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第22讲 函数与方程思想和数形结合思想


专题限时集训(二十二) [第 22 讲 函数与方程思想和数形结合思想] (时间:10 分钟+35 分钟)

1. 已知一个三次项系数为 1 的三次函数, 其图象与 x 轴两个交点的横坐标分别是 0, 3, 且 x=1 为其一个极值点,那么这个三次函数的极大值是( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 ) 2.方程 sin2x+2sinx+a=0 一定有解,则 a 的取值范围是( A.[-3,1] B.(-∞,1] C.[1,+∞) D.[-1,1] 1 3.函数 y=ln 的图象为( ) |2x-3|

图 22-1 2-sinx 4.函数 y= 的值域是________. 3-cosx 1.斜率等于 1 的直线被圆 x2+y2=2 所截得的弦长等于 2,则该直线在 x 轴和 y 轴上的 截距之和等于( ) A. 2 B.2 2 C.-2 2 D.0 1 2.若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈?0,2?成立,则 a 的最小值是( ? ? )

5 A.0 B.-2 C.- D.-3 2 3.某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出发, 沿直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸边上岸考察,然后 又乘汽艇沿原航线提速返回.设 t 为出发后的某一时刻,S 为汽艇与码头在时刻 t 的距离, 下列图象中能大致表示 S=f(t)的函数关系的为( )

图 22-2

4.已知 y=f(x)是最小正周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则函数 y=f(x)(x ∈R)图象与 y=|log5|x|| 图象的交点的个数是( ) A.8 B.9 C.10 D.12 5.若 a,b 是正数,且满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是________. ?log1(x+1),x∈[0,1), ? 6.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时 f(x)=? 2 则关于 x

?1-|x-3|,x∈[1,+∞), ?

的方程 f(x)=a(-1<a<1)的所有解之和为________.(用 a 表示)

7.证明:当正整数 n>8 时,( n)

n+ 1

>( n+1)

n

.

b x=4 处取得极值时, 若方程 f(x)=c 在区间[1,8] 8. 函数 f(x)=ax- +lnx.当 f(x)在 x=2, x 内有三个不同的实数根,求实数 c 的取值范围(ln2≈0.693).

专题限时集训(二十二) 【基础演练】 1.B 【解析】 设这个三次函数的解析式为 y=x(x- 3)(x-b),即 y=x3-( 3+b)x2 + 3bx. y′=3x2-2( 3+b)x+ 3b,由 x=1 时,导数等于零得 b=- 3.即函数的解析式是 y =x3-3x,不难求出这个函数的极大值点是 x=-1,极大值等于 2. 2.A 【解析】 构造函数 f(x)=sin2x+2sinx,则函数 f(x)的值域是[-1,3],因为方程 2 sin x+2sinx+a=0 一定有解,所以-1≤-a≤3,∴-3≤a≤1. 3 3.A 【解析】 易知 2x-3≠0,考虑对称性,当 x> 时,函数为减函数,所以选 A. 2 4.?

?3- 3 3+ 3? 【解析】 函数 y 的几何意义是指坐标平面上定点 A(3,2)与动点 ? , 4 ? ? 4

M(cosx,sinx)连线的斜率,而动点 M 的两坐标的平方和为 1,动点 M 是坐标平面内单位圆 上的点组成的,问题等价于求定点 A 和单位圆上的动点连线斜率的取值范围.如图,函数 y 的值域的两个端点,就是过点 A 的单位圆的两条切线 AM,AN 的斜率,设切线方程为 y-2 |-3k+2| 3± 3 =k(x-3),即 kx-y-3k+2=0,圆心到直线的距离为 2 =1,解得 k= 4 ,故所求 1+k 的函数值域为?

?3- 3 3+ 3?. ? , 4 ? ? 4

【提升训练】 1.D 【解析】 设直线方程为 y=x+b,即 x-y+b=0,由 b2 2- =1,解得 b=± 2. 2

当 b= 2时,直线在 x 轴上的截距为- 2,此时截距之和等于零;同理得当 b=- 2时, 截距之和等于零. 1 1 1 2.C 【解析】 不等式化为 a≥-?x+x?,设 f(x)=-?x+x?,易证 f(x)在区间?0,2?上 ? ? ? ? ? ? 1 5 单调递增,所以 f(x)max=- ,所以,不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈?0,2?成立的 a 的 ? ? 2 5 最小值是- . 2 3.C 【解析】 当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时,S=vt,图象为一条线段;当环岛 两周时,S 两次增至最大,并减少到与环岛前的距离 S0;上岛考察时,S=S0;返回时,S= S0-vt′,图象为一条线段.所以选 C. 4.C 【解析】 因函数 y=f(x)(x∈R)与 y=|log5|x||均为偶函数,故研究它们在 y 右侧 交点情况即可.作函数图象如图所示,从图可知,当 0<x<5 时有四个交点,当 x=5 时有一 个交点,在 x>5 时没有交点,故在 y 右侧交点个数为 5,由对称性知,在 y 轴左侧交点个数 也是 5.则两个函数图象交点个数为 10.选 C.

a+3 5.[9,+∞) 【解析】 方法 1:∵ab=a+b+3,∴a≠1,b= >0,从而 a>1 或 a-1 a<-3.又 a>0,∴a>1,∴a-1>0,所以 ab=f(a)=a· a-1= a+3 4 =(a-1)+ +5≥9,当且仅当 a-1 a-1

4 ,即 a=3 时取等号,当 1<a<3 时,函数 f(a)单调递减,当 a>3 时函数 f(a)单调 a-1

递增,所以 ab 的取值范围是[9,+∞). 方法 2:设 ab=t,则 a+b=t-3,∴a,b 可看成方程 x2-(t-3)x+t=0 的两个正根,

?(t-3) -4t≥0, ? 从而有?t-3>0, ?t>0, ?
2

解得 t≥9,即 ab≥9.

方法 3:由于 a>0,b>0,ab=a+b+3,则有 ab≥2 ab+3,即( ab-3)( ab+1)≥0, 所以 ab-3≥0,即 ab≥9.

??1?a-1(-1<a<0), ? 6. ??2? ? ?1-2a(0≤a<1)

【解析】

当 x<0 时 , 函 数 的 解 析 式 是 f(x) =

? ?log2(1-x),x∈(-1,0), ? 函数图象如图所示,当-1<a<0 时,方程 f(x)=a 有五个根, ?|x+3|-1,x∈(-∞,-1], ?

1 最左边的两个根之和为-6,最右边的两根之和为 6,中间的一个根是满足 log (x+1)=a 的 2 1 x,故 x=?2?a-1,同理当 0<a<1 时方程 f(x)=a 的所有根之和是满足 log2(1-x)=a 的 x 值, ? ? 即 x=1-2a,当 a=0 时所有根之和为 0,故所有根之和为

??1?a-1(-1<a<0), ??2? ? ?1-2a(0≤a<1). ?

7. 【解答】 证明:设 a=( n) n 1,b=( n+1) 则 lna= n+1 ln n,lnb= n ln n+1, ln n n n+1 ln n lna 作商有 = = . lnb n ln n+1 ln n+1 n+1



n



1-lnx lnx lnx 构造函数 f(x)= ,当 x>e 时,f′(x)= 2 <0,所以函数 f(x)= 在(e,+∞)内是减 x x x 函数. ln n ln n+1 从而,当正整数 n>8 时, n∈(e,+∞), n+1∈(e,+∞),所以有 > >0, n n+1 即 lna >1,所以 lna>lnb,即 a>b. lnb


所以( n) n 1>( n+1) n. 8. 【分析】 方程 f(x)=c 在区间[1,8]内有三个不同的实数根,类似于下面的图示,由于 函数的两个极值点在区间[1,8]内,根据图示,只有当 c 介于 f(2),f(8)中的较大者,f(1),f(4) 的较小者时即可.

b b 1 【解答】 ∵f(x)=ax- +lnx,∴f′(x)=a+ 2+ . x x x

?a+4+2=0, ∵f(x)在 x=2,x=4 处取得极值,∴f′(2)=0,f′(4)=0,即? b 1 ?a+16+4=0, ?a=-6, ? 4 ?b=-3.
x 4 ∴f(x)=- + +lnx, 6 3x x2-6x+8 (x-2)(x-4) 1 4 1 由 f′(x)=- - 2+ =- =- , 6 3x x 6x2 6x2 1

b 1

解得

当 x∈(1,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在(1,2)上单调递减;当 x∈(2,4)时,f′(x)>0,f(x)在(2,4) 上单调递增;当 x∈(4,8)时,f′(x)<0,f(x)在(4,8)上单调递减. 1 4 7 f(1)=- + +ln1= ≈1.167, 6 3 6 2 4 1 f(2)=- + +ln2= +ln2≈1.026, 6 6 3 4 4 1 f(4)=- + +ln4=- +2ln2≈1.053, 6 3×4 3 8 4 7 f(8)=- + +ln8=- +3ln2≈0.912. 6 3×8 6 故函数在[1,8]上的最大值是 f(1),最小值是 f(8).方程 f(x)=c 在区间[1,8]内有三个不同 的实数根,则只要 c 介于函数的极大值和极小值之间即可,故 c 的取值范围是

?1+ln2,-1+2ln2?. 3 ?3 ?

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