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2018版高中数学(人教A版)必修5同步练习题:必修5 第1章 1.2 第2课时 学业分层测评4

学业分层测评(四) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.在静水中划船的速度是每分钟 40 m,水流的速度是每分钟 20 m,如果船 从岸边 A 处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船的前进方向应指向 河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( A.15° 【解析】 B.30° 如图所示, C.45° ) D.60° 20 1 sin∠CAB=40=2,∴∠CAB=30° . 【答案】 B 2.如图 1224 所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在 离堤足 C 处 1.4 m 的地面上, 另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾 斜角为 α,则坡度值 tan α 等于( ) 图 1224 A. 231 5 B. 5 16 231 C. 16 11 D. 5 【解析】 由题意,可得在△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m, 且 α+∠ACB=π. 由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB,即 3.52=1.42 5 +2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得 cos α=16. 231 sin α 231 所以 sin α= 16 ,所以 tan α=cos α= 5 . 【答案】 A 3.我舰在敌岛 A 处南偏西 50° 的 B 处,且 A,B 距离为 12 海里,发现敌舰 正离开岛沿北偏西 10° 的方向以每小时 10 海里的速度航行,若我舰要用 2 小时 追上敌舰,则速度大小为( A.28 海里/小时 C.14 2海里/小时 【解析】 ) B.14 海里/小时 D.20 海里/小时 如图,设我舰在 C 处追上敌舰,速度为 v, 在△ABC 中,AC=10×2=20(海里), AB=12 海里,∠BAC=120° , ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos 120° =784, ∴BC=28 海里, ∴v=14 海里/小时. 【答案】 B 4.地上画了一个角∠BDA=60° ,某人从角的顶点 D 出发,沿角的一边 DA 行走 10 米后, 拐弯往另一边的方向行走 14 米正好到达△BDA 的另一边 BD 上的 一点,我们将该点记为点 N,则 N 与 D 之间的距离为( A.14 米 C.16 米 【解析】 如图,设 DN=x m, B.15 米 D.17 米 ) 则 142=102+x2-2×10× xcos 60° , ∴x2-10x-96=0, ∴(x-16)(x+6)=0, ∴x=16 或 x=-6(舍), ∴N 与 D 之间的距离为 16 米. 【答案】 二、填空题 5.如图 1225,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶 在西偏北 75° 的方向上,仰角为 30° ,则此山的高度 CD=______m. C 图 1225 【解析】 由题意,在△ABC 中,∠BAC=30° ,∠ABC=180° -75° =105° , 故∠ACB=45° . 600 BC 又 AB=600 m,故由正弦定理得sin 45° =sin 30° ,解得 BC=300 2 m. 3 在 Rt△BCD 中,CD=BC· tan 30° =300 2× 3 =100 6(m). 【答案】 100 6 6.某船在岸边 A 处向正东方向航行 x 海里后到达 B 处,然后朝南偏西 60° 方向航行 3 海里到达 C 处, 若 A 处与 C 处的距离为 3海里, 则 x 的值为________. 【解析】 x2+9-2· x· 3cos 30° =( 3)2, 解得 x=2 3或 x= 3. 【答案】 3或 2 3 7.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏 东 60° 方向,行驶 4 h 后,船到 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15° 方向,这时船 与灯塔的距离为________km. 【解析】 如图所示,依题意有 AB=15×4=60,∠MAB=30° , ∠AMB=45° , 在△AMB 中, 60 BM 由正弦定理得sin 45° =sin 30° , 解得 BM=30 2(km). 【答案】 30 2 8.一船自西向东航行,上午 10:00 到达灯塔 P 的南偏西 75° 距塔 68 n mile 的 M 处,下午 14:00 到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为 ______n mile/h. 【解析】 如图,由题意知∠MPN=75° +45° =120° ,∠PNM=45° . 在△PMN 中,由正弦定理,得 MN PM = , sin 120° sin 45° 3 2 ∴MN=68× =34 6. 2 2 又由 M 到 N 所用时间为 14-10=4(h), 34 6 17 ∴船的航行速度 v= 4 = 2 6(n mile/h). 【答案】 三、解答题 17 2 6 9.在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45° 方向,相 距 12 n mile 的水面上, 有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75° 方向前进,若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45° +α 方向拦截 蓝方的小艇. 若要在最短的时间内拦截住, 求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正 弦值. 图 1226 【解】 如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇, 则 AC=14x,BC=10x,∠ABC=120° . 根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120° , 解得 x=2. 故 AC=28,BC=20. BC AC 根据正弦定理得sin α=sin 120°

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