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概率模拟试卷6

概率与数理统计 (6)

一、 填空题(每空 2 分,共 24 分)

P( A) = 0.3 , P( B) = 0.4 , 若 A, B 相互独立, 则 P( A ∪ B) = 1. 设随机事件 A, B ,
2. 设随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布,且 P { X = 1} = P { X = 2} ,则 E ( X ) = 3. 已知 E ( X ) = ?1 , D ( X ) = 3 ,则 E (3 X ? 1) = __________;
2

; 若 A, B 互不相容, 则 P( A | B) = ; D( X ) = ;



4. 设 F ( x) 为连续型随机变量 X 的分布函数,且 F (2) = 0.6 , F (1) = 0.4 ,则 P (1 ≤ X ≤ 2) = 5. 已知随机变量 X ~ N (0,1) ,则 Y = 2 X + 1 服从的分布为 ; ; 6. 设 X , Y 为随机变量,且 D ( X + Y ) = 7 , D ( X ) = 4 , D (Y ) = 1 ,则 Cov( X , Y ) =



? 1 ,μ ? 2 是总体参数 μ 的两个无偏估计量, ?1 = 7. 设总体是 X ? N ( μ , 2) ,X 1 , X 2 , X 3 是总体的简单随机样本,μ 且μ

1 1 x1 + x2 + α x3 , 2 4

? 2 = x1 + μ
8. 设 X 1 , X 2 , 9. 设 X 1 , X 2 ,

1 3

1 1 x 2 + x 3 ,则 α = 3 3

,其中较有效的估计量是_________
2
n 2

; ;

? X ?μ ? , X n 是来自正态总体 N ( μ , σ ) 的一个样本,则 ∑ ? i 服从的分布为 σ ? ? i =1 ? X n 是取自正态总体 X ~ N ( μ , σ 2 ) 的一个样本,则 μ 的矩估计量为 .

二、 计算题(每小题 10 分,共 40 分)
1. 三个箱子中,第一个有 4 个黑球和 3 个白球,第二个箱子中有 3 个黑球和 3 个白球,第三个箱子中有 3 个黑球和 5 个白球,从这 三个箱子中随机取一箱,再从该箱子中取任意抽取 1 球.求(1)抽到的球是白球的概率(2)若已知抽到的是白球,求该球恰好 是来自第三箱的概率. Y 2.设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律为(见右表) ,已知 E (Y ) = 1 , 0 1 2 X 试求: (1)常数 α , λ ; (2) E ( X ) .

? 2x π? ? 2 , 0< x <π ? 3. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) = ? π ,求(1) P ?0 ≤ X ≤ ? ; 2? ? ? 其它 ?0, (2) 数学期望 E ( X ) .
? Ae ? ( x + 2 y ) , x > 0, y > 0 4. 二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) = ? , 0, 其它 ? 求: (1)系数 A ; (2) X , Y 的边缘概率密度函数; (3)问 X , Y 是否独立.

0 1

0.1 0.2

0.2 α

0.1 λ

三、 计算题(每小题 10 分,共 30 分) ? β ? , x >1 1. 设总体 X 的密度函数为 f ( x, β ) = ? x β +1 , 其中未知参数 β > 1 ,X 1 , X 2 ,
? ? 0, x ≤1
的矩估计量和最大似然估计量.

, X n 为取自总体 X 的简单随机样本, 求参数 β

2. 设总体 X ~ N
2 2

(μ ,

σ 2 ) ,从中抽取样本容量为 16 的样本,样本标准差 s = 6 ,试在置信水平 1 ? α = 0.95 下,求 σ 2 的置信区间.
2

3. 食品厂用自动装罐机装罐头食品,每罐的标准质量为 500g.现抽得 9 罐,测得其质量(单位:g)的平均值为 x = 498 ,样本方
差 s = 6 .假定罐头的质量 X ~ N ( μ , σ ) ,在显著性水平 α = 0.02 下,能否认为这批罐头食品的标准质量为 500g?

四、 证明题(每小题 6 分,共 6 分)
设事件 A, B 相互独立,且 0 < P ( A)、P ( B ) < 1 证明: P ( A | B ) + P ( A | B ) = 1 .(6 分)

本卷可能用到的数据:

2 2 t0.01 (8) = 2.8965 χ 0.025 (15) = 27.488 , χ 0.975 (15) = 6.262 , t0.025 (16) = 2.1199

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