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第8讲 复数、平面向量的基本运算与综合应用_图文


专题二 三角变换与平面向量、复数
第8讲

复数、平面向量的基本运算与综合应用

1 1.(2014· 全国新课标卷Ⅰ)设 z= +i,则|z| 1 +i =( ) 1 A.2 3 C. 2 2 B. 2 D.2

1 -i 1 1 【解析】z= + i = + i ,故 | z | = 2 2 2 所以选 B.

1 1 2 + = , 4 4 2

2.(2014· 山东卷)已知向量 a=(1, 3), b=(3, m). 若 π 向量 a,b 的夹角为6,则实数 m=( A.2 3 C.0 B. 3 D.- 3 )

a· b 3 【解析】由 cosθ= = ,解得 m= 3,故选 B. |a|· |b| 2

3.(2014· 全国新课标卷Ⅱ)设向量 a,b 满足|a+b| = 10,|a-b|= 6,则 a· b=( A.1 C.3 B.2 D.5 )

【解析】由已知得, a2+2a· b+b2=10,a2-2a· b

+b2=6,两式相减得 4a· b=4,故 a· b=1.

4.(2014· 江苏卷)如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已 → =3PD → ,AP →· → =2,则AB →· →的 知 AB=8,AD=5,CP BP AD 值是 .

【解析】由题意,

1→ → → → → AP=AD+DP=AD+4AB, 3 3 → =BC → +CP → =BC → + CD → =AD → - AB →, BP 4 4 1→ → 3→ → → → 所以AP· BP=(AD+4AB)· (AD-4AB) 1 → → 3 →2 2 → =AD -2AD· AB-16AB , 1→ → 3 →· → =22. 即 2=25-2AD· AB-16×64,解得AD AB

一、复数的概念及其四则运算
【例 1】(1)(2014· 淮南市三模)已知 i 为虚数单位,复数 z z2-2z =1+i, z 为其共轭复数,则 等于( z A.-1-i C.-1+i B.1-i D.1+i )

【解析】(1)- z =1 -i,

z -2z ?1+i? -2?1+i? = = - 1-i z
2 2

-2 =-1-i,选 A. 1-i

(2)(2014· 广东汕头模拟)已知 i 为虚数单位,则复数 2i(1 +i)的模是( A.4 C.3 2 ) B.2 2 D.8

【解析】(2)因为 2i(1+i)=-2+2i,

所以其模为 ?-2?2+22=2 2.选 B.

m+i 1 (3)(2014· 黄冈五月模拟)已知 m∈R,复数 -2的实部 1+i 和虚部相等,则 m=________.

m+i ?m+i??1-i? 1 1 【 解 析 】 (3) -2= -2= 1+i ?1+i??1-i? ?m+1?+?1-m?i 1 m 1-m - = + i , 2 2 2 2 1 则 m=1-m,所以 m=2.

二、平面向量的定义及运算
【例 2】(1)(2014· 江淮十校检测)若平面向量 a,b 满足|a -b|=2,a-b 垂直于 x 轴, b=(3,1),则 a=__________.

【解析】(1)由题意知:a-b=(0,2)或(0,-2),所

以 a=(3,3)或 a=(3,-1).

(2)(2014· 江西省联考 2)设 e1,e2 为单位向量,其中 a= 2e1+e2,b=e2,且 a 在 b 上的投影为 2,则 e1 与 e2 的夹角 为( ) π A.6 π C.3 π B.4 π D.2

【解析】(2)设 θ 为 e1 与 e2 的夹角,则

e2 2e1· e2+e2 a· b ?2e1+e2?· 2 = = |b| |e2| 1 =2|e1|· |e2|cosθ+1=2, 1 π 解得 cosθ=2,则 θ=3.选 C.

(3)(2014· 衡阳市三模)如图,P 为△AOB 所在平面上一 → =a,OB → =b,且 P 在线段 AB 的垂直平分线上, 点,向量OA → =c.若|a|=3,|b|=2,则 c· 向量OP (a-b)的值为( A.5 B.3 5 C.2 3 D.2 )

【解析】(3)设 AB 的中点为 E,

1→ → 1 → → → → →. 则OP=OB+2BA+EP=2(OA+OB)+EP 1 2 5 2 所以 c· (a-b)=2(|a| -|b| )=2,故选 C.

三、平面向量与平面几何的综合
【例 3】 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,- 2),B(2,3),C(-2,-1). (1)判断△ABC 的形状; (2)求以线段 AB、 AC 为邻边的平行四边形的两条对角线 的长; → -tOC → )∥OB → ,求 t 的值. (3)设实数 t 满足(AB

→ =(3,5),AC → =(-1,1),BC → = (- 4, 【解析】(1)AB -4), →· → =0,所以 AC⊥BC,又|AC → |≠|BC → |, 因为AC BC 所以△ABC 为不等边的直角三角形.

→ =(3,5),AC → =(-1,1). (2)方法一:由题设知AB 又以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对 → +AC → |与|AB → -AC → |, 角线长即为|AB → +AC → =(2,6),得|AB → +AC → |=2 10, 由AB → -AC → =(4,4),得|AB → -AC → |=4 2. 由AB 所以所求的两条对角线的长分别为 4 2、2 10.

方法二:设该平行四边形的第四个顶点为 D,两 条对角线的交点为 E, 则 E 为 BC 的中点,所以 E(0,1). 又 E(0,1)为 AD 的中点,所以 D(1,4), → |=4 2、|AD →| 故所求的两条对角线的长分别为|BC =2 10.

→ =(-2,-1), (3)由题设知OC → -tOC → =(3+2t,5+t),OB → =(2,3), AB 3+2t 5+t 1 → -tOC → )∥OB → ,得 由(AB = ,解得 t = . 2 3 4

四、平面向量与三角函数的交汇
【例 4】设平面向量 a=(cosx,sinx),b=(cosx+2 3, sinx),c=(sinα,cosα),x∈R. (1)若 a⊥c,求 cos(2x+2α)的值; π (2)若 x∈(0,2),证明:a 和 b 不可能平行; (3)若 α=0,求函数 f(x)=a· (b-2c)的最大值,并求出相 应的 x 值.

【解析】(1)若 a⊥c,则 a· c=0.

cosxsinα+sinxcosα=0, 即 sin(x+α)=0. 所以 cos(2x+2α)=1-2sin2(x+α)=1.

(2)证明:假设 a 和 b 平行, 则 cosxsinx-sinx(cosx+2 3)=0, 即 2 3sinx=0,则 sinx=0. π 而 x∈(0,2)时,sinx>0,矛盾. 故假设不成立,所以 a 和 b 不可能平行.

(3)若 α=0,c=(0,1), 则 f(x)=a· (b-2c) =(cosx,sinx)· (cosx+2 3,sinx-2) 2π =4sin(x+ 3 )+1, π 所以当 x=2kπ-6(k∈Z)时,f(x)max=5.


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