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2009-2010学年广东省广州市高三调研测试数学试卷(理科)

2009-2010 学年广东省广州市高三调研测试数学试 卷(理科)

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2009-2010 学年广东省广州市高三调研测试数学试 卷(理科)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 分)设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中的阴影部分表示 (5 的集合为( )

A.{2} 2. 分)函数 (5

B.{4,6} 的定义域为( )

C.{1,3,5}

D.{4,6,7,8}

A.(﹣∞,﹣1]∪ [1,+∞) B.(﹣∞,1]

C.(﹣1,1) )

D.[﹣1,1]

3. 分)在等差数列{an}中,a6+a8=6,则数列{an}的前 13 项之和为( (5 A. B.39 C.

D.78

4. 分)命题“?x∈R,e >x”的否定是( (5 ) x x A.?x∈R,e <x B.?x∈R,e <x

x

C.?x∈R,ex≤x )

D.?x∈R,ex≤x

5. 分)已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积是( (5

A.

B.

C.

D.6

6. 分)设 f(x)是 (5 范围是( ) A.(﹣∞,5)

展开式的中间项,若 f(x)≤mx 在区间[



]上恒成立,则实数 m 的取值

B.(﹣∞,5]

C.(5,+∞)

D.[5,+∞)

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www.jyeoo.com 7. 分)圆心在曲线 (5
2 2

上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程为(
2 2 2 2


2 2

A.(x﹣1) +(y﹣2) =5 B.(x﹣2) +(y﹣1) =5 C.(x﹣1) +(y﹣2) =25D.(x﹣2) +(y﹣1) =25 8. 分) (5 已知数列: 项 a2010 满足( A. ) B. C.1≤a2010≤10 D.a2010>10 , 依它的前 10 项的规律, 这个数列的第 2010

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 分)复数 (5 (i 是虚数单位)的模等于 _________ .

10. 分)如图所示的程序框图,若输入 n=5,则输出的 n 值为 _________ (5

11. 分)已知函数 (5 ① 函数 f(x)的最小正周期为 数 f(x)在区间

,给出如下结论: ; ② 函数 f(x)是奇函数; ③ 函数 f(x)的图象关于点 对称;④ 函

上是减函数.

其中正确命题的序号是 _________ . (写出所有正确命题的序号) 12. 分)在平面区域{(x,y)|y≤﹣x +2x,且 y≥0}内任意取一点 P,则所取的点 P 恰是平面区域{(x,y)|y≤x, (5 x+y≤2,且 y≥0}内的点的概率为 _________ . 13. 分)在实数的原有运算法则中,定义新运算 a?b=3a﹣b,则|x?(4﹣x)|+|(1﹣x)?x|>8 的解集为 (5 _________ . 14. 分) (5 ( 《几何证明选讲》 选做题) 如图, ABC 中, A=60°, ACB=70°, 是△ 在△ ∠ ∠ CF ABC 的边 AB 上的高, BC FP⊥ 于点 P,FQ⊥ 于点 Q,则∠ AC CQP 的大小为 _________ .
2

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www.jyeoo.com 15.《坐标系与参数方程》选做题)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取 ( 相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为 ρcosθ﹣ρsinθ+2=0,则它与曲线 的直角坐标是 _________ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设向量 (1)若 ,求 tanθ 的值; , ,其中 . (α 为参数)的交点

(2)求△ AOB 面积的最大值. 17. (12 分)某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加学校学生会的干部竞选. (1)设所选 3 人中女生人数为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望; (2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率. 18. (14 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2. (1)证明:当点 E 在棱 AB 上移动时,D1E⊥ 1D; A (2)在棱 AB 上是否存在点 E,使二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角为 理由. ?若存在,求出 AE 的长;若不存在,请说明

19. (14 分)已知两点 M(﹣1,0) 、N(1,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足



(1)求动点 P 的轨迹方程; 2 (2)若点 A(t,4)是动点 P 的轨迹上的一点,K(m,0)是 x 轴上的一动点,试讨论直线 AK 与圆 x +(y﹣2) 2 =4 的位置关系. 20. (14 分)已知 a∈R,函数 f(x)=x (x﹣a) . (1)若函数 f(x)在区间 内是减函数,求实数 a 的取值范围;
2

(2)求函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值 h(a) ; (3)对(2)中的 h(a) ,若关于 a 的方程 有两个不相等的实数解,求实数 m 的取值范围.

21. (14 分)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,对任意的 n∈N ,都有 Sn=(m+1)﹣man(m 为常数,且 m>0) . (1)求证:数列{an}是等比数列; * (2)设数列{an}的公比 q=f(m) ,数列{bn}满足 b1=2a1,bn=f(bn﹣1) (n≥2,n∈N ) ,求数列{bn}的通项公式; (3)在满足(2)的条件下,求证:数列{bn }的前 n 项和
2

*



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参考答案与试题解析
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 分)设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中的阴影部分表示 (5 的集合为( )

A.{2}

B.{4,6}

C.{1,3,5}

D.{4,6,7,8}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算。 分析: 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUA)∩ B,根据集合的运算求解即可. 解答: 解:全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6}, 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUA)∩ B, ∵ UA={4,6,7,8}, C ∴ UA)∩ (C B={4,6}. 故选 B. 点评: 本题考查集合的基本运算和韦恩图,属基本题.
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2. 分)函数 (5

的定义域为(

) C.(﹣1,1) D.[﹣1,1]

A.(﹣∞,﹣1]∪ [1,+∞) B.(﹣∞,1] 考点: 专题: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法。 计算题。 根据无理式被开方数大于等于 0,结合绝对值的解法求出定义域. 解:要使函数有意义,须 1﹣|x|≥0,即|x|≤1,解得﹣1≤x≤1. 即函数的定义域为[﹣1,1] 故选 D 点评: 本题考查函数函数的定义域求解,考查学生分析问题解决问题、逻辑思维能力.是基础题.
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3. 分)在等差数列{an}中,a6+a8=6,则数列{an}的前 13 项之和为( (5 A. B.39 C.

) D.78

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和。 专题: 计算题。 分析: 直接利用等差数列前 n 项和公式,转化为 a6+a8 的关系,即可求出数列{an}的前 13 项之和.
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www.jyeoo.com 解答: 解:数列{an}的前 13 项之和为:S13= = = =39.

故选 B. 点评: 本题是基础题,考查等差数列的基本性质,前 n 项和的求法,考查计算能力. 4. 分)命题“?x∈R,e >x”的否定是( (5 ) x x A.?x∈R,e <x B.?x∈R,e <x
x

C.?x∈R,ex≤x

D.?x∈R,ex≤x

考点: 特称命题;命题的否定。 专题: 阅读型。 分析: 特称命题:“?x∈A,P(x)”的否定是全称命题:“?x∈A,非 P(x)”.结合已知中原命题“?x∈R,ex>x”, 易得到答案. x 解答: 解:由题意,∵ 原命题“?x∈R,e >x”
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∴ 命题“?x∈R,e >x”的否定是: x “?x∈R,e ≤x” 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是命题的否定,其中熟练掌握特称命题:“?x∈A,P(x)”的否定是全称命题“?x∈A,非 P(x)”是解答此类问题的关键. 5. 分)已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积是( (5 )

x

A.

B.

C.

D.6

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积。 计算题。 三视图复原的几何体是直三棱柱,底面是等腰直角三角形,根据三视图的数据,求出几何体的表面积. 解:三视图复原的几何体是底面为等腰直角三角形,直角边为 1,高为 1 的直三棱柱,
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所以几何体的表面积为:S=2S 底+S 侧=2×

+

=3+



故选 C. 点评: 本题是基础题,考查三视图与直观图的关系,正确判断几何体的形状是解题的关键,考查计算能力.

6. 分)设 f(x)是 (5 范围是( ) A.(﹣∞,5)

展开式的中间项,若 f(x)≤mx 在区间[



]上恒成立,则实数 m 的取值

B.(﹣∞,5]

C.(5,+∞)
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D.[5,+∞)

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www.jyeoo.com 考点: 二项式定理;函数恒成立问题。 专题: 计算题。 分析: 利用二项展开式的通项公式求出展开式的中间项,将不等式恒成立转化为函数最值,求出函数最值. 解答: 解: 的展开式共有 7 项,
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∴ 中间项为第 4 项 ∵ 令 r=3 得 ∴ f(x)= ∵ (x)≤mx 在区间[ ∴ ∴ m ∴ 当 x= ∴ m≥5 故选项为 D 点评: 二项式定理通项及其展开式是高考常考知识点,1 高考不排除与其他知识点结合应用.属于基础知识、基本 运算的考查 时, 有最大值 5 ≤mx 在区间[ 在区间[ , , , ]上恒成立 ]上恒成立 ]上恒成立 上的最大值 展开式的通项为 =

7. 分)圆心在曲线 (5

上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程为(



A.(x﹣1)2+(y﹣2)2=5 B.(x﹣2)2+(y﹣1)2=5 C.(x﹣1)2+(y﹣2)2=25D.(x﹣2)2+(y﹣1)2=25 考点: 圆的切线方程;圆的标准方程。 专题: 计算题。 分析: 设出圆心坐标,求出圆心到直线的距离的表达式,求出表达式的最小值,即可得到圆的半径长,得到圆的 方程,推出选项. 解答: 解:设圆心为 ,
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当且仅当 a=1 时等号成立. 2 当 r 最小时,圆的面积 S=πr 最小, 2 2 此时圆的方程为(x﹣1) +(y﹣2) =5; 故选 A. 点评: 本题是基础题,考查圆的方程的求法,点到直线的距离公式、基本不等式的应用,考查计算能力.

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www.jyeoo.com 8. 分) (5 已知数列: 项 a2010 满足( A. ) B. C.1≤a2010≤10 D.a2010>10 , 依它的前 10 项的规律, 这个数列的第 2010

考点: 数列递推式。 专题: 规律型。 分析: 把数列看成 , , ,

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以此类推,第 N 大项为 … 由此能够找到这个数列的第 2010 项 a2010 满足的条件. 解答: 解:数列可看成 , , , 以此类推,第 N 大项为 等 此时有 1+2+3+4+…+N= 当 N=62 时,共有 1953 项 当 N=63 时,共有 2016 项 故 a2010= , ,

故选 B. 点评: 本题考查数列的递推式,解题时要善于合理地分组,注意总结规律,培养观察总结能力. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 分)复数 (5 (i 是虚数单位)的模等于 .

考点: 复数求模;复数代数形式的乘除运算。 专题: 计算题。 分析: 先根据复数除法法则化复数 1+ 为代数形式,然后再利用复数的模的定义求出它的模.
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解答:

解:

=1+



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www.jyeoo.com ∴ 复数 (i 是虚数单位)的模等于 =

故答案为: 点评: 本题主要考查了复数求模,以及复数代数形式的乘除运算,该题属于容易题. 10. 分)如图所示的程序框图,若输入 n=5,则输出的 n 值为 ﹣1 (5

考点: 专题: 分析: 解答:

循环结构。 图表型。 按照程序框图依次执行,观察函数 f(x)单调性的规律和 n 的关系,确定到哪一步跳出循环,即可求出 n.
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解:按照程序框图依次执行,n=5,→n=5﹣2=3,f(x)=x ,f(x)在(0,+∞)上不是减函数;继续执 行, n=3﹣2=1;f(x)=x,f(x)在(0,+∞)上不是减函数;继续执行,
﹣1

﹣3

n=1﹣2=﹣1;f(x)=x ,f(x)在(0,+∞)上是减函数;跳出循环,输出结果, 故 n=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查循环结构的程序框图、及归纳推理,注意每个变量的运行结果和执行情况.

11. 分)已知函数 (5 ① 函数 f(x)的最小正周期为 数 f(x)在区间

,给出如下结论: ; ② 函数 f(x)是奇函数; ③ 函数 f(x)的图象关于点 对称;④ 函

上是减函数.

其中正确命题的序号是 ①③ . ② (写出所有正确命题的序号) 考点: 余弦函数的对称性;三角函数的周期性及其求法;余弦函数的奇偶性;余弦函数的单调性。 专题: 综合题。 分析: 求出函数的周期判断① 的正误; 利用函数的奇偶性判断② 的正误; 把 x= 代入函数求出函数的值是否为 0,判断③ 的正误;

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求出函数的单调减区间判断④ 的正误. 解答: 解:因为函数 所以函数的周期是 T= 因为函数 所以 =﹣sin3x, ,所以① 正确; , ,

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www.jyeoo.com f(﹣x)=﹣sin(﹣3x)=sin3x=﹣f(x) , 函数是奇函数,② 正确; 当 x= 时,f( )=﹣sin(3× )=﹣sinπ=0, 对称,正确; ],即 x∈[ 上是减函数不正确. ]时,函数是减函数,

函数所以函数的图象关于点 因为 f(x)=﹣sin3x,3x∈[ 所以函数 f(x)在区间

故答案为:①③ ②. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的基本性质,函数的单调性、奇偶性、周期性,考查计算能力,基本知识的 灵活运用能力. 12. 分)在平面区域{(x,y)|y≤﹣x +2x,且 y≥0}内任意取一点 P,则所取的点 P 恰是平面区域{(x,y)|y≤x, (5 x+y≤2,且 y≥0}内的点的概率为 .
2

考点: 几何概型;定积分在求面积中的应用;二元一次不等式(组)与平面区域。 专题: 计算题。 2 分析: 根据题意,设平面区域{(x,y)|y≤﹣x +2x,且 y≥0}为区域 M,平面区域{(x,y)|y≤x,x+y≤2,且 y≥0} 为区域 A,由积分可得区域 M 的面积,区域 A 为三角形,计算可得 A 的面积,由几何概型公式,计算可得 答案. 2 解答: 解:设平面区域{(x,y)|y≤﹣x +2x,且 y≥0}为区域 M,平面区域{(x,y)|y≤x,x+y≤2,且 y≥0}为区域 A,
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对于区域 M,函数 y=﹣x +2x 与 x 轴的交点为(0,0)与(﹣2,0) , 则区域 M 的面积为∫0 (﹣x +2x)dx=(﹣ x +x )|0 = , 区域 A 的面积为 ×2×1=1; 则点 P 恰是平面区域 A 内的点的概率为 = ;
2 2 3 2 2

2

故答案为 . 点评: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出两个区域对应面积的大小,并将其代入几何概型计算 公式进行求解. 13. 分)在实数的原有运算法则中,定义新运算 a?b=3a﹣b,则|x?(4﹣x)|+|(1﹣x)?x|>8 的解集为 {x|x (5 <﹣ ,x> } .

考点: 其他不等式的解法。 专题: 计算题。 分析: 根据定义新运算 a?b=3a﹣b,原不等式化为|x﹣1|+|x﹣ |>2,转化为与之等价的三个不等式组,分别解出
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这三个不等式组的解集,再把这三个解集取并集,即得所求. 解答: 解:|x?(4﹣x)|+|(1﹣x)?x|>8,即|3x﹣(4﹣x)|+|3(1﹣x)﹣x|>8,即|4x﹣4|+|3﹣4x|>8,
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www.jyeoo.com 即|x﹣1|+|x﹣ |>2.

∴ ①

,或②

,或 ③



解① x<﹣ . 解② x∈?.解③ x> 得 得 得 综上,不等式的解集为 {x|x<﹣ ,x> 故答案为 {x|x<﹣ ,x> }.

. },

点评: 本题主要考查定义新运算 a?b=3a﹣b,绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式 组来解.体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 14. 分) (5 ( 《几何证明选讲》 选做题) 如图, ABC 中, A=60°, ACB=70°, 是△ 在△ ∠ ∠ CF ABC 的边 AB 上的高, BC FP⊥ 于点 P,FQ⊥ 于点 Q,则∠ AC CQP 的大小为 50° .

考点: 专题: 分析: 解答:

圆內接多边形的性质与判定;三角形中的几何计算;解三角形。 计算题。 根据题意可得 C、Q、F、P 四点共圆,由∠ CQP=∠ CFP=∠ B=180°﹣(∠ C)求出它的值. A+∠ 解: FP⊥ 由 BC, FQ⊥ AC, C、 F、 四点共圆, 得 Q、 P 所以∠ CQP=∠ CFP=∠ B=180°﹣ A+∠ =180°﹣ (∠ C) (60°+70°) =50°. 故答案为:50°. 点评: 本题主要考查三角形中的几何运算,判断 C、Q、F、P 四点共圆,∠ CQP=∠ CFP=∠ B=180°﹣(∠ C) A+∠ ,是 解题的关键.
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15.《坐标系与参数方程》选做题)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取 ( 相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为 ρcosθ﹣ρsinθ+2=0,则它与曲线 的直角坐标是 (﹣1,1) . (α 为参数)的交点

考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程。 专题: 选作题。 分析: 利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,化简极坐标方程为直角坐标方程;曲线的参数方程化为直角坐标系,然后求出两 个直角坐标方程的交点即可. 解答: 解:因为直线的极坐标方程为 ρcosθ﹣ρsinθ+2=0,它的直角坐标方程为:直线 x﹣y+2=0,
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曲线

(α 为参数)的直角坐标方程为:抛物线段 y=x (0≤y≤2) ,

2

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www.jyeoo.com 联立两个直角坐标方程组成方程组 ② 代入① 得,x ﹣x﹣2=0,解得 x=﹣1,或 x=2, x=﹣1 时,y=1;x=2,时 y=4(舍去) ; 它们交点的直角坐标为(﹣1,1) . 故答案为: (﹣1,1) . 点评: 本题是基础题,考查极坐标方程与直角坐标方程,参数方程与直角坐标方程的互化,曲线交点的求法,考 查计算能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设向量 (1)若 ,求 tanθ 的值; , ,其中 .
2

(2)求△ AOB 面积的最大值. 考点: 平面向量的综合题。 专题: 计算题。 分析: (1)先利用向量的减法求出
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,在代入向量的模长计算公式整理即可求出 tanθ 的值;

(2)先利用 θ 的范围求出∠ AOB,在代入三角形面积计算公式,利用 θ 的取值范围,即可求出△ AOB 面积 的最大值. 解答: 解: :依题意得, (1) 所以 所以 (2) :由 所以 所以当 .因为 cosθ≠0,所以 ,得 = 时,△ AOB 的面积取得最大值 .…(14 分) .…(9 分) …(12 分) = .…(7 分) ,…(2 分) ,…(4 分)

点评: 本题主要考查平面向量的综合知识.解决第二问的关键是会用三角形的面积计算公式,且注意考虑角的范 围. 17. (12 分)某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加学校学生会的干部竞选. (1)设所选 3 人中女生人数为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望; (2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率. 考点: 条件概率与独立事件;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差。 专题: 计算题。 分析: (1)先找到 ξ 的所有可能取值,求出每种情况的概率,就可得到 ξ 的分布列,再根据期望的计算公式计算 出 ξ 的期望值即可. (2)求出男生甲被选中的情况数,以及在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的情况数,然后后者除 以前者即为在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率. 解答: 解: (1)ξ 的所有可能取值为 0,1,2.
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www.jyeoo.com 依题意,得 ∴ 的分布列为 ξ ξ 0 P ∴ , , .

1

2



(2)设“男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中”为事件 C, “男生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B 从 4 个男生、2 个女生中选 3 人,男生甲被选中的种数为 n(A)=C5 =10, 1 男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为 n(AB)=C4 =4, ∴
2

故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为 . 点评: 本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望的求法,以及条件概率的求法,属于概率中的常规题. 18. (14 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2. (1)证明:当点 E 在棱 AB 上移动时,D1E⊥ 1D; A (2)在棱 AB 上是否存在点 E,使二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角为 理由. ?若存在,求出 AE 的长;若不存在,请说明

考点: 用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系。 专题: 计算题;证明题。 分析: (1)以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设 E(1,y0,0)
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(0≤y0≤2)分别求出

,然后计算数量积为 0 可判定 D1E⊥ 1D; A ,而平面 ECD 的一个法向量为 =(0,0,1) ,要使

(2)先根据线面垂直求出平面 D1EC 的法向量为

二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角为

, 则

, 可解得 y0, 求出所求.

解答: 解:以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 D (0,0,0) ,C(0,2,0) 1(1,0,1) 1(0,0,1)(1 分) ,A ,D . 设 E(1,y0,0) (0≤y0≤2)(2 分) . (1)证明:

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www.jyeoo.com ∵ 则 ∴ (2)解:当 ∵ 设平面 D1EC 的法向量为 ,即 D1E⊥ 1D. (4 分) A 时,二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角为 , =(x,y,z) , . 分) (5 , . ,

, 分) (6



(8 分)

取 y=1,则 n1=(2﹣y0,1,2)是平面 D1EC 的一个法向量. 分) (9 而平面 ECD 的一个法向量为 =(0,0,1)(10 分) , ,

要使二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角为 则

, (12 分)

解得 ∴ 当

(0≤y0≤2) . 时,二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角为 . (14 分)

点评: 本题主要考查了两直线垂直的判定,以及利用空间向量的方法求解二面角的平面角,同时考查了计算能力, 属于中档题.

19. (14 分)已知两点 M(﹣1,0) 、N(1,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足



(1)求动点 P 的轨迹方程; 2 (2)若点 A(t,4)是动点 P 的轨迹上的一点,K(m,0)是 x 轴上的一动点,试讨论直线 AK 与圆 x +(y﹣2) 2 =4 的位置关系. 考点: 抛物线的标准方程;轨迹方程;直线与圆的位置关系。 专题: 计算题。 分析: (1)设 P(x,y) ,由 ,得

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,由此化简能求出点 P

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www.jyeoo.com 的轨迹 C 的方程. (2)由题意得,圆的圆心坐标为(0,2) ,半径为 2.当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离;当 m≠4 时,写出直线 AK 的方程,圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离,由此可判断直线 AK 与圆的位置关系. 解答: 解: (1)设 P(x,y) ,则 , , . 分) (2 由 得
2

, , 分) (4

化简得 y =4x. 2 所以动点 P 的轨迹方程为 y =4x. 分) (5 2 2 (2)由点 A(t,4)在轨迹 y =4x 上,则 4 =4t,解得 t=4,即 A(4,4)(6 分) . 2 2 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时直线 AK 与圆 x +(y﹣2) =4 相离. 分) (7 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 圆心(0,2)到直线 AK 的距离 ,即 4x+(m﹣4)y﹣4m=0, 分) (8 ,



,解得 m<1;



,解得 m=1;



,解得 m>1.
2 2

综上所述,当 m<1 时,直线 AK 与圆 x +(y﹣2) =4 相交; 2 2 当 m=1 时,直线 AK 与圆 x +(y﹣2) =4 相切; 2 2 当 m>1 时,直线 AK 与圆 x +(y﹣2) =4 相离. (14 分) 点评: 本题在向量与圆锥曲线交汇处命题,考查了向量的数量积、曲线方程的求法、直线与圆的位置关系以及分 类讨论思想和等价转化能力. 20. (14 分)已知 a∈R,函数 f(x)=x (x﹣a) . (1)若函数 f(x)在区间 内是减函数,求实数 a 的取值范围;
2

(2)求函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值 h(a) ; (3)对(2)中的 h(a) ,若关于 a 的方程 有两个不相等的实数解,求实数 m 的取值范围.

考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值。 分析: (1)函数在某区间单调递减转化成导函数在该区间≤0 恒成立,分离参数转化成求函数最值. (2)令导数为 0,求得根,讨论根与区间[1,2]的关系,判断根左右两边的符号求出最小值. (3)方程有两不等根转化成函数图象有两不同交点. 3 2 2 解答: (1)解:∵ f(x)=x ﹣ax ,∴ (x)=3x ﹣2ax. f′ ∵ 函数 f(x)在区间 内是减函数,

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www.jyeoo.com ∴ (x)=3x ﹣2ax≤0 在 f′ 即 ∵ 在 上恒成立, ,∴ a≥1.
2

上恒成立.

故实数 a 的取值范围为[1,+∞) ; (2)解:∵ 令 f′ (x)=0 得 . ,

① a≤0,则当 1≤x≤2 时,f′ 若 (x)>0, 所以 f(x)在区间[1,2]上是增函数, 所以 h(a)=f(1)=1﹣a. ② 若 ,即 ,

则当 1≤x≤2 时,f′ (x)>0, 所以 f(x)在区间[1,2]上是增函数, 所以 h(a)=f(1)=1﹣a. ③ 若 则当 当 ,即 ,

时,f′ (x)<0; 时,f′ (x)>0. 上是减函数,

所以 f(x)在区间 在区间 所以 ④ a≥3,即 若

上是增函数.

,则当 1<x<2 时,

f′ (x)<0,所以 f(x)在区间[1,2]上是减函数. 所以 h(a)=f(2)=8﹣4a. 综上所述,函数 f(x)在区间[1,2]的最小值



(3)解:由题意 即(2)中函数 h(a)的图象与直线

有两个不相等的实数解, 有两个

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www.jyeoo.com 不同的交点. 而直线 恒过定点 ,

由如图知实数 m 的取值范围是(﹣4,﹣1) .

点评: 本题考查导数解决单调性问题;不等式恒成立问题;导数求最值问题;方程根问题;数形结合思想;转化 化归思想. 21. (14 分)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,对任意的 n∈N ,都有 Sn=(m+1)﹣man(m 为常数,且 m>0) . (1)求证:数列{an}是等比数列; * (2)设数列{an}的公比 q=f(m) ,数列{bn}满足 b1=2a1,bn=f(bn﹣1) (n≥2,n∈N ) ,求数列{bn}的通项公式; (3)在满足(2)的条件下,求证:数列{bn }的前 n 项和
2 *



考点: 等比关系的确定;数列的求和;数列递推式。 专题: 综合题。 分析: (1)当 n≥2 时根据 an=Sn﹣Sn﹣1 化简整理得 列.

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,根据等比数列的定义即可判断数列{an}为等比数

(2)由(1)可求得 q 和 a1,进而求得 b1,根据 bn=f(bn﹣1)整理得即 数列,根据首项和公差,进而可得数列的通项公式. (3)根据(2)先可得出数列{bn }的通项公式
2

进而判断数列为等差

再根据

,通过裂项法求和即可证明原式. 解答: (1)证明:当 n=1 时,a1=S1=(m+1)﹣ma1,解得 a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=man﹣1﹣man. 即(1+m)an=man﹣1. ∵ 为常数,且 m>0,∴ m (n≥2)

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www.jyeoo.com ∴ 数列{an}是首项为 1,公比为 (2)解:由(1)得,q=f(m)= 的等比数列. ,b1=2a1=2.

∵ ∴ ∴ ,即

, (n≥2) .

是首项为 ,公差为 1 的等差数列.



,即

(n∈N ) .

*

(3)证明:由(2)知

,则



所以 Tn=b1 +b2 +b3 ++bn =

2

2

2

2



当 n≥2 时,



所以

=



点评: 本题主要考查了等比关系和等差关系的确定,及数列求和问题.裂项法是将数列中的每项(通项)分解, 然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;qiss;minqi5;lily2011;zhwsd;wdnah;zlzhan;zwx097;wdlxh;席泽 林;邢新丽;danbo7801(排名不分先后)
菁优网 2012 年 11 月 29 日

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