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指数函数及其性质 第2课时 指数函数性质的应用课件 版必修1


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第二章 2.1.2 指数函数及其性质
第二课时 指数函数性质的应用

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

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预习导学

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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●课标展示 1.进一步掌握指数函数的概念、图象和性质. 2.能利用指数函数的单调性解决一些综合问题. ●温故知新

旧知再现
1.指数函数的定义 y=ax(a>0,a≠1) 叫做指数函数,其中x是自变量. 函数_________________

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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2.指数函数的图象和性质
a>1 0<a<1

图象

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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定义域

R

值域
关键点

(0,+∞) (0,1) 过定点______
0<y<1 ; 当x>0时,_________ 当x<0时,_____. y>1

y>1 ; 性 函数值的 当x>0时,_____ 质 变化 0<y<1 当x<0, __________. 单调性 奇偶性 对称性 增函数 是R上的________

是R上的_______ 减函数

非奇非偶函数 函数y=a-x与y=ax的图象关于y轴对称.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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3. 在同一坐标系中, y = ax , y = bx , y = cx , y = dx(a , b ,

c , d>0 , ≠ 1) , 如 图 所 示 , 则 a , b , c , d 的 大 小 顺 序 为 c>d>1>a>b>0 _______________.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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新知导学
1.比较幂的大小 比较幂的大小的常用方法: (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利 用指数函数的单调性来判断;

(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利
用指数函数图象的变化规律来判断; (3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化

为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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2.有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域 形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域. 求形如y=af(x)的函数的值域,应先求出f(x)的值域,再由单 调性求出 y = af(x) 的值域.若 a 的范围不确定,则需对 a 进行讨

论.
求形如 y = f(ax) 的函数的值域,要先求出 u= ax 的值域,再 结合y=f(u)确定出y=f(ax)的值域.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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(2)判断复合函数的单调性
令 u = f(x) , x∈[m , n] ,如果复合的两个函数 y = au 与 u = f(x)的单调性相同,那么复合后的函数y=af(x)在[m,n]上是增函 数;如果两者的单调性相异 ( 即一增一减 ) ,那和复合函数 y = af(x)在[m,n]上是减函数.

(3)研究函数的奇偶性
一是定义法,即首先是定义域关于原点对称,然后分析式 子f(x)与f(-x)的关系,最后确定函数的奇偶性.

二是图象法,作出函数图象或从已知函数图象观察,若图
象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性.
第二章 2.1 2.1.2 第二课时

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●自我检测 1.已知a=31.03,b=31.04,则( A.a>b C.a<b B.a=b D.a≥b y = 3x 在 ( - ∞ ,+ ∞ ) 上为增函数, 1.04 > 1.03 , )

[答案] C
[ 解析 ] ∴31.04>31.03,∴b>a.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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2 .已知指数函数 f(x)= ax,且f(3)>f(2) ,则 a的取值范围是 ________. [答案] a>1

[解析] ∵f(3)>f(2),∴f(x)为增函数,∴a>1.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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3.函数y=a-x2+ax-1在区间(-∞,3)内递增,则a的取 值范围是________. [答案] [6,+∞)
2 a a [解析] 对 u=-x2+ax-1=-(x-2)2+ 4 -1,增区间为

a a a (-∞,2],∴y 的增区间为(-∞,2].由题意知 3≤2,∴a≥6.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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互动课堂

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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●典例探究

利用指数函数的性质比较大小
比较下列每组中两个数的大小:

(1)1.72.5,1.73;
(2)0.8-0.1,0.8-0.2; (3)1.70.3,0.93.1. [分析] 分析各数的构成特征,将其看作指数函数的两个 函数值,用单调性得出结论,或直接运用指数函数值的分布规

律求解.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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[解析]

(1)考察指数函数y=1.7x,由于底数1.7>1,∴指数

函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数. ∵2.5<3,∴1.72.5<1.73. (2)考察函数y=0.8x,由于0<0.8<1, ∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数.

∵-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2.
(3)由指数函数的性质得 1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,

∴1.70.3>0.93.1.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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1

指数函数

? 1? f(x)的图象过点?3,8?,则 ? ?

f(-2)与 f(-3)的大小

关系为________.

[答案] f(-2)<f(-3)
[解析] ∵f(x)=a
x

? 1? 1 过点?3,8?,∴a=2; ? ?

?1? f(x)=?2?x 是减函数,∴f(-2)<f(-3). ? ?

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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集合间关系的判断
利用函数f(x)=2-x的图象,作出下列各函数的图 象.

(1)f(x-1);(2)f(|x|);(3)f(x)-1;
(4)-f(x);(5)|f(x)-1|;(6)f(-x);

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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[解析] (1)将y=2-x的图象右移一个单位.
(2) 将函数 y=2 - x的图象在 y 轴左侧部分去掉,然后将右侧 部分作关于y轴对称的图形即得. (3)将y=2-x的图象下移一个单位. (4)作y=2-x的图象关于x轴对称图形.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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(5) 将 y =2-x的图象先向下平移一个单位,再将 x 轴下方图 象翻折到x轴上方. (6)将y=2-x的图象作关于y轴对称的图形.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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规律总结: 可依据 f(x)=2-x 依次求出各函数,再作
?1? ? x ? ? ? ?x≥0? -|x| 2 ? ? ? 图.例如,y=f(|x|)=2 = . ? ?2x ?x<0?

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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2

已知函数

?1? + y=?2?|x 2|①作出其图象;②指出其单调区间;③ ? ?

确定 x 取何值时,y 有最值.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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[解析] ①

②增区间(-∞,-2];减区间[-2,+∞).

③x=-2时,ymax=1,无最小值.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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3
3

单调性的判断
1 x2-2x 讨论函数 f(x)=(3) 的单调性,并求其值域.

1 x2-2x [分析] 分析一:对于 x∈R,(3) >0 恒成立,因此可以 通过作商讨论函数 f(x)的单调区间. 分析二: 此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数, 因此可以通过逐层讨论它的单调性,综合得一以结果.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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[解析] 解法一:∵函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), 设 x1、x2∈(-∞,+∞)且有 x1<x2,

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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(1)当 x1<x2≤1,x1+x2<2,即有 x1+x2-2<0. 又∵x2-x1>0,∴(x2-x1)(x2+x1-2)<0,则知 1 (3) ∴f(x2)>f(x1). ∴函数 f(x)在(-∞,1]上单调递增. >1.又对于 x∈R,f(x)>0 恒成立.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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(2)当 1≤x1<x2 时,x1+x2>2,即有 x1+x2-2>0. 又∵x2-x1>0,∴(x2-x1)(x1+x2-2)>0,则知 1 0<(3) <1,∴f(x2)<f(x1).

∴函数 f(x)在[1,+∞)上单调递减. 综上,函数 f(x)在区间(-∞,1]上是增函数; 在区间[1,+∞)上是减函数. 1 ∵x -2x=(x-1) -1≥-1,0<3<1,
2 2

1 2 1 -1 ∴0<(3)x -2x≤(3) =3. ∴函数 f(x)的值域为(0,3].
第二章 2.1 2.1.2 第二课时

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解法二:∵函数 f(x)的定义域为 R,令 u=x2-2x, 1u 则 g(u)=(3) . ∵u=x2-2x=(x-1)2-1,在(-∞,1)上是减函数, 1u g(u)=(3) 在其定义域内是减函数, ∴函数 f(x)在(-∞,1]内为增函数. 1u 又 g(u)=(3) 在其定义域内为减函数,而 u=x2-2x=(x-1)2-1 在[1,+∞)上是增函数. ∴函数 f(x)在[1,+∞)上是减函数. 求值域同解法一.
第二章 2.1 2.1.2 第二课时

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3

1 x2-6x+17 求函数 f(x)=(2) 的定义域、值域、单调区间.
[解析] 函数 f(x)的定义域为 R.令 t=x2-6x+17,则 f(t)= 1t (2) .∵t=x2-6x+17=(x-3)2+8 在(-∞, 3)上是减函数, 而 f(t) 1t =(2) 在其定义域内是减函数,∴函数 f(x)在(-∞,3)上为增函 数.

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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又∵t=x2-6x+17=(x-3)2+8 在[3,+∞)上为增函数, 1t 而 f(t)=(2) 在其定义域内是减函数,∴函数 f(x)在[3,+∞)为 1t 减函数.∵t=x -6x+17=(x-3) +8≥8,而 f(t)=(2) 在其定
2 2

1 x2-6x+17 1 8 1 义域内是减函数,∴f(x)=(2) ≤(2) =256,∴函数 f(x)的 1 值域为(0,256].

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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作业
1x 1x 1.求函数 y=(4) +(2) +1 的值域.

2.求函数y=9x+2· 3x-2的值域. 3.若0<a<1,则函数f(x)=ax-2的图象不经过(

)

A.第一象限
C.第三象限

B.第二象限
D.第四象限

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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4.已知0.5m<0.5n,则m,n的大小关系是( A.m>n C.m<n B.m=n D.不能确定

)

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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1 |x| 5.f(x)=(2) ,x∈R,那么 f(x)是( A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数

)

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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6.设 y1=4 ,y2=8 A.y1>y2>y3 C.y2>y1>y3

0.9

0.48

1 -1.5 ,y3=(2) ,则( B.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2

)

第二章

2.1

2.1.2

第二课时

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7.函数 y= 2x-1的定义域是________.
1 3x+2 1 -2x-3 8.解不等式(2) >(2) .

第二章

2.1

2.1.2

第二课时


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