数学 第 1 课时 参数方程的概念 [核心必知] 1．参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x ， y 都是某个变数 t 的函数 ? ?x＝f（t）， ? ①，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点 M(x，y)都在这条曲 ?y＝g（t）， ? 线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程． 联系变量 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参数． 2．普通方程 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． [问题思考] 1．参数方程中的参数 t 是否一定有实际意义？ 提示：参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可 以是没有明显实际意义的变数． 2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？ ? ?x＝4t＋1， 提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如? 和 （t∈R） ?y＝2t ? ? ?x＝2m＋1， (m∈R) 都表示直线 x＝2y＋1. ? ?y＝m ? 数学 ? ?x＝2t， 已知曲线 C 的参数方程是? (t 为参数)． 2 ?y＝3t －1 ? (1)判断点 M1(0，－1)和 M2(4，10)与曲线 C 的位置关系； (2)已知点 M(2，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系．解答此题需要将已知点 代入参数方程，判断参数是否存在． ? ?x＝2t， (1)把点 M1 的坐标代入参数方程? ?y＝3t2－1， ? ? ?0＝2t， 得? 2 ? ?－1＝3t －1， ∴t＝0.即点 M1 在曲线 C 上． ? ?x＝2t， 把点 M2 的坐标代入参数方程? ?y＝3t2－1， ? ?4＝2t， ? 得? 方程组无解．即点 M2 不在曲线 C 上． 2 ? ?10＝3t －1， ? ?2＝2t， (2)∵点 M(2，a)在曲线 C 上，∴? ?a＝3t2－1. ? ∴t＝1，a＝3×12－1＝2.即 a 的值为 2. ————— ————————————— 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程， 然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上． 数学 ?x＝2sin θ ＋1， ? 1．已知曲线? (θ 为参数，0≤θ <π )，则下列各点 A(1，3)，B(2，2)， ? ?y＝sin θ ＋3 C(－3，5)在曲线上的点是________． 解析：将 A(1，3)点代入方程得 θ＝0；将 B、C 点坐标代入方程，方程无解，故 B、C 点不在曲线上． 答案：A(1，3) 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B、A 分别 在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程． [精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需要先确定参数，然后分别用同 一个参数表示 x 和 y. 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q. 如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP. 取 OB＝t，t 为参数(0＜t＜a)． ∵|OA|＝ a2－t2，∴|BQ|＝ a2－t2. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为 ? ?x＝t＋ a2－t2， ? (0＜t＜a) ?y＝t， ? 法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示． 数学 π π 取∠QBP＝θ，θ 为参数(0＜θ＜