳子超过井台2米。那么,绳子长多少米? 解答: (2*9-3*2)/(3-2)=12 (折数 *余数 -折数 *余数 )/折数差=高度 绳长=(高度+余数 )*折数 =(12+9)*2=42 四十九,分配对象问题 (盈+亏)/分配差 =分配对象数 有一堆螺丝和螺母,若一个螺丝配2个螺母,则多10个螺母;若1个螺丝配3个螺母,则 少6个螺母。共有多少个螺丝?( )A.16 B.22 C.42 D.48 解析:A,(10+6)/(3-2)=16 若干同学去划船,他们租了一些船,若每船4人则多5人,若每船5人则船上空4个坐位, 共有( )位同学 A.17 B.19 C.26 D.41 解析:D,(5+4)/(5-4)=9 ,4*9+5=41

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