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【金版学案】学年高中数学 2.3.1等比数列的概念及通项公式课件 苏教版必修5_图文

2.3.1 等比数列的概念及通项公式 情景导入 栏 目 链 接 传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴,国 王决定要重赏西塔.西塔说:“我不要你的重赏, 陛下,只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行.在 棋盘的第1个格子里放1粒,在第2个格子里放2粒, 在第3个格子里放4粒,在第4个格子里放8粒,依 此类推,以后每一个格子里放的麦粒都是前一个 格子里放的麦粒数的2倍,直到放满第64个格子就 行了.”区区小数,几粒麦子,这有何难,国王 令人如数付给西塔. 计数麦粒的工作开始了,第一格内放1粒,第2格 内放2粒,第3个格内放22粒……还没有到第二十 格,一袋麦子已经空了.一袋又一袋的麦子被扛 到国王面前来,但是,麦粒数一格接一格飞快增 长着,国王很快就看出,即便拿出全国的粮食, 也兑现不了他对西塔的诺言. 课 标 点 击 栏 目 链 接 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公 式并能运用通项公式解决简单问题. 2.类比等差数列,探究等比数列的性质,并能运 用这些性质熟练解决相关问题. 栏 目 链 接 要 点 导 航 栏 目 链 接 知识点1 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于同一 个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公 比,通常用字母 q(q≠0)表示. an+1 这一定义常被简述为若 =q(n∈N*),则数列{an}是等比数列.关 an 于定义理解应注意:①由于等比数列每一项都可能作分母,故每一项 均不为 0, 因此 q 也不能是 0; ② “从第 2 项起”是因为首项没有“前 a n +1 一项” ;③ 均为同一常数,即比值相等,由此体现了公比 an 栏 目 链 接 的意义,同时还要注意公比是每一项与其前一项之比,防止前后 次序颠倒;④如果一个数列不是从第 2 项起而是从第 3 项或第 n(n> 3,n∈N*)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,则此数列不 是等比数列.这时可以说此数列从第 2 项起或从第 n-1 项起是一个 等比数列;⑤如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比尽管 是一个与 n 无关的常数,但却是不同的常数,这时此数列不是等比 数列;⑥常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.若常数列是 各项都为 0 的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为 0 时,它 就是等比数列. 栏 目 链 接 知识点2 等比数列的判定方法 (1)an=an-1·q(n≥2,q 是不为零的常数,an-1≠0)? {an}是等比数列. (2)a2 n=an-1·an+1(n≥2;an-1,an,an+1≠0)?{an}是等比 数列. (3)an=c· qn(c、q 均是不为零的常数)?{an}是等比数列. 栏 目 链 接 知识点3 主要性质(设an=a1qn-1,a1、 q≠0) (1)当 q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,{an}是递增数列;当 q>1,a1<0 或 0<q<1,a1>0 时,{an}是递减数列;当 q=1 时, {an}是常数列;当 q<0 时,{an}是摆动数列. (2)an=am·qn-m(m、n∈N*). (3)当 m+n=p+q(m、n、q、p∈N*)时,有 am·an=ap·aq. (4)数列{λan}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列;若 {bn}是公比为 q′的等比数列, 则数列{an· bn}是公比为 qq′的等比数列; ?1? 1 数列?a ?是公比为 的等比数列;{|an|}是公比为|q|的等比数列. q ? n? 栏 目 链 接 (5)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时, 数列{lg an}是公差 为 lg q 的等差数列. (6){an}中,公比 q≠1,则连续取相邻两项的和(或差)构成公比为栏 q 的等比数列. 目 链 接 (7)若 m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时,am、an、ap 成等比 数列. 学习本节内容应注意的问题: (1)熟练运用直接依据等比数列的定义思考并解决等比数列的问 题. (2)注意灵活选设未知数.例如:三数成等比数列,可设这三数 a a a 分别为 、a、aq;当四数成等比数列时,可设这四个数为 3, ,aq, q q q aq3. (3)在要求的几个数中,若有若干个数成等差数列,若干个数成 等比数列,应尽可能先考虑用等差数列的条件设未知数. (4)学习时注意与等差数列进行对比,学会用类比、方程的思想 解决问题. 栏 目 链 接 典 例 解 析 栏 目 链 接 题型1 等比数列的判定 例 1 数列{an}满足 a1=-1,且 an=3an-1-2n+3(n=2,3,…). (1)求 a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列; (2)求 an. 解析:(1)a2=3a1-2×2+3=-4. a3=3a2-2×3+3=-15. 下面证明{an-n}是等比数列: an+1-(n+1) 3an-2(n+1)+3-(n+1) 证明: = an-n an-n 栏 目 链 接 3an-3n = =3(n=1,2,3…). an-n 又 a1-1=-2,∴{an-n}是以-2 为首项,以 3 为公比的等比数列. (2)由(1)知 an-n=-2· 3n-1, ∴an=n-2· 3n-1(n∈N*). 名师点评:判断一个数列是否是等比数列的常用方法有: an+1 (1)定义法: =q(q 为常数且不为零)?{an}为等比数列. an 2 * (2)等比中项法:an +1=anan+2(n∈N 且 an≠0)?{an}为等比数列. 栏 目 链 接 (3)通项公式法:an=a1qn-1(a1≠0 且 q≠0)?{an}为等比数列. ?变式迁移 2 1 1.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ , 3 3 求证{an}是等比数列,

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