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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5第一章正弦定理和余弦定理习题课


习题课
一、基础过关

正弦定理和余弦定理
( )

1.在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=44° ,则此三角形解的情况为 A.无解 C.一解 B.两解 D.解的个数不确定

π 2.在△ABC 中,BC=1,B= ,当△ABC 的面积等于 3时,sin C 等于 3 2 39 A. 13 2 39 C. 3 B. 13 13

(

)

2 13 D. 13

3.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2,b= 6,B=120° ,则 a 等于 ( A. 6 B.2 C. 3 D. 2 ( ) )

4.若△ABC 的内角 A、B、C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B 等于 A. 15 4 3 B. 4 3 15 11 C. D. 16 16

5.在△ABC 中,若 a2=bc,则角 A 是 A.锐角 B.钝角 C.直角 D.60°

(

)

6. 在△ABC 中, AB=2, AC= 6, BC=1+ 3, 为边 BC 上的高, AD 的长是________. AD 则 7.已知△ABC 的面积为 2 3,BC=5,A=60° ,则△ABC 的周长是________. a2-b2 sin?A-B? 8.在△ABC 中,求证: 2 = . c sin C 二、能力提升 9.在△ABC 中,已知 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角 C 为 A.30° C.45° 135° 或 B.60° D.120° ( )

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B+cos B= 2, 则角 A 的大小为________. 11.在△ABC 中,a, b,c 分别为内角 A, C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin B, C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 12.已知△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 m=(sin C,sin Bcos A),n=

(b,2c),且 m· n=0. (1)求 A 的大小; (2)若 a=2 3,c=2,求△ABC 的面积 S 的大小. 三、探究与拓展 b a tan C tan C 13.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + =6cos C,求 + 的 a b tan A tan B 值.

答案
1.B 2.A 3.D 4.D 5.A 6. 3 7.12 sin Acos B-cos Asin B 8.证明 右边= sin C sin A sin B = · B- cos · A cos sin C sin C
2 2 2 2 2 2 a a +c -b b b +c -a = · - · c 2ac c 2bc

a2+c2-b2 b2+c2-a2 a2-b2 = - = 2 2c2 2c2 c =左边. a2-b2 sin?A-B? 所以 2 = . c sin C 9.C [由已知有 a4+b4+c4-2a2c2-2b2c2=0, ∴(a2+b2)2-2(a2+b2)c2+c4=2a2b2, ∴(a2+b2-c2)2=2a2b2, ∴a2+b2-c2- 2ab=0 或 a2+b2-c2+ 2ab=0. ∴c2=a2+b2- 2ab 或 c2=a2+b2+ 2ab. ∴cos c= 2 2 或 cos C=- . 2 2

∴C=45° 135° 或 .] π 10. 6 11.解 (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,

即 a2=b2+c2+bc.① 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 所以 cos A=- ,故 A=120° . 2 (2)由①得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C, 1 又 sin B+sin C=1,故 sin B=sin C= . 2 因为 0° <B<90° <C<90° ,0° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 12.解 (1)∵m· n=0, ∴(sin C,sin Bcos A)· (b,2c)=0. ∴bsin C+2csin Bcos A=0.



b c = ,∴bc+2bccos A=0. sin B sin C

∵b≠0,c≠0,∴1+2cos A=0. 1 2π ∴cos A=- .∵0<A<π,∴A= . 2 3 (2)在△ABC 中,∵a2=b2+c2-2bccos A, ∴12=b2+4-4bcos ∴b2+2b-8=0. ∴b=-4(舍)或 b=2. 1 1 3 ∴△ABC 的面积 S= bcsin A= ×2×2× = 3. 2 2 2 b a 13.解 由 + =6cos C a b 得 b2+a2=6abcos C. 化简整理得 2(a2+b2)=3c2, 将 得 = = = tan C tan C + 切化弦, tan A tan B sin C cos A cos B · ( + ) cos C sin A sin B sin C sin ?A+B? · cos C sin Asin B sin C sin C · cos C sin Asin B sin2C . cos Csin Asin B 2π . 3

根据正、余弦定理得 sin2C = cos Csin Asin B c2 a +b2-c2 ab· 2ab
2



2c2 2c2 =4. 2 2= a +b -c 3 2 2 c -c 2
2



tan C tan C + =4. tan A tan B


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