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2016年河南省焦作市高考数学二模试卷(文科)(解析版)


2016 年河南省焦作市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.集合 A={1,2,3,4},B={x∈R|x≤3},则 A∩B=( ) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3} D.{1,4} 2.设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则 z1z2=( ) A.2 B.﹣2 C.1+i D.1﹣i 3.下列命题: (1)若一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么它也与另一个平面平行; (2)若平面 α 内有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α∥β; (3)过平面 α 外一点和平面 α 内一点与平面 α 垂直的平面只有一个; (4)若平面 α⊥平面 β,α∩β=b,直线 a?α,α⊥β,则 a∥α. 其中正确的有( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 4.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1) , (11.3,2) , (11.8,3) , (12.5,4) , (13,5) , 变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5) , (11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1) .r1 r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数, 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, 则 ( ) A.r2<r1<0 B.0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.r2=r1 5.已知函数 f(x+1)是偶函数,当 1<x1<x2 时,[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1)>0 恒成 立,设 a=f(﹣ ) ,b=f(2) ,c=f(3) ,则 a,b,c 的大小关系为( A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 6.已知函数 f(x)=sin(ωx+ A.关于直线 x= C.关于点( 对称 ) (ω>0)的最小正周期为 π,则函数 f(x)的图象( 对称 ,0)对称 ) ) )

B.关于直线 x=

,0)对称 D.关于点(

7.命题“存在 x∈[0,2],x2﹣x﹣a≤0 为真命题”的一个充分不必要条件是( A.a≤0 B.a≥﹣1 C.a≥﹣ D.a≥3

8.如图,给出了一个算法框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 的值,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 的值有( )

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A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.已知双曲线 ﹣ =1 的一个焦点为 F(2,0) ,且双曲线与圆(x﹣2)2+y2=1 相切, ) D.4 )

则双曲线的离心率为( A. B.2 C.3

10.已知实数 a,b 满足 2a=3,3b=2,则函数 f(x)=ax+x﹣b 的零点所在的区间是( A. C. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) (0,1) D. (1,2) 11.若 x,y 满足 x2﹣2xy+3y2=4,则 最大值与最小值的和是( )

A.

B.1

C.

D.

12.若直角坐标平面内 A、B 两点满足:①点 A、B 都在函数 f(x)的图象上;②点 A、 B 关于原点对称,则点对(A,B)是函数 y=f(x)的一个“姊妹点对”,点对(A,B)与(B,

A)可看作同一个“姊妹点对”.已知函数 f(x)=

,若 f(x)的“姊妹点

对”有两个,则 b 的范围为( ) A.﹣1<b≤1 B.﹣1≤b<1 C.﹣1≤b≤1

D.﹣1<b<1

二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分。 13.在△ABC 中, =(2,2) , =(1,k) ,若∠B=90°,则 k 值为 14.若△ABC 的内角满足 sinA+ sinB=2sinC,则 cosC 的最小值是 15.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为 .

. .

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16.已知 f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论: ①f(0)f(1)<0; ②f(0)f(1)>0; ③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0; ⑤f(1)f(3)>0; ⑥f(1)f(3)<0. 其中正确的结论的序号是 . 三、解答题(解答写出文字说明、证明或验算步骤) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,Sn=2an+k,等差数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 且 Tn=n2. (1)求 k 和 Sn; (2)若 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Mn. 18.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间为[40, 50],[50,60],…,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在[40,50]的概率.

19.如图所示,△ABC 是边长为 2 的正三角形,EC⊥平面 ABC,DB⊥平面 ABC,且 M 为 AE 的中点,CE=CA=2BD.
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(1)求证:DM∥平面 ABC; (2)求证:平面 DEA⊥平面 ECA; (3)求点 E 到平面 ACD 的距离.

20.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆 C 的一个焦点 F 在抛物线 y2=4x 的准线上, 且椭圆 C 过点 P(1, ) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过点 F,且与椭圆 C 相交于 A,B 不同两点,M 为椭圆 C 上的另一个焦点, 求△MAB 面积的最大值. 21.已知函数 f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1) (1)求函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)单调增区间. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,A、B、C 是圆 O 上三点,AD 是∠BAC 的角平分线,交圆 O 于 D,过 B 作圆 O 的 切线交 AD 的 延长线于 E. (Ⅰ)求证:∠EBD=∠CBD; (Ⅱ)求证:AB?DE=CD?BE.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

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23. 已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin (θ﹣

=2 )

, 圆 C 的参数方程为

(θ

为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标; (2)若 P 为圆 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (选修 4﹣5:不等式选讲) 已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设 a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x) ,求 a 的取值范围.

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2016 年河南省焦作市高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.集合 A={1,2,3,4},B={x∈R|x≤3},则 A∩B=( ) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3} D.{1,4} 【考点】交集及其运算. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={1,2,3,4},B={x∈R|x≤3}, ∴A∩B={1,2,3}, 故选:B. 2.设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则 z1z2=( A.2 B.﹣2 C.1+i D.1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的对称关系,求出复数 z2,然后求解 z1z2 即可. 【解答】解:复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i, 所以 z2=1﹣i, ∴z1z2=(1+i) (1﹣i)=2. 故选:A. 3.下列命题: (1)若一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么它也与另一个平面平行; (2)若平面 α 内有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α∥β; (3)过平面 α 外一点和平面 α 内一点与平面 α 垂直的平面只有一个; (4)若平面 α⊥平面 β,α∩β=b,直线 a?α,α⊥β,则 a∥α. 其中正确的有( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】利用平面与平面平行、垂直的判定与性质,即可得出结论. 【解答】解: (1)当一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的 位置关系是一定不能相交,是平行或这条直线在这个平面内,故不正确; (2)若平面 α 内有不共线的三个点到平面 β 距离相等,可能平行,也可能相交,不正确; (3)当平面 α 外一点和平面 α 内一点连线不垂直于平面时,此时过此连线存在唯一一个与 平面 α 垂直的平面;当平面 α 外一点和平面 α 内一点连线垂直于平面时,则根据面面垂直 的判定定理,可作无数个与平面 α 垂直的平面,故不正确; (4)∵平面 α⊥平面 β,直线 a⊥β,∴平面 α 内存在直线 a′与直线 a 平行,∵a?α,a′? α, 且 a∥a′,∴a∥平面 α,正确. 故选:A. )

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4.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1) , (11.3,2) , (11.8,3) , (12.5,4) , (13,5) , 变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5) , (11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1) .r1 r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数, 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, 则 ( ) A.r2<r1<0 B.0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.r2=r1 【考点】相关系数. 【分析】求两组数据的相关系数的大小和正负,可以详细的解出这两组数据的相关系数,现 分别求出两组数据的两个变量的平均数,利用相关系数的个数代入求出结果,进行比较. 【解答】解:∵变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1) , (11.3,2) , (11.8,3) , (12.5,4) , (13,5) , =11.72

∴这组数据的相关系数是 r=



变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5) , (11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1) , ∴这组数据的相关系数是﹣0.3755, ∴第一组数据的相关系数大于零,第二组数据的相关系数小于零, 故选 C. 5.已知函数 f(x+1)是偶函数,当 1<x1<x2 时,[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1)>0 恒成 立,设 a=f(﹣ ) ,b=f(2) ,c=f(3) ,则 a,b,c 的大小关系为( A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 【考点】函数奇偶性的性质;函数恒成立问题. 【分析】根据条件求出函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,然后根据函数 f(x+1)是偶函 数,利用单调性即可判定出 a、b、c 的大小. 【解答】解:解:∵当 1<x1<x2 时,[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1)>0 恒成立, ∴当 1<x1<x2 时,f (x2)﹣f (x1)>0, 即 f (x2)>f (x1) , ∴函数 f(x)在(1,+∞)上为单调增函数, ∵f(1+x)=f(1﹣x) , ∴函数 f(x)关于 x=1 对称, ∴a=f(﹣ )=f( ) , 又函数 f(x)在(1,+∞)上为单调增函数, ∴f(2)<f( )<f(3) , 即 f(2)<f(﹣ )=<f(3) , ∴a,b,c 的大小关系为 b<a<c.
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故选:A.

6.已知函数 f(x)=sin(ωx+ A.关于直线 x= C.关于点( 对称

) (ω>0)的最小正周期为 π,则函数 f(x)的图象( 对称 ,0)对称



B.关于直线 x=

,0)对称 D.关于点(

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由函数的周期求得 ω 的值,可得函数的解析式,再根据当 x= 取得最大值,可得函数 f(x)的图象关于直线 x= 【解答】解:由函数 f(x)=sin(ωx+ 求得 ω=2,f(x)=sin(2x+ 由于当 x= 故选:B. 7.命题“存在 x∈[0,2],x2﹣x﹣a≤0 为真命题”的一个充分不必要条件是( A.a≤0 B.a≥﹣1 C.a≥﹣ D.a≥3 ) ) . 对称, 对称. =π, 时,函数 f(x)

) (ω>0)的最小正周期为 π,可得

时,函数 f(x)取得最大值为 1,故函数 f(x)的图象关于直线 x=

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】存在 x∈[0,2],x2﹣x﹣a≤0 为真命题,可得 a≥(x2﹣x)min,利用二次函数的 单调性即可得出.再利用充要条件的判定方法即可得出. 2], x2﹣x﹣a≤0 为真命题, 【解答】 解: 存在 x∈[0, ∴a≥ (x2﹣x) min= =﹣ , 因此上述命题的一个充分不必要条件是 a≥3. 故选:D. 8.如图,给出了一个算法框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 的值,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 的值有( )

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A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作

用是计算分段函数 y=

的函数值并输出,解方程组即可得解.

【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:

该程序的作用是计算分段函数 y=

的函数值.

依题意得

,或

,或



解得 x=0,或 x=1,即这样的 x 的值有 2 个. 故选:B.

9.已知双曲线



=1 的一个焦点为 F(2,0) ,且双曲线与圆(x﹣2)2+y2=1 相切, ) D.4

则双曲线的离心率为( A. B.2 C.3

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的焦点坐标,求出 c,根据圆与双曲线相切求出 c﹣a=1,利用双曲线的 离心率的定义进行求解即可 【解答】解:∵双曲线 ﹣ =1 的一个焦点为 F(2,0) ,

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∴c=2, ∵双曲线与圆(x﹣2)2+y2=1 相切, ∴圆心为 F(2,0) ,半径 R=1, 则 c﹣a=1,即 a=1, 则双曲线的离心率 e= =2, 故选:A. 10.已知实数 a,b 满足 2a=3,3b=2,则函数 f(x)=ax+x﹣b 的零点所在的区间是( ) A. 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 (﹣ ,﹣ ) . (﹣ , ) . ( , ) . ( , ) 【考点】函数的零点;指数函数的图象与性质. 【分析】根据对数,指数的转化得出 f(x)=(log23)x+x﹣log32 单调递增,根据函数的零 点判定定理得出 f(0)=1﹣log32>0,f(﹣1)=log32﹣1﹣log32=﹣1<0,判定即可. 【解答】解:∵实数 a,b 满足 2a=3,3b=2, ∴a=log23>1,0<b=log32<1, ∵函数 f(x)=ax+x﹣b, ∴f(x)=(log23)x+x﹣log32 单调递增, ∵f(0)=1﹣log32>0 f(﹣1)=log32﹣1﹣log32=﹣1<0, ∴根据函数的零点判定定理得出函数 f(x)=ax+x﹣b 的零点所在的区间(﹣1,0) , 故选:B.

11.若 x,y 满足 x2﹣2xy+3y2=4,则

最大值与最小值的和是(



A.

B.1

C.

D.

【考点】基本不等式. 【分析】 设 x=rcosα,y=rsinα, (r>0) ,α∈[0,2π) . 代入 x2﹣2xy+3y2=4, 可得 =

= (cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α)= (2﹣cos2α﹣sin2α) ,再利用和差公式、三角函数的单 调性值域即可得出. 【解答】解:设 x=rcosα,y=rsinα, (r>0) ,α∈[0,2π) . ∵x2﹣2xy+3y2=4, ∴r2cos2α﹣2rcosαrsinα+3r2sin2α=4, ∴r2(cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α)=4, ∴ = = (cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α) = (1+2sin2α﹣sin2α) = (2﹣cos2α﹣sin2α)





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最大值与最小值的和=

+

=1.

故选:B. 12.若直角坐标平面内 A、B 两点满足:①点 A、B 都在函数 f(x)的图象上;②点 A、 B 关于原点对称,则点对(A,B)是函数 y=f(x)的一个“姊妹点对”,点对(A,B)与(B,

A)可看作同一个“姊妹点对”.已知函数 f(x)=

,若 f(x)的“姊妹点

对”有两个,则 b 的范围为( ) A.﹣1<b≤1 B.﹣1≤b<1 C.﹣1≤b≤1 D.﹣1<b<1 【考点】函数的图象. 【分析】根据题意:要有两个“姊妹点对”,只要函数 y=x2+2x,x<0 的图象关于原点对称的 图象与函数 y=|x﹣1|+b,x≥0 的图象有两个交点,即可. 【解答】解:函数 y=x2+2x,x<0 的图象关于原点对称的函数为 y=x2+2x, 分别画出 y=|x﹣1|+b 与 y=﹣x2+2x 的图象,如图所示: 若 f(x)的“姊妹点对”有两个, 则 y=|x﹣1|+b 与 y=﹣x2+2x 的图象由两个交点, 由图象可知,﹣1<b<1, 故选:D.

二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分。 13.在△ABC 中, =(2,2) , =(1,k) ,若∠B=90°,则 k 值为 3 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由向量的垂直可得数量积为 0,可得 k 的方程,解方程可得. 【解答】解:∵ =(2,2) , =(1,k) , ∴ = ﹣ =(﹣1,k﹣2) , B=90 ° ∵∠ , =0, ∴ 即﹣2+2(k﹣2)=0, 解得 k=3, 故答案为:3.
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14.若△ABC 的内角满足 sinA+

sinB=2sinC,则 cosC 的最小值是



【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】根据正弦定理和余弦定理,利用基本不等式即可得到结论. 【解答】解:由正弦定理得 a+ b=2c,得 c= (a+ b) ,

由余弦定理得 cosC=

=

=

=



=



当且仅当 故 故答案为:

时,取等号, ≤cosC<1,故 cosC 的最小值是 . .

15.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为



【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知:该几何体是由一个三棱柱截取一个三棱锥剩下的一个几何体.利用 体积计算公式即可得出. 【解答】解:由三视图可知:该几何体是由一个三棱柱截取一个三棱锥剩下的一个几何体. ∴该几何体的体积 V= 故答案为: . 3﹣ = .

16.已知 f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:
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①f(0)f(1)<0; ②f(0)f(1)>0; ③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0; ⑤f(1)f(3)>0; ⑥f(1)f(3)<0. 其中正确的结论的序号是 ①③⑥ . 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】根据 f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0,确定函数的 极值点及 a、b、c 的大小关系,由此可得结论. 【解答】解:求导函数可得 f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1) (x﹣3) , ∴当 1<x<3 时,f′(x)<0;当 x<1,或 x>3 时,f′(x)>0 ∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,1)和(3,+∞) ,单调递减区间为(1,3) , ∴f(x)极大值=f(1)=1﹣6+9﹣abc=4﹣abc, f(x)极小值=f(3)=27﹣54+27﹣abc=﹣abc 要使 f(x)=0 有三个解 a、b、c,只需 a<1<b<3<c, 及函数有个零点 x=b 在 1~3 之间, 所以 f(1)=4﹣abc>0,且 f(3)=﹣abc<0, 所以 0<abc<4 ∵f(0)=﹣abc,∴f(0)<0, ∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0,f(1)f(3)<0. 故其中正确结论是:①③⑥; 故答案为:①③⑥. 三、解答题(解答写出文字说明、证明或验算步骤) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,Sn=2an+k,等差数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 且 Tn=n2. (1)求 k 和 Sn; (2)若 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Mn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)令 n=1,得 a1=﹣k=2,即 k=﹣2,再由 an=Sn﹣Sn﹣1 即可数列{an}的通项公式, 再根据等比数列的求和公式求和即可, (2)由 bn=Tn﹣Tn﹣1,求出},{bn}的通项公式,根据{Cn}的通项公式可知利用由错位相减 法能够求出数列{Cn}的前 n 项和 Mn. 【解答】解: (1)令 n=1,得 a1=﹣k=2,即 k=﹣2, ∴Sn=2an﹣2, 当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2, ∴an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1, ∴an=2an﹣1, ∴数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以{an}=2n, ∴Sn=2n+1﹣2 (2)∵等差数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn=n2. Tn﹣1=(n﹣1)2. ∴bn=Tn﹣Tn﹣1=2n﹣1,
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∴cn=an?bn=(2n﹣1)2n, ∴数列{cn}的前 n 项和: Mn=1×2+3×22+5×23+…+(2n﹣3)×2n﹣1+(2n﹣1)×2n,① 2Mn=1×22+3×23+5×24…+(2n﹣3)×2n+(2n﹣1)×2n+1,② ①﹣②, 得﹣Mn=2+2×22+2×23+2×24+…+2×2n﹣ (2n﹣1) ×2n+1=2+2× ﹣1)×2n+1 即 Mn=6+(2n﹣3)×2n+1. 18.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间为[40, 50],[50,60],…,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在[40,50]的概率. ﹣ (2m

【考点】频率分布直方图. 【分析】 (1)利用频率分布直方图中的信息,所有矩形的面积和为 1,得到 a; (2)对该部门评分不低于 80 的即为 90 和 100,的求出频率,估计概率; (3)求出评分在[40,60]的受访职工和评分都在[40,50]的人数,随机抽取 2 人,列举法 求出所有可能,利用古典概型公式解答. 【解答】解: (1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,解得 a=0.006; (2)由已知的频率分布直方图可知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022+0.018) ×10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4; (3)受访职工中 评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人) ,记为 A1,A2,A3; 受访职工评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人) ,记为 B1,B2. 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种, 分别是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}, 又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种,即{B1,B2}, 故所求的概率为 P= .

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19.如图所示,△ABC 是边长为 2 的正三角形,EC⊥平面 ABC,DB⊥平面 ABC,且 M 为 AE 的中点,CE=CA=2BD. (1)求证:DM∥平面 ABC; (2)求证:平面 DEA⊥平面 ECA; (3)求点 E 到平面 ACD 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)利用线面垂直的判定定理即可证明 DM∥平面 ABC; 2 ( )根据面面垂直的判定定理即可证明平面 DEA⊥平面 ECA; (3)利用体积法建立方程即可求点 E 到平面 ACD 的距离 【解答】证明: (1)过点 M 在△ABC 中作 MN∥CE,交 AC 于 N,连接 BN, ∵CE⊥平面 ABC,DB⊥平面 ABC ∴CE∥DB 又∵CE=2BD=2,M 为 AE 的中点 ∴NM∥CE,NM= CE ∴NM∥BD,NM=BD, ∴四边形 DMNB 是平行四边形 ∴DM∥BN 又∵BN 平面? ABC,DM?平面 ABC ∴DM∥平面 ABC…. (2)∵CE⊥平面 ABC BN? 平面 ABC∴CE⊥BN 即 BN⊥CE 又∵△ABC 是边长为 2 的等边三角形且 N 为 AC 中点∴BN⊥AC 又∵AC∩CE=C AC,CE? 平面 ACE∴BN⊥平面 ACE 由第(1)问知:BN∥DM ∴DM⊥平面 ACE 又∵DM? 平面 DEA …. ∴平面 DEA⊥平面 AEC (3)∵CE⊥平面 ABC,AC? 平面 AB∴CE⊥AC 又∵CE=AC=2,∴ 由第(1) 、 (2)问知:DM⊥平面 ABC;DM=BN= 又∵DB⊥平面 ABC,AB? 平面 ABC∴DB⊥AB = 即在 Rt△DBC 中,CD=
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∴在△ADC 中,AD=CD= ∴

,AC=2 …

设点 E 到平面 ACD 的距离为 h, 则 即点 E 到平面 ACD 的距离为 ,即 2﹣ =2﹣h,∴h= …..

20.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆 C 的一个焦点 F 在抛物线 y2=4x 的准线上, 且椭圆 C 过点 P(1, ) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过点 F,且与椭圆 C 相交于 A,B 不同两点,M 为椭圆 C 上的另一个焦点, 求△MAB 面积的最大值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)根据条件可得出 F(﹣1,0) ,并设椭圆方程为 (a>b>0) ,从而



,解出 a,b,从而得出椭圆方程为



(2)根据条件设直线 l 的方程为 x=my﹣1,并设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,l 方程联立椭 2 2 圆方程并消去 x 便可得到(3m +4)y ﹣6my﹣9=0,根据韦达定理即可求出 ,而可得出△MAB 面积 s=|y1﹣y2|,带入并变形得到

s=

,根据函数

的单调性即可求出 s 的最大值.

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【解答】解: (1)抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=﹣1,由题意知 F(﹣1,0) ; 设椭圆 C 的方程为 (a>b>0) ;

则由题意得

,解得



故椭圆 C 的方程为



(2)由(1)知 F(﹣1,0) ,M(1,0) ; 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设过点 F 的直线方程为 x=my﹣1,联立椭圆方程消去 x 得: 2 2 (3m +4)y ﹣6my﹣9=0; ∴ , ;



=



∴△MAB 的面积 =|y1﹣y2| =

=

=

= ∵m2+1≥1,而函数 ∴ ∴ ;



在区间[1,+∞)上单调递增; ,m=0 时取“=”;

∴当 m=0 时,△MAB 的面积取得最大值 3.

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21.已知函数 f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1) (1)求函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)单调增区间. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出函数的导数,求出导函数值,得到切线的斜率,切点坐标,然后求解切线 方程. (2)求出 f′(x)>0 的解集,即可得到函数 f(x)的单调增区间. 【解答】解: (1)因为函数 f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1) , x 所以 f′(x)=a lna+2x﹣lna,f′(x)=0, 又因为 f(0)=1,所以函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程为 y=1. x x (2)由(1) ,f′(x)=a lna+2x﹣lna=2x+(a ﹣1)lna. 因为当 a>0,a≠1 时,总有 f′(x)在 R 上是增函数, 又 f′(x)=0,所以不等式 f′(x)>0 的解集为: (0,+∞) , 故函数 f(x)的单调增区间为: (0,+∞) . 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,A、B、C 是圆 O 上三点,AD 是∠BAC 的角平分线,交圆 O 于 D,过 B 作圆 O 的 切线交 AD 的 延长线于 E. (Ⅰ)求证:∠EBD=∠CBD; (Ⅱ)求证:AB?DE=CD?BE.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (I)根据弦切角定理,证出∠EBD=∠BAD.由 AD 是∠BAC 的角平分线证出弧 BD=弧 CD,从而可得∠BAD=∠CBD,即可得到∠EBD=∠CBD; (II) 根据∠BEA=∠DEB 且∠EBD=∠EAD, 证出△ABE∽△BDE, 可得 AB?DE=BD?BE. 再 根据(I)的结论得到 BD=CD,代入前面的等式即可 AB?DE=CD?BE. 【解答】证明: (I)∵BE 切圆 O 于点 B,∴∠EBD=∠BAD. 又∵AD 是∠BAC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD,可得弧 BD=弧 CD, ∴∠CBD 对弧 BD,∠BAD 对弧 CD,∴∠BAD=∠CBD, 因此,可得∠EBD=∠CBD; (II)∵∠BEA=∠DEB,∠EBD=∠EAD, ∴△ABE∽△BDE,可得 ,即 AB?DE=BD?BE.

∵由(I)的证明得弧 BD=弧 CD,可得 BD=CD, ∴AB?DE=CD?BE.
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[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin (θ﹣ =2 ) , 圆 C 的参数方程为 (θ

为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标; (2)若 P 为圆 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (I)利用 把极坐标方程化为直角坐标方程,联立直角坐标方程解出即

可得出. (II)方法一:设 P(2cosθ,2+2sinθ) ,利用点到直线的距离公式可得 d= = , 再利用三角函数的单调性与值域即

可得出. 方法 2:求出圆心 C(0,2)到直线 l 的距离 d,即可得出圆上的点到直线的距离的最大值 为 d+r. 【解答】解: (Ⅰ)由直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ﹣ 展开可得: (ρsinθ﹣ρcosθ)=2 ,化为:y﹣x=4. (θ 为参数) ,化为 x2+(y﹣2)2=4. )=2 ,

圆 C 的参数方程为

联立方程组

,解得

,或



对应的极坐标分别为(2



) , (4,

) .

(Ⅱ)方法一:设 P(2cosθ,2+2sinθ) , 则 d= 当 cos(θ+ = )=1 时,d 取得最大值 2+ , = ,圆的半径为 2, ,

方法 2:圆心 C(0,2)到直线 l 的距离 d= 所以到直线 l 的距离 d 的最大值为 2+ .

[选修 4-5:不等式选讲] 24. (选修 4﹣5:不等式选讲) 已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设 a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x) ,求 a 的取值范围.

【考点】绝对值不等式的解法;函数单调性的性质.
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【分析】 (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设 y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,画出函数 y 的图象,数形结合可得结论. (Ⅱ)不等式化即 1+a≤x+3,故 x≥a﹣2 对 都成立.故﹣ ≥a﹣2,由此

解得 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.

设 y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则 y=

,它的图象如图所示:

结合图象可得,y<0 的解集为(0,2) ,故原不等式的解集为(0,2) . (Ⅱ)设 a>﹣1,且当 ﹣2 对 都成立. 时,f(x)=1+a,不等式化为 1+a≤x+3,故 x≥a

故﹣ ≥a﹣2,解得 a≤ ,故 a 的取值范围为(﹣1, ].

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2016 年 8 月 1 日

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