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2016年期末考试精彩试题解析(二)


2016 年全国各地高三年级期末考试

数学精彩试题集锦(二)
戴又发

最近各校高三年级期末考试陆续举行.这是高中阶段最后一次期末考试,相 信考生、学校及命题人都会高度重视,试题的质量也相对较高.正是因为这次期 末考试重要,不少学校采取多校联考,有些地区还组织了统一的质量检测.本人 将陆续从众多试卷中,选择具有一定难度的经典试题或有新意精彩试题,做详细 解析.希望能作为考生寒假休整期间参考材料. (题号为试卷中的题号)

江苏苏州 2016 年 1 月高三期末考试卷填空题最后一题

14 已知函数 ab ?

1 2 1 ? , a, b ? (0,1) ,则 的最小值为. 1? a 1? b 4

解析: 记 m ?

1 2 1 ? b ? 2(1 ? a) 3 ? (b ? 2a) ? ? ? . 1 ? a 1 ? b (1 ? a)(1 ? b) 1 ? (a ? b) ? ab

由 ab ?

1 1 ,b ? 代入上式,得 4 4a

1 3? ( ? a 2 ) 1 a 2? a 2 8 ? 1 4 a m? ? . 2 1 1 5a ? 4a ? 1 1 ? (a ? ) ? 4a 4
整理,得 由? ? 0得 即

消去一个变量, 利用二次 方程的判别式求最值. 考虑到 m ? 4 .

(8 ? 4m)a2 ? (5m ?12)a ? 1 ? m ? 0 , (5m ?12)2 ? 4(8 ? 4m)(1 ? m) ? 0 ,

9m2 ? 72m ? 112 ? 0 , 9(m ? 4)2 ? 32 ? 0 .

显然

m ? 4 ,所以 m ? 4 ?

4 2 , 3

所以

1 2 4 2 ? 的最小值为 4 ? . 1? a 1? b 3

另解:设 x ?

1 1 1 1 ,y? ,则 a ? 1 ? , b ? 1 ? , 1? a 1? b x y

消去一个变量,利用导 数求最值.

由 ab ?

1 1 1 4x ? 4 x 1 ? 1? ,得 (1 ? )(1 ? ) ? ,解出 y ? . 3x ? 4 3x ? 4 4 x y 4
1 2 2x ? ? x ? 2y ? x ? 2 ? , 1? a 1? b 3x ? 4



m?

求导, m? ? 1 ?

8 ,显然当 3x ? 4 ? 2 2 时 m 取得最小值. (3x ? 4) 2

此时 mmin

8? 4 2 4?2 2 4 2 3 ? ?2? ? 4? . 3 3 2 2

上海黄浦区 2016 年 1 月高三期终调研测试理科卷填空题最后一题
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14.若非零向量 a, b, c 满足 a ? 2b ? 3c ? 0 ,且 a ? b ? b ? c ? c ? a ,则 b 与 c 的夹角为

? ? ? ? ? ? ? 解析:由 a ? 2b ? 3c ? 0 ,得 a ? ?2b ? 3c ,

再由

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 a ? b ? (?2b ? 3c) ? b ? b ? c ,得 4b ? c ? ?2b

?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又 c ? a ? c ? (?2b ? 3c) ? b ? c ,得 c ? ?b ? c , ?2 ? 2 ? ? 所以 2c ? b , b ? 2 c ,
? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 . b ? c ? b ? c cos ? b, c ?? ? c ,即 cos ? b, c ?? ? 2 ? ? 3? 所以 b 与 c 的夹角为 . 4

黑龙江大庆市 2016 年 1 月高三期终考试理科卷选择题最后一题 12.设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) , e 为自然对数的底.若 f ?( x)ln x ? A. f (2) ? f (e)ln 2, 2 f (e) ? f (e2 ) C. f (2) ? f (e)ln 2, 2 f (e) ? f (e2 )
f ( x) ,则( x



B. f (2) ? f (e)ln 2, 2 f (e) ? f (e2 ) D. f (2) ? f (e)ln 2, 2 f (e) ? f (e2 )

解析:由 f ?( x)ln x ?

f ( x) ,得 f ?( x)ln x ? f ( x)(ln x)? , x f ?( x) ln x ? f ( x)(ln x)? 于是,有 ?0 (ln x) 2 f ( x) ? f ( x ) ?? 即? 在定义域内为增函数. ? 0 ,所以函数 ? ln x ? ln x ?

细心观察,得到这个微 分不等式是关键.



2 ? e ? e2 ,得

f (2) f (e) f (e2 ) , ? ? ln 2 ln e ln e2

即 f (2) ? f (e)ln 2, 2 f (e) ? f (e2 ) ,故选 B.

湖北 2016 年八校第一次联考理科卷选择题最后一题 12.关于函数 f ( x) ?
2 ? ln x ,下列说法错误的是( x



A. x ? 2 是 f ( x) 的极小值点 B.函数 y ? f ( x) ? x 有且只有一个零点 C. 存在正实数 k ,使得 f ( x) ? kx 恒成立 D. 对任意两个正实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4

解析:由 f ?( x) ? ?
所以

2 1 x?2 ? ? 2 ,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 . x2 x x

x ? 2 是 f ( x) 的极小值点,A 对.
7 1 ? ? ( x ? )2 4 2 ?0 2 x

x ? 2 ? x2 ? 由 y ? f ( x) ? x ,知 y ? ? f ?( x) ? 1 ? x2

所以函数 y ? f ( x) ? x 是单调减函数, 由 y(1) ? f (1) ? 1 ? 1 ? 0 , y(e) ? f (e) ? e ?
2 ?1? e ? 0 , e

可知函数 y ? f ( x) ? x 有且只有一个零点.B 对. 再由 f ( x) ? kx ,得 k ?
f ( x) f ( x) 2 ln x ,令 g ( x) ? , ? 2? x x x x

只需 k ? ? g ( x)?min ,下面求 g ( x) 的最小值. 因为
g ?( x) ? ? 4 1 ? ln x x ? x ln x ? 4 ? ? x3 x2 x3

再令 h( x) ? x ? x ln x ? 4 ,则 h?( x) ? ? ln x , 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 . 可见 x ? 1 是 h( x) 的极大值点,
h( x) 的极大值也是最大值为 h(1) ? 1 ? 4 ? 0

所以

g ?( x) ?

x ? x ln x ? 4 ? 0 , g ( x) 是单调减函数,无极小值. x3

所以 C 错误,故选 C.

河北 2016 年名校联盟质量检测文科卷选择题最后一题 12. 已知函数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? b ? a ln( x ?1), 存在实数 a(a ? 1), 使 y ? f ( x) 的图象
2

与 y ? g ( x) 的图象无公共点,则实数 b 的取值范围为( A. ? ??,0? B. ? ??,

)

? ?

3 ? ? ln 2 ? 4 ?

C. ? ? ln 2, ?? ?

?3 ?4

? ?

D. ?1 ,

? ?

3 ? ? ln 2 ? 4 ?

解析: y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象无公共点,
即函数 f ( x) ? g ( x) 无零点,令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? ax ? b ? a ln(x ?1) ,
a 2x2 ? (2 ? a) x , ? x ?1 x ?1 a?2 由 h?( x) ? 0 ,考虑 x ? 1 ,得 x ? 为极小值点. 2

则 h?( x) ? 2x ? a ?

故只需 h( 即b?( 因为 ?

a?2 ) ? 0 即可, 2

注意: 是存在实数 a(a ? 1), .

a?2 2 a?2 a a2 ? 4 a ) ?a? ? a ln ? ? ? a ln 2 2 2 4 2

a2 ? 4 a a2 ? 4 a ? a ln 是 a 的减函数,只需 b 小于 a ? 1 时 ? ? a ln 的值即可. 4 2 4 2 3 所以 b ? ? ln 2 ,故选 B. 4

湖北 2016 年八名校第一次联考理科卷填空题最后一题 16.如图所示,已知 ?ABC 中, ?C ? 900 ,
AC ? 6, BC ? 8 , D 为边 AC 上的一点, K 是

B

BD 上的一点,且 ?ABC ? ?KAD ? ?AKD ,
则 DC ? C

K

D

A

解析:由题意 tan ?ABC ? , tan ?BAC ? ,
由 ?CBD ? ?ABC ? ?ABD ? ?ABC ? (?AKD ? ?BAK )
? ?ABC ? (?ABC ? ?BAK ) ? ?BAK ? ?BAC ? ?KAD
? ?BAC ? ?ABC .

3 4

4 3

所以 tan ?CBD ? tan(?BAC ? ?ABC )
4 3 ? tan ?BAC ? tan ?ABC 7 . ? ? 3 4 ? 1 ? tan ?BAC ? tan ?ABC 1 ? 4 ? 3 24 3 4

所以 DC ? BC ? tan ?CBD ? 8 ?

7 7 ? . 24 3

辽宁部分示范性重点高中 2016 年期末考试理科卷选择题最后一题 12.若函数 y ?
f ( x) 为一次函数,且 f (0) ? ?3, f ?(0) ? ?2 ,则 ex

A. f (4sin 4) ? f (3sin 3) ? f (2sin 2) B. f (2sin 2) ? f (3sin 3) ? f (4sin 4) C. f (3sin 3) ? f (4sin 4) ? f (2sin 2) D. f (2sin 2) ? f (4sin 4) ? f (3sin 3)

解析:由函数 y ?

f ( x) f ( x) 为一次函数,设 y ? x ? ax ? b(a ? 0) , ex e

于是 f ( x) ? e x (ax ? b) , f ?( x) ? e x (ax ? a ? b) , 由 f (0) ? ?3, f ?(0) ? ?2 ,得 a ? 1, b ? ?3 . 所以
f ( x) ? e x ( x ? 3) , f ?( x) ? e x ( x ? 2) .

当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 的极小值(也是最小值)为 f (2) ,且当 x ? 2 时, f ?( x) 为减函数. 又 4sin 4 ? 0 ? 3sin 3 ? 3sin 所以

5? 3 2? ? ? 3 ? 2sin ? 2sin 2 ? 2 6 2 3

f (4sin 4) ? f (3sin 3) ? f (2sin 2) .选 A.

2016 年 1 月 26 日星期二 【待续】


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