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江苏省都梁中学2010届高三解析几何巩固练习(4)(数学)


江苏省都梁中学 2010 届高三解析几何巩固练习(4)
圆的方程练习
班级 姓名 一、填空题: 2 2 1.直线 x-y+3=0 被圆(x+2) +(y-2) =2 截得的弦长等于 2 2 2 2 2.圆 x +y +2x+6y+9=0 与圆 x +y -6x+2y+1=0 的位置关系是 2 2 3.过点 P(2,1)作圆 C:x +y -ax+2ay+2a+1=0 的切线有两条,则 a 取值范围是
4.设直线 2 x ? y ? 3 ? 0 与 y 轴的交点为 P,点 P 把圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25的直径分为两段, 则其长度之比为 5.圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 对称的圆的方程是 6.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么

y 的最大值是 x

7. 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 交于 E、 F 两点, 则 ?EOF (O 为原点) 的 面积为 8.已知圆 C1 的方程为 f ( x, y) ? 0 ,且 P( x0 , y0 ) 在圆 C1 外,圆 C 2 的方程为

f ( x, y) = f ( x0 , y0 ) ,则 C1 与圆 C 2 一定
9.两圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 , C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有且仅有
2 10.直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 有且只有一个交点,则 b 的取值范围是

11.已知实数 x,y 满足关系: x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 20 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最小值



12.已知两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 10, C2 :x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ?14 ? 0 .求经过两圆交点的公共弦所在的直线 方程_______ ____. _

13.过点 M(0,4) 、被圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 截得的线段长为 2 3 的直线方程为 14.圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 4 和 C 2 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 24 ? 0 的位置关系是_______ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分) 15.求过点 P(6,-4)且被圆 x ? y ? 20 截得长为 6 2 的弦所在的直线方程.
2 2

16.已知圆 C: ?x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 25及直线 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 . ?m ? R? (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程.

17 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西 70 km 处,受影响的范围是半径长 30 km 的圆形区域.已知港口位于台风正北 40 km 处,如果这 艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

18.已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的 圆恰过坐标原点,求实数 m 的值.

19.已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ
2 2

(O 为坐标原点) ,求该圆的圆心坐标及半径长.

20.求圆心在直线 x ? y ? 0 上,且过两圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 10 y ? 24 ? 0 ,

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 交点的圆的方程.

参考答案
1.

6
2 或 a>2 5

2. 相离 3.-3<a<- 4.

3 7 或 7 3

5. ( x ? 7)2 ? ( y ? 1)2 ? 1

3 3 6 5 7. 5 8.同心圆 9. 2 条
6. 10. ? 1 ? b ? 1 且 b ? ? 2 11. 30 ? 10 5 ; 12. x ? y ? 2 ? 0 ; 13.x=0 或 15x+8y-32=0; 14.内切; 15.解:设弦所在的直线方程为 y ? 4 ? k ( x ? 6) ,即 kx ? y ? 6k ? 4 ? 0 ① 则圆心(0,0)到此直线的距离为 d ? | 6k ? 4 | . 2
1? k
y

因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成 Rt△, 所以 ( | 6k ? 4 | )2 ? (3 2) 2 ? 20 . 1? k2 由此解得 k ? ?

O

x

7 或 k ? ?1 . 17
17 17

P

代入①得切线方程 ? 7 x ? y ? 6 ? (? 7 ) ? 4 ? 0 或

? x ? y ? 6 ? (?1) ? 4 ? 0 ,即 7 x ? 17 y ? 26 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .
16.解: (1)直线方程 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 ,可以改写为 m?2 x ? y ? 7 ? ? x ? y ? 4 ? 0 ,所以直线必经 过直线 2 x ? y ? 7 ? 0和x ? y ? 4 ? 0 的交点.由方程组 ?
?2 x ? y ? 7 ? 0, ? x ? 3, 解得 ? 即两直线的 ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ? 1

交点为 A (3,1) 又因为点 A?3,1? 与圆心 C ?1,2 ? 的距离 d ? 5 ? 5 ,所以该点在 C 内,故不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交.

(2)连接 AC ,过 A 作 AC 的垂线,此时的直线与圆 C 相交于 B 、 D . BD 为直线被圆所截得的最 短弦长.此时, AC ? 5, BC ? 5, 所以 BD ? 2 25 ? 5 ? 4 5 .即最短弦长为 4 5 . 又直线 AC 的斜率 k AC ? ? 1 ,所以直线 BD 的斜率为 2.此时直线方程
2

为: y ? 1 ? 2?x ? 3?, 即2 x ? y ? 5 ? 0. 17.解:我们以台风中心为原点 O,东西方向为 x 轴,建立如图 所示的直角坐标系. 这样,受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为

x2 ? y 2 ? 302 ① 轮船航线所在直线 l 的方程为
x y ? ? 1 ,即 4 x ? 7 y ? 280 ? 0 ② 70 40

如果圆 O 与直线 l 有公共点,则轮船受影响,需要改变航向;如果 O 与直线 l 无公共点,则轮船不受影响,无需改变航向. 由于圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 | 4 ? 0 ? 7 ? 0 ? 280 | 280 d? ? ? 30 67 42 ? 7 2 所以直线 l 与圆 O 无公共点.这说明轮船将不受台风影响,不用改变航向. ? y1 ? y 2 ? 4 2 ? 2 ? 18.解:由 ? x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 ? 5 y 2 ? 20y ? 12 ? m ? 0 ?? 12 ? m x ? 2 y ? 3 ? 0 y1 y 2 ? ? ? 5 ? 又 OP⊥OQ, ∴x1x2+y1y2=0,而 x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= 4m ? 27
5



4m ? 27 12 ? m ? ?0 5 5

解得 m=3.
2 2

y

19.解:将 x ? 3 ? 2 y 代入方程 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 , 得 5 y ? 20 y ? 12 ? m ? 0 .
2

P Q O x

设 P ? x1 , y1 ,Q ? x2 , y2 ,则 y1 , y2 满足条件:

?

?

y1 ? y2 ? 4,

y1 y2 ?

m ? 12 . 5

∵ OP⊥OQ, ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 而 x1 ? 3 ? 2 y1 , x2 ? 3 ? 2 y2 , ∴ x1x2 ? 9 ? 6 ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 . ∴ m ? 3 ,此时Δ ? 0 ,圆心坐标为(-

1 5 ,3),半径 r ? . 2 2

20.解法一: (利用圆心到两交点的距离相等求圆心) 将两圆的方程联立得方程组

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0 ? 2 2 ? x ? y ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 ,
解这个方程组求得两圆的交点坐标 A(-4,0) ,B(0,2) . 因所求圆心在直线 x ? y ? 0 上,故设所求圆心坐标为 ( x, ? x) ,则它到上面的两上交点 (-4,0)和(0,2)的距离相等,故有 (?4 ? x) 2 ? (0 ? x) 2 ? x 2 ? (2 ? x) 2 , 即 4 x ? ?12 ,∴ x ? ?3 , y ? ? x ? 3 ,从而圆心坐标是(-3,3) . 又 r ? (?4 ? 3) 2 ? 32 ? 10 , 故所求圆的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 10 . 解法二: (利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程) 同解法一求得两交点坐标 A(-4,0) ,B(0,2) ,弦 AB 的中垂线为 2 x ? y ? 3 ? 0 , 它与直线 x ? y ? 0 交点(-3,3)就是圆心,又半径 r ? 10 , 故所求圆的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 10 . 解法三: (用待定系数法求圆的方程) 同解法一求得两交点坐标为 A(-4,0) ,B(0,2) . 设所求圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,因两点在此圆上,且圆心在 x ? y ? 0 上,所 以得方

? a ? ?3 ?(?4 ? a) 2 ? b 2 ? r 2 ? 程组 ? a 2 ? (3 ? b) 2 ? r 2 ,解之得 ? ? b?3 , ? ? a?b ?0 ? ?r ? 10
故所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 10 .
2 2

解法四: (用“圆系”方法求圆的方程.过后想想为什么?) 设所求圆的方程为

x2 ? y 2 ? 2x ? 10 y ? 24 ? ? ( x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 8) ? 0 (? ? ?1) ,


x2 ? y 2 ?

2(1 ? ? ) 2(5 ? ? ) 8(3 ? ? ) x? y? ?0. 1? ? 1? ? 1? ?

可知圆心坐标为 (

1? ? 5 ? ? ,? ). 1? ? 1? ?

因圆心在直线 x ? y ? 0 上,所以

1? ? 5 ? ? ? ? 0 ,解得 ? ? ?2 . 1? ? 1? ?

2 2 将 ? ? ?2 代入所设方程并化简,求圆的方程 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 8 ? 0 .


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