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2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(人教A版必修2)


2.3

直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

1.下面四个命题,其中真命题的个数是( B ) ①垂直于同一直线的两条直线平行;②垂直于同一直线的 两个平面平行;③平行于同一平面的两个平面平行;④平行于

同一直线的两条直线平行.
A.2 个 C.4 个 B.3 个 D.1 个

解析:②、③、④正确.

2.下列命题(a、b 表示直线,α表示平面)中的真命题是(

A )

a∥b? ? ??a⊥α A. b⊥α? ? a⊥b? ? ??a⊥α C. b∥α? ?

a∥b? ? ??a∥α B. b?α? ? a⊥α? ? ??b∥α D. a⊥b? ?

3.下列命题中,假命题是( D ) A.过一点有一个平面与已知直线垂直 B.过一点至多只有一个平面与已知直线垂直 C.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 D.过一点可能有两个平面与已知直线垂直

4.直线 l 和平面α内无数条直线垂直,则(

D )

A.l 和α相互平行
B.l 和α相互垂直 C.l 在α内 D.不确定

解析:直线 l 和平面α内无数条直线垂直,可能是 l∥α,
l ?α,或 l 和α相交(也可能垂直),即 l 和α的位置关系不确定.

重点

线面垂直的判定

1.判定直线和平面是否垂直,通常有三种方法:
(1)定义法:如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直, 则直线 l 与平面α互相垂直,记作 l⊥α.l-平面α的垂线,α -直线 l 的垂面,它们的唯一公共点 P 叫做垂足(线线垂直→线 面垂直); (2)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条 直线与该平面垂直.用符号语言表示为:若 l⊥m,l⊥n,m∩n =B,m?α,n?α,则 l⊥α;

(3)若两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直
于这个平面.

2.根据线面垂直的定义知:线面垂直可以得到大量线线垂 直;由线面垂直的判定定理知:要得到线面垂直就需要线线垂 直.要深切体会线面垂直与线线垂直的相互转化. 3.定理:过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,过一 点有且只有一个平面与已知直线垂直.

难点

直线与平面所成的角

斜线和平面所成的角,简称“线面角”,它是平面的斜线和 它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角,一般先定

斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简
述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”. 通常,过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,并连接垂足和

斜足是产生线面角的关键.

线面垂直判定定理的应用 例 1:已知:如图 1,空间四边形 ABCD 中,AB=AC,DB =DC,取 BC 中点 E,连接 AE、DE,求证:BC⊥平面 AED. 证明:∵AB=AC,DB=DC,E 为BC 中点,

∴AE⊥BC,DE⊥BC.
又∵AE 与DE 交于E,∴BC⊥平面AED. 由判定定理可知要证明直 线垂直平面,只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可. 图1

1-1.如图 2(1),在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是边 G1G2、 G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现沿 SE、SF 及 EF 把这个正方

形折成一个几何体(如图 2(2)),使 G1、G2、G3 三点重合于点 G,
下面结论成立的是( A ) A.SG⊥平面 EFG B.SD⊥平面 EFG C.GF⊥平面 SEF D.GD⊥平面 SEF

(1)

(2)

图2 解析:在题图(1)中,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,在题图(2)中,

SG⊥GE,SG⊥GF,∴SG⊥平面 EFG.

1-2.如图 3,在四棱锥 P-ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD,AC ⊥CD,E 是 PC 上的任一点(除 P 和 C 点外),证明:CD⊥AE.

图3 证明:在四棱锥 P-ABCD 中, ∵PA ⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴PA ⊥CD. 又∵AC⊥CD,PA ∩AC=A. ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE?平面 PAC,∴CD⊥AE.

直线与平面所成的角
例2:如图 4,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求 A1B 与平 面 A1B1CD 所成的角.

图4
解:连接 BC1 交 B1C 于 O,连接 A1O,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中各个面为正方形,设其棱长为 a.

A1B1⊥B1C1? A1B1⊥平面BCC1B1? ? ? ?? ? A1B1⊥B1B ? BC1?平面BCC1B1 ? ? ? A1B1⊥BC1? ? ??BC1⊥平面 A1B1CD ? BC1⊥B1C ? ?
?A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影

?∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角.
2 在 Rt△A1BO 中,A1B= 2a,OB= 2 a OB 1 ? sin∠BA1O=A B=2? 1 ??∠BA1O=30° ? ? ∠BA1O为锐角 ?
?A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30°.

求直线和平面所成的角时,应注意的问题 是:(1)先判断直线和平面的位置关系.(2)当直线和平面斜交时,

常有以下步骤:①作——作出或找到斜线与射影所成的角;②
证——论证所作或找到的角为所求的角;③算——常用解三角 形的方法求角;④结论——说明斜线和平面所成的角值.

2-1.如图 5,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=2,

AA1=1,则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为(

)

图5
2 2 A. 3 2 B.3 2 C. 4 1 D.3

解析:如图22 ,连接 A1C1 ,则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角.
AB=BC=2?A1C1=2 2,又 AA1=1,
1

AA1 1 ∴AC1=3?sin ∠AC1A1=AC =3.

答案:D

图 22

2-2.若斜线段 AB 是它在平面α内的射影长的 2 倍,则 AB

与α所成的角为(
A.60°

A ) B.45° C.30° D.120°

线面垂直判定定理的应用 例 3:如图 6,已知 PA ⊥⊙O 所在平面,AB 为⊙O 直径,

C 是圆周上任一点,过 A 作 AE⊥PC 于 E,
求证:AE⊥平面 PBC. 证明:∵PA ⊥⊙O 所在平面,

BC?⊙O 所在平面,∴PA ⊥BC,
∵AB 为⊙O 直径, ∴AC⊥BC, 又 PA ∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC, 又 AE?平面 PAC,∴BC⊥AE, ∵AE⊥PC, PC∩BC=C,∴AE⊥平面 PBC. 图6

3-1.PA 是垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面,C 为圆上
异于 A、B 的任一点,则下列关系不正确的是( B )

A.PA ⊥BC
C.BC⊥平面 PAC

B.AC⊥PB D.PC⊥BC

例 4:如图 7,a∥b,点 P 在 a、b 所确定的平面外,PA ⊥a
于点 A,AB⊥b 于点 B,求证:PB⊥b. 错因剖析:没有正确使用线面垂直的判定定理.

正解:∵PA ⊥a,a∥b,∴PA ⊥b.
又∵AB⊥b,且 PA ∩AB=A, ∴b⊥平面 PAB. 又∵PB?平面 PAB,∴PB⊥b. 图7

4-1.P 为△ABC 所在平面外一点,O 为 P 在平面 ABC 上的

射影.
外心 (1)若 PA =PB=PC,则 O 是△ABC 的_____; 垂心 (2)若 PA ⊥BC,PB⊥AC,则 O 是△ABC 的_____; (3)若 P 到△ABC 三边的距离相等,且 O 在△ABC 内部,则 内心 O 是△ABC 的______; 垂心 (4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直,则 O 是△ABC 的_____.

解析:(1)如图 23,∵PO⊥平面 ABC, ∴PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC.

又∵PA =PB=PC,∴OA=OB=OC. ∴O 是△ ABC 的外心.

图 23 (2)如图 24,∵PO⊥平面 ABC,

图 24

∴PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.

∵BC⊥PA ,∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB, ∴O是△ ABC 的垂心.故填垂心.

(3)如图 25,

图 25 P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF, 则 PD=PE=PF.

∵PO⊥平面 ABC,∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD=OE=OF,且 OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心,故填内心.

(4)如图 26,

∵PO⊥平面 ABC,
∴OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影.

又∵PA ⊥PB,PA ⊥PC,
∴PA ⊥平面 PBC.

又∵BC?平面 PBC,
∴PA ⊥BC.∴OA⊥BC.

图 26

同理可证 OB⊥AC.
∴O是△ ABC 的垂心.故填垂心.


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