tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2015届高三上学期12月月考数学(理)试卷


2014-2015 学年安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校高三 (上)12 月月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的) 1.已知 i 为虚数单位,则 所对应的点位于复平面内点( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.设集合 A={x|﹣3≤2x﹣1≤3},集合 B={x|y=lg(x﹣1)},则 A∩B=( A. (1,2) B. [1,2] C. [1,2) D. (1,2] 3.命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是( ) A. 对任意实数 x,都有 x>1 B. 不存在实数 x,使 x≤1 C. 对任意实数 x,都有 x≤1 D. 存在实数 x,使 x≤1 4.要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象( A. 向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 ) )

5.向量 =(2,0) , =(x,y) ,若 与 ﹣ 的夹角等于 A. 4 B. 2 C. 2 D.

,则| |的最大值为(



6.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=|y﹣2x|的最大值为(



A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中 取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是 ρ=4cosθ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. B. 2 C. D. 2 ) (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程是

8.函数 f(x)=

的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为(



A.

B. 1 C. 2 D.

9.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 离心率 e 等于( A. B. ) C. D.

,且 a>b,则双曲线



10.设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期 2π的偶函数,f′(x)是函数 f(x)的导 函数,当 x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π) ,且 x≠ >0,则函数 y=f(x)﹣sinx 在[﹣2π,2π]上的零点个数为( A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 时, ( x﹣ ) )f′(x)

二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.若等比数列{an}满足 a2a4= ,则 a1a3 a5=
2



12.

展开式中不含 x 项的系数的和为

4



13.执行如图的程序框图,如果输入 a=4,那么输出的 n 的值为



14.某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积等于



15.定义“正对数” :ln x= ①若 a>0,b>0,则 ln (a )=bln a + + + ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ln b ③若 a>0,b>0,则
+ + + + b +

+

,现有四个命题:

b

④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2 其中的真命题有: . (写出所有真命题的编号)

三、解答题(本题共 6 小题,满分 75 分,请写出必要的解题步骤与文字说明) 16.△ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 17.某市准备从 6 名报名者(其中男 4 人,女 2 人)中选 3 人参加三个副局长职务竞选. (Ⅰ)求男甲和女乙同时被选中的概率; (Ⅱ)设所选 3 人中女副局长人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望; (Ⅲ)若选派三个副局长依次到 A,B,C 三个局上任,求 A 局是男副局长的情况下,B 局为 女副局长的概率. 18.已知数列{an}满足:a1=1,nan+1=2(n 十 1)an+n(n+1) , (n∈N ) , (Ⅰ)若 ,试证明数列{bn}为等比数列;
*

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn. 19.已知四棱锥 A﹣BCDE,其中 AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥面 ABC,BE∥CD,F 为 AD 的中 点. (Ⅰ)求证:面 ADE⊥面 ACD; (Ⅱ)求四棱锥 A﹣BCDE 的体积; (III)求平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角的余弦值.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的焦距为 4,且过点 P(



) .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q(x0,y0) (x0y0≠0)为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E.取点 A (0,2 ) ,连接 AE,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点, 作直线 QG,问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由.

21.已知 f(x)=ax+ +2﹣2a(a>0)的图象在点(1,f(1) )处的切线与直线 y=2x+1 平 行. (I)求 a,b 满足的关系式; (II)若 f(x)≥2lnx 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (III)证明:1+ + +…+ > ln(2n+1)+ (n∈N+)

2014-2015 学年安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校 高三(上)12 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的) 1.已知 i 为虚数单位,则 所对应的点位于复平面内点( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 将复数的分子分母同乘以 1﹣i, 利用多项式的乘法分子展开, 求出对应的点的坐标, 判断出所在的象限. 解答: 解:由于 = = = + i,

则复数 z 在复平面上的对应点( , )位于 第一象限 故选 A. 点评: 本题考查复数的代数表示法及其几何意义,复数的除法运算法则:分子、分母同乘 以分母的共轭复数. 2.设集合 A={x|﹣3≤2x﹣1≤3},集合 B={x|y=lg(x﹣1)},则 A∩B=( A. (1,2) B. [1,2] C. [1,2) D. (1,2] 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中的不等式解得:﹣1≤x≤2,即 A=[﹣1,2]; 由 B 中的函数 y=lg(x﹣1) ,得到 x﹣1>0,即 x>1, ∴B=(1,+∞) , 则 A∩B=(1,2]. 故选 D 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3.命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是( ) A. 对任意实数 x,都有 x>1 B. 不存在实数 x,使 x≤1 C. 对任意实数 x,都有 x≤1 D. 存在实数 x,使 x≤1 考点: 命题的否定. 专题: 计算题. )

分析: 根据存在命题(特称命题)否定的方法,可得结果是一个全称命题,结合已知易得 答案. 解答: 解:∵命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是 “对任意实数 x,都有 x≤1” 故选 C 点评: 本题以否定命题为载体考查了特称命题的否定,熟练掌握全(特)称命题的否定命 题的格式和方法是解答的关键. 4.要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象( A. 向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 )

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 常规题型. 分析: 化简函数 y=cos(2x+1) ,然后直接利用平移原则,推出平移的单位与方向即可. 解答: 解:因为函数 y=cos(2x+1)=cos[2(x+ )], 所以要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位. 故选 C. 点评: 本题考查三角函数的图象的平移变换,注意平移时 x 的系数必须是“1” .

5.向量 =(2,0) , =(x,y) ,若 与 ﹣ 的夹角等于 A. 4 B. 2 C. 2 D.

,则| |的最大值为(



考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得,点 B 始终在以 OA 为弦,圆周角∠OBA= 的圆弧上,且 等于弦 OB

的长,而弦长的最大值为该圆的直径 2R,由正弦定理可得答案. 解答: 解:由向量加减法的几何意义可得, (如图) , = , =∠OBA 为圆周角的圆弧上运动,

故点 B 始终在以 OA 为弦,∠OBA= 且

等于弦 OB 的长,由于在圆中弦长的最大值为该圆的直径 2R, =2,∠OBA=

在三角形 AOB 中,OA=

由正弦定理得



解得 2R=4,即| |的最大值为 4 故选 A

点评: 本题考查向量模长的最值, 用向量加减的几何意义化为圆的直径是解决问题的捷径, 属基础题.

6.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=|y﹣2x|的最大值为(



A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 画出约束条件表示的可行域,确定目标函数经过的点,求出目标函数的最大值.

解答: 解:变量 x,y 满足约束条件

,表示的可行域如图:

可行域中 x∈[0,2],y∈[1,2]. 所以目标函数 z=|y﹣2x|经过 取得最大值:|1﹣2×2|=3. 故选 D. 的交点 A(2,1)时

点评: 本题考查简单的线性规划的应用,考查作图能力与计算能力. 7.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中 取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是 ρ=4cosθ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. B. 2 C. D. 2 ) (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程是

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 先求出直线和圆的直角坐标方程,求出半径和弦心距,再利用弦长公式求得弦长. 解答: 解:直线 l 的参数方程是
2

(t 为参数) ,化为普通方程为 x﹣y﹣4=0;
2 2

圆 C 的极坐标方程是ρ=4cosθ,即ρ =4ρcosθ,化为直角坐标方程为 x +y =4x, 2 2 即 (x﹣2) +y =4,表示以(2,0)为圆心、半径 r 等于 2 的圆. 弦心距 d= = <r,∴弦长为 2 =2 =2 ,

故选:D. 点评: 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,把极坐标方程化为直角坐标方程的 方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属于中档题.

8.函数 f(x)=

的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为(



A.

B. 1 C. 2 D.

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 由题意,求出函数 f(x)的积分,求得参数 a 的值即可.

解答: 解: 由题意 a=

= (

) |﹣1 +sinx

0

= +1=

故选 A. 点评: 本题考查定积分在求面积中的应用,求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出 参数 a, 本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误, 牢固掌握好基础知识很重要.

9.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 离心率 e 等于( A. B. ) C. D.

,且 a>b,则双曲线



考点: 双曲线的简单性质;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用等差中项、等比中项及 a>b,可得 a,b.再利用 即可得出.

解答: 解:∵两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 ∴a+b=5,ab=6,解得 a=3,b=2. ∴ 故选 D. 点评: 熟练掌握等差中项、等比中项、及离心率计算公式 = = .

,且 a>b,

等是解题的关键.

10.设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期 2π的偶函数,f′(x)是函数 f(x)的导 函数,当 x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π) ,且 x≠ >0,则函数 y=f(x)﹣sinx 在[﹣2π,2π]上的零点个数为( A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 考点: 函数的单调性与导数的关系;根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 根据 x∈(0,π) ,且 x≠ 用函数的图形,即可得到结论. 解答: 解:∵x∈(0,π) ,且 x≠ 时, (x﹣ )f′(x)>0, 时, (x﹣ )f′(x)>0,确定函数的单调性,利 时, ( x﹣ ) )f′(x)

∴x∈(0,

) ,函数单调减,x∈(

,π) ,函数单调增,

∵x∈[0,π]时,0<f(x)<1, 在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π的偶函数,在同一坐标系中作出 y=sinx 和 y=f(x) 草图象如下,

由图知 y=f(x)﹣sinx 在[﹣2π,2π]上的零点个数为 4 个. 故选:B. 点评: 本题考查函数的单调性,考查函数的零点,考查函数的周期性与奇偶性,属于基础 题. 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.若等比数列{an}满足 a2a4= ,则 a1a3 a5=
2



考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列{an}的性质可得 . 解答: 解:∵等比数列{an}满足 故答案为 . = ,则 , = ,再次利用等比数列的定义和性质可得

点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,属于基础题.
4

12.

展开式中不含 x 项的系数的和为 0 .

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: 给二项式中的 x 赋值 1,得到展开式的所有项的系数和;利用二项展开式的通项公 式求出通项,令 x 的指数为 4 求出展开式中 x 的系数,利用系数和减去 x 的系数求出展开 4 式中不含 x 项的系数的和. 解答: 解:令 x=1 求出展开式的所有的项的系数和为 1
4 4

展开式的通项为 令 得 r=8
4

所以展开式中 x 的系数为 1 4 故展开式中不含 x 项的系数的和为 1﹣1=0 故答案为:0 点评: 本题考查解决展开式的系数和问题常用的方法是赋值法、考查利用二项展开式的通 项公式解决二项展开式的特定项问题. 13.执行如图的程序框图,如果输入 a=4,那么输出的 n 的值为 3 .

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 P,Q,n 的值,当 P=21,Q=15,n=3 时不 满足条件 P≤Q,输出 n 的值为 3. 解答: 解:执行程序框图,有 a=4 P=0,Q=1,n=0 满足条件 P≤Q,有 P=1,Q=3,n=1; 满足条件 P≤Q,有 P=5,Q=7,n=2; 满足条件 P≤Q,有 P=21,Q=15,n=3; 不满足条件 P≤Q,输出 n 的值为 3. 故答案为:3. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基本知识的考查. 14.某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积等于 34+6 .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个长为 6,宽为 2 的矩形,顶点底面的面 积,四棱锥的一个侧面与底面垂直,四棱锥的高是 4,根据勾股定理做出三角形的高,做出 4 个三角形的面积,求和得到结果. 解答: 解:由三视图知,几何体是一个四棱锥, ∵四棱锥的底面是一个长为 6,宽为 2 的矩形, ∴面积是 6×2=12, ∵四棱锥的后侧面与底面垂直, 顶点在底面上的射影是垂直于底面的这条棱与底面的交线的中点, 四棱锥的高是 4, 前侧面的高是 左右两个侧面的高为 ∴四个侧面的面积是 ×6×2 =2 , =5, + ×6×4+2× ×2×5=34+6 ,

故答案为:34+6 点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的结构特征及求相 关几何量的数据是解答本题的关键.
+

15.定义“正对数” :ln x= ①若 a>0,b>0,则 ln (a )=bln a + + + ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ln b ③若 a>0,b>0,则
+ + + + b +

,现有四个命题:

b

④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2 其中的真命题有: ①③④ . (写出所有真命题的编号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 对于①,由“正对数”的定义分别对 a,b 从 0<a<1,b>0;a≥1,b>0 两种情况 进行推理;

对于②,通过举反例说明错误;对于③④,分别从四种情况,即当 0<a<1,b>0 时;当 a ≥1,0<b<1 时;当 0<a<1,b≥1 时;当 a≥1,b≥1 时进行推理. 解答: 解:对于①,当 0<a<1,b>0 时,有 0<a <1,从而 ln (a )=0,bln a=b×0=0, + b + ∴ln (a )=bln a; b + b b + 当 a≥1,b>0 时,有 a >1,从而 ln (a )=lna =blna,bln a=blna, + b + ∴ln (a )=bln a; + b + ∴当 a>0,b>0 时,ln (a )=bln a,命题①正确; 对于②, 当 a=
+ + b + b +

时, 满足 a>0, b>0, 而 ln(ab) =ln =0, ln a+ln b=ln +ln 2=ln2,
+

+

+

+

+

+

+

∴ln (ab)≠ln a+ln b,命题②错误; + + 对于③,由“正对数”的定义知,ln x≥0 且 ln x≥lnx. 当 0<a<1,0<b<1 时,ln a﹣ln b=0﹣0=0,而 ln ∴ 当 a≥1,0<b<1 时,有 ﹣lnb, ∵lnb<0, ∴ 当 0<a<1,b≥1 时,有 0< ∴
+ + + + +

≥0,

b. ,ln a﹣ln b=ln a﹣0=ln a,而 ln
+ + + + +

=ln

=lna

b. ,ln a﹣ln b=0﹣ln b=﹣ln b,而 ln b. ,则 b,命题③正确; ,
+ + + + + +

=0,

当 a≥1,b≥1 时,ln a﹣ln b=lna﹣lnb=ln ∴当 a>0,b>0 时,

b.

对于④,由“正对数”的定义知,当 x1≤x2 时,有
+

当 0<a<1,0<b<1 时,有 0<a+b<2,从而 ln (a+b)<ln 2=ln2, + + ln a+ln b+ln2=0+0+ln2=ln2, + + + ∴ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2. + 当 a≥1,0<b<1 时,有 a+b>1,从而 ln (a+b)=ln(a+b)<ln(a+a)=ln2a, + + ln a+ln b+ln2=lna+0+ln2=ln2a, + + + ∴ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2. + 当 0<a<1,b≥1 时,有 a+b>1,从而 ln (a+b)=ln(a+b)<ln(a+b)=ln2b, + + ln a+ln b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b, + + + ∴ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2. + + + 当 a≥1,b≥1 时,ln (a+b)=ln(a+b) ,ln a+ln b+ln2=lna+lnb+ln2=ln(2ab) , ∵2ab﹣(a+b)=ab﹣a+ab﹣b=a(b﹣1)+b(a﹣1)≥0, ∴2ab≥a+b,从而 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2. 命题④正确.
+ + +

∴正确的命题是①③④. 故答案为:①③④. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了新定义,解答的关键是对“正对数”定 义的理解与应用,考查了学生的运算能力和逻辑推理能力,是压轴题. 三、解答题(本题共 6 小题,满分 75 分,请写出必要的解题步骤与文字说明) 16.△ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式 变形,求出 tanB 的值,由 B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (Ⅱ)利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积,把 sinB 的值代入,得到三角形面 积最大即为 ac 最大,利用余弦定理列出关系式,再利用基本不等式求出 ac 的最大值,即可 得到面积的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)由已知及正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinBsinC①, ∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②, ∴sinB=cosB,即 tanB=1, ∵B 为三角形的内角, ∴B= ; ac,
2 2

(Ⅱ)S△ABC= acsinB=

由已知及余弦定理得:4=a +c ﹣2accos 整理得:ac≤

≥2ac﹣2ac×



,当且仅当 a=c 时,等号成立, × = × ×(2+ )= +1.

则△ABC 面积的最大值为 ×

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的正弦函数公式,以 及基本不等式的运用,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 17.某市准备从 6 名报名者(其中男 4 人,女 2 人)中选 3 人参加三个副局长职务竞选. (Ⅰ)求男甲和女乙同时被选中的概率; (Ⅱ)设所选 3 人中女副局长人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望; (Ⅲ)若选派三个副局长依次到 A,B,C 三个局上任,求 A 局是男副局长的情况下,B 局为 女副局长的概率. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 综合题;概率与统计.

菁优网版权所有

分析: ( I)所有不同的选法共有

种,其中男甲和女乙同时被选中的选法有

种,由

此能求出男甲和女乙同时被选中的概率. ( II)ξ的所有可能取值为 0,1,2.分别求出 P(ξ=0) ,P(ξ=1) ,P(ξ=2) ,由此能 求出ξ的分布列和 Eξ. ( III)设事件 M=“A 局是男副局长” ,N=“B 局是女副局长” .分别求出 P(M) ,P(MN) .由 此能求出 A 局是男副局长的情况下,B 局为女副局长的概率. 解答: 解: ( I)所有不同的选法共有 其中男甲和女乙同时被选中的选法有 种, 种,

则男甲和女乙同时被选中的概率为

= .

( II)ξ的所有可能取值为 0,1,2. 依题意得 P(ξ=0)= = ,

P(ξ=1)=

= ,

P(ξ=2)=

= ,

∴ξ的分布列为: ξ 0 1 2 P ∴Eξ=0× +1× +2× =1. ( III)设事件 M=“A 局是男副局长” ,N=“B 局是女副局长” . 则 P(M)= = ,P(MN)= = .

所以 A 局是男副局长的情况下,B 局为女副局长的概率为 P(N/M)=

=

= .

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期的求法, 是历年高考的必考题型之一. 解 题时要认真审题,仔细解答,注意排列组合、概率知识的灵活运用. 18.已知数列{an}满足:a1=1,nan+1=2(n 十 1)an+n(n+1) , (n∈N ) , (Ⅰ)若 ,试证明数列{bn}为等比数列;
*

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn. 考点: 数列递推式;等比关系的确定;数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用数列递推式,证明 bn+1=2bn,即可证明数列{bn}为等比数列; (II)利用 ,可数列{an}的通项公式 an,利用错位相减法可求数列的和. ,…(2 分)

解答: (Ⅰ)证明:∵nan+1=2(n+1)an+n(n+1) ,∴ ∴ ,即 bn+1=2bn,

又 b1=2,所以{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.…(6 分) (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 ∴ ×2 +…+n? 2 ﹣(1+2+3+…+n)= 分) 令 则 , ,
3 n

,∴

,∴

,…(8 分) =1×2+2×2 +3 .…(10
2

两式相减得: .…(12 分) ∴ .…(13 分)



点评: 本题考查数列递推式,考查等比数列的证明,考查数列的通项与求和,正确运用求 和方法是关键. 19.已知四棱锥 A﹣BCDE,其中 AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥面 ABC,BE∥CD,F 为 AD 的中 点. (Ⅰ)求证:面 ADE⊥面 ACD; (Ⅱ)求四棱锥 A﹣BCDE 的体积; (III)求平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 专题: 计算题;证明题;空间角. 分析: (Ⅰ)根据已知中△ABC 为等边三角形,G 为 AC 的中点,DC⊥面 ABC 得到 BG⊥AC, DC⊥BG,根据线面垂直的判定定理得到 BG⊥面 ADC,则 EF⊥面 ADC,再由面面垂直的判定定 理,可得面 ADE⊥面 ACD; ( II)四棱锥四棱锥 A﹣BCDE 分为两个三棱锥 E﹣ABC 和 E﹣ADC,分别求出三棱锥 E﹣ABC 和 E﹣ADC 的体积,即可得到四棱锥 A﹣BCDE 的体积. (III) 延长 DE, CB 交于 G, 连结 AG, 说明平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角的平面角是∠DAC, 通过已知条件求平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角的余弦值. 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵△ABC 为等边三角形∴BG⊥AC 又∵DC⊥面 ABC,BG? 面 ABC∴DC⊥BG ∴BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线 AC,DC, ∴BG⊥面 ADC. …(6 分) ∵EF∥BG ∴EF⊥面 ADC ∵EF? 面 ADE,∴面 ADE⊥面 ADC. …(8 分) (Ⅱ)解:连接 EC,该四棱锥分为两个三棱锥 E﹣ABC 和 E﹣ADC. VA﹣BCDE=VE﹣ABC+VE﹣ACD= × ×1+ ×1× = + = .…(12 分)

(III)延长 DE,CB 交于 G,连结 AG, 因为 AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥面 ABC,BE∥CD,所以 CB=BG=1, 在△ABG 中,AG⊥AC, 因为 CD⊥面 ABC,所以 AG⊥AD, 则平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角的平面角为:∠DAC. ∴AD= ,所以平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为: = .

点评: 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,棱锥的体积, 二面角的平面角的求法,其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征 是解答此类问题的关键.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的焦距为 4,且过点 P(



) .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q(x0,y0) (x0y0≠0)为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E.取点 A (0,2 ) ,连接 AE,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点, 作直线 QG,问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)根据椭圆的焦距为 4,得到 c= 上得到
2 2

=2,再由点 P(

)在椭圆 C

,两式联解即可得到 a =8 且 b =4,从而得到椭圆 C 的方程; 、 的坐标,根据 AD⊥ , 0) . 直

(II)由题意得 E(x0,0) ,设 D 的坐标为(xD,0) ,可得向量 AE 得 , 从而算出 xD=﹣

, 因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点, 得到 G (

线 QG 的斜率为 kQG=

,结合点 Q 是椭圆 C 上的点化简得 kQG=﹣

,从而得到直线

QG 的方程为:y=﹣

(x﹣

) ,将此方程与椭圆 C 的方程联解可得△=0,从而得到方程

组有唯一解, 即点 Q 是直线 QG 与椭圆 C 的唯一公共点, 由此即得直线 QG 与椭圆 C 一定有唯 一的公共点. 解答: 解: (I)∵椭圆 C: + (a>b>0)的焦距为 4,

∴c=2,可得

=2…①

又∵点 P( ∴ …②

)在椭圆 C 上

联解①②,可得 a =8 且 b =4,椭圆 C 的方程为 (II)由题意,得 E 点坐标为(x0,0) , 设 D(xD,0) ,可得 ∵AD⊥AE,可得 ∴x0xD+(﹣ ) ?(﹣ )=0,即 x0xD+8=0,得 xD=﹣ =(x0,﹣ ) , =(xD,﹣

2

2



) ,

∵点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,∴点 G 的坐标为(

,0)

因此,直线 QG 的斜率为 kQG=

=

又∵点 Q(x0,y0)在椭圆 C 上,可得

∴kQG=

=﹣

由此可得直线 QG 的方程为:y=﹣

(x﹣
2

) ,

代入椭圆 C 方程,化简得( 将 化简得 x ﹣2x0x+
2 2

)x ﹣16x0x+64﹣16 =0, ,

=0

代入上式,得 8x ﹣16x0x+8 =0,所以△=

从而可得 x=x0,y=y0 是方程组的唯一解,即点 Q 是直线 QG 与椭圆 C 的唯一公共点. 综上所述,可得直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点.

点评: 本题给出椭圆的焦距和椭圆上的点 P 的坐标, 求椭圆的方程并由此讨论直线 QG 与椭 圆公共点的个数问题. 着重考查了椭圆的标准方程、 简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关 系等知识,属于中档题.

21.已知 f(x)=ax+ +2﹣2a(a>0)的图象在点(1,f(1) )处的切线与直线 y=2x+1 平 行. (I)求 a,b 满足的关系式; (II)若 f(x)≥2lnx 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (III)证明:1+ + +…+ > ln(2n+1)+ (n∈N+)

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 分析: (Ⅰ)求导函数,利用图象在点(1,f(1) )处的切线与直线 y=2x+1 平行,可得 f′ (1)=a﹣b=2,即可求 a,b 满足的关系式; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=ax+ +2﹣2a,构造新函数 g(x)=f(x)﹣2lnx=ax+ +2

﹣2a﹣2lnx,x∈[1,+∞)则 g(1)=0,g′(x)= 方程根的大小,进行分类讨论,即可求得 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a≥1 时,f(x)≥2lnx 在 1,+∞)上恒成立,再取 a=1 得 1,从而可得 解答: (Ⅰ)解:求导函数,可得 ﹣2 …3 分 +2﹣2a,

,比较对应

,令 ,进而可得结论.

,根据题意 f′(1)=a﹣b=2,即 b=a

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,f(x)=ax+ 令 g(x)=f(x)﹣2lnx=ax+

+2﹣2a﹣2lnx,x∈[1,+∞)

则 g(1)=0,g′(x)= ①当 0<a<1 时, 若 1<x< ,

,则 g′(x)<0,g(x)在[1,+∞)减函数,所以 g(x)<g(1)=0,

即 f(x)≥2lnx 在[1,+∞)上恒不成立. ②a≥1 时, ,当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)在[1,+∞)增函数,又 g(1)

=0,所以 f(x)≥2lnx. 综上所述,所求 a 的取值范围是[1,+∞)

…8 分

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知当 a≥1 时,f(x)≥2lnx 在 1,+∞)上恒成立. 取 a=1 得 即 所以 上式中 n=1,2,3,…,n,然后 n 个不等式相加得到 (n∈N+)…13 分. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查恒成立问题,考查不等式的证明,解题的关键是正 确求出导函数,构造新函数,利用函数的单调性解题. …+ > ,令 1得 ,


推荐相关:

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2015届高三上学期1....doc

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2015届高三上学期12月月考数学(理)试卷_高中教育_教育专区。2014-2015 学年安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校高三 (上)12...

...补习学校2015届高三上学期12月月考数学(文)试卷.doc

2014-2015年安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校高三 (上)12 月月考数学试卷(文科)一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小...

...2018学年高三上学期12月月考数学(理)试卷 Word版含....doc

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2017-2018学年高三上学期12月月考数学(理)试卷 Word版含解析 - 2017-2018 学年安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校高三 (...

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2014-2015学年高三....doc

2014-2015年安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校高三 (上)12 月月考数学试卷(理科)一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小...

...补习学校2019届高三上学期12月月考数学(理)试卷 Wor....doc

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2019届高三上学期12月月考数学(理)试卷 Word版含解析 - 2018-2019 学年安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校高三 金榜题名,...

...2018学年高三上学期12月月考数学(理)试卷 Word版含....doc

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2017-2018学年高三上学期12月月考数学(理)试卷 Word版含解析 - 2017-2018 学年安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校高三 (...

...2019学年高三上学期12月月考数学(理)试卷 Word版含....doc

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2018-2019学年高三上学期12月月考数学(理)试卷 Word版含解析 - 2018-2019 学年安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校高三 (...

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2017-2018学年高三....doc

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2017-2018学年高三上学期12月月考数学()试卷 Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。2017-2018 学年安徽省滁州市凤阳县艺...

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2019届高三上学期1....doc

安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校2019届高三上学期12月月考数学()试卷 Word版含解析 - 2018-2019 学年安徽省滁州市凤阳县艺荣高考补习学校高三 金榜题名,...

安徽省凤阳艺荣高考补习学校2015届高三化学12月底考试....doc

安徽省凤阳艺荣高考补习学校2015届高三化学12月底考试试题 (无答案) - 化学 姓名 班级 座位号 可能用到的相对原子质量:H-1,C-12,N-14,O-16,Na-23,Fe-56...

凤阳艺荣高考补习学校2014-2015学年度上学期高三12月中....doc

凤阳艺荣高考补习学校2014-2015学年度上学期高三12月中旬半月考试卷文科综合_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。高三12月中旬半月考试卷文科综合 ...

安徽省凤阳艺荣高考补习学校届高三生物第一次月考试题....doc

安徽省凤阳艺荣高考补习学校届高三生物第一月考试题含解析_高考_高中教育_教育专区。安徽省凤阳艺荣高考补习学校届高三生物第一月考试题含解析,安徽省凤阳中学...

安徽凤阳艺荣高考补习学校2013届第三次月考数学理试题(....doc

安徽凤阳艺荣高考补习学校2013届第三次月考数学理试题(无答案)_数学_高中教育_教育专区。安徽省各地2013届高三11月(期中)考试题集--数学(41套) ...

...安徽省滁州市凤阳艺荣高考补习学校2016届高三第一次....doc

【生物】安徽省滁州市凤阳艺荣高考补习学校2016届高三第一月考 - 安徽省滁州市凤阳艺荣高考补习学校 2016 届高三 第一月考 一、选择题 1.下列有关生命的...

安徽省滁州市凤阳市艺荣高考补习中学2017-2018学年高三....doc

安徽省滁州市凤阳市艺荣高考补习中学2017-2018学年高三上学期第一次月考生物试卷 Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。安徽省滁州市凤阳市艺荣 2017-2018 学年...

安徽凤阳艺荣高考补习学校2018届高三第二次质量检测物....doc

安徽凤阳艺荣高考补习学校2018届高三第二次质量检测物理试题 精品_高考_高中教育_教育专区。凤阳荣达高考复读学校第二次质量检测 物理试卷 一、选择题(本题共 12 ...

安徽凤阳艺荣高考补习学校2013届第三次月考数学文试题(....doc

安徽凤阳艺荣高考补习学校2013届第三次月考数学文试题(无答案)_数学_高中教育_教育专区。安徽省各地2013届高三11月(期中)考试题集--数学(41套) ...

安徽省凤阳艺荣高考补习学校2014-2015学年高二第二次月....doc

安徽省凤阳艺荣高考补习学校2014-2015高二第二次月考政治试题 Word版缺答案...月考,质量检测,质检,高三复习,高考模拟,高考真题,一模试卷,二模试卷,一模答案,...

安徽省凤阳艺荣高考复读学校2013届高三第二次月考生物试题.doc

安徽省凤阳艺荣高考复读学校2013届高三第二次月考生物试题_数学_高中教育_教育专区。安徽凤阳艺荣高考辅导学校 2013 届第二次月考 生物试题 2012 年 9 月 25 ...

安徽凤阳艺荣高考辅导学校2014高三上第二次9月考-生物.doc

(2 分) 生物答题卷 8 1 9 1 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 1 1 0 1 9 8 7 6 5 安徽凤阳艺荣高考辅导学校 2014 届第二次月考 (2 分) 5 2 2 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com