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利用空间向量证明线面平行


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? 4? 3  

中学 数 学 月 刊 

20 0 6年 第 1 期 

利 用 空 间 向 量 证 明 线 面 平 行 
黄育 红  ( 苏省 南通 西藏 民族 中学 江 2 6 1) 2 0 1 

立体 几何 是 高 考 的重 点 , 年高 考 大题  每
必 有 立几 题 , 是 不 少学 生 学 习立 几感 到有  但 困难. 在 哪里 ? 不 出辅 助 线 , 难 作 推理 不 清. 对  于我校 的藏族 学 生来 说 , 学好 立几更 觉 困难.  
笔 者 尝试 了用 空 间 向量 方法 执 教 , 现学 生  发 在 求线 线 、 面 、 线 面面 的夹 角 和距 离时正 确率 

C1 0 0, ) B ( , , )   B1 0, , )   ( , 4 , 0 4O , ( 44 ,

D 要, 0, ( 2) ,  

一 ( 304, 一 一 ,, 商   )

( 2o, 1 o44. 要,,) 一(,,) 商  
设 平 面 C   法 向 量 万一 ( Y, ,   DB 的 z,  ) 由
?

明 显提 高 , 证 明线 面 垂直 、 在 平行 , 面垂 直  面
问题 时 , 更是 易 如反 掌 , 轻 了学 生学 习立几  减
的困难 .  

面 一0得要z y ,  ? 一0 , +2 一0由   ,  

得 4 4 一0令 一1得 Y  + z . , 一一 1z ÷, ,一  
故 万一 ( , 1 1. 要 一 ,)  
设A   C 与面 C   DB 的夹角 为 , s     则 i 0一 n

直 线 与平 面 所 成 角 的 向量 公 式 : 直 线  设 a的方 向向量 和平 面 a的法 向量 分 别 为 1,, ,l , 
直 线 口与平 面 口所 成 的角 为 , 有 s   一  则 i n
,  

丁  

下 一    
一  



 

p      C 与面 与回

∈ [' 0 
C   DB 的夹 角 为 0 又 AC ,   面 C   .AC DB ,.   .

如果 直 线 与 平 面 所 成 角 为 0 且 直 线 不  ,

在 此平 面 内 , 么直线 与 平面 平行. 那  
例 1 ( 0 5年 北 京 高考题 )如 图 1 在  20 ,

∥面C   DB .  
(I) (Ⅲ)略 .  

直 三棱 柱 AB — B1 1 , C A1 C 中 AB一 5 A , C一 3  ,
B 一 4  C ,
C  _BC1  J ;

例 2 (0 4年 浙江 高考题 )如 图 2 已  20 , 知正 方 形 AB D 和矩 形 AC F 所 在 的平 面  C E 互相 垂直 , AB— j 2, - AF= 1 M 是线 段 E   , F 的 中点.  

一 4 点 D 是 A 的 中点 , , B  

(I )求 证 :   ( Ⅱ)求 证 :  

( 求证 A / I) M /平 面 BDE;  
( 求证 A J Ⅱ) M _平 面 BDF;   ( 求 二 面角 A DF B的 大小 . Ⅲ) — —  
解  (I)以 C 

A   / 平 面  C /
CD B1  ;

( Ⅲ) 求 异  

面 直 线 A  与  C

为 原 点 , 分 别 以 
图 1  

B c所 成 角的余   
弦值 .  

C , B, E 所 在  D C C

直 线 为 z轴 、 、 Y轴  
轴建 立 空 间 直 角坐  标 系 Cz , 劢   —  则

解  (Ⅱ)由直 三棱柱 AB —      中 , C A BC  
C一3B , C一 4 A 一 5 知 C, C, C 两  ,B , B C 1 两 垂直 .   如 图 1 以 C为 坐标 原点 , , 直线 C C   A, B,

C  C 分别 为 z轴 、 、 建立 空 间直 角坐 标  Y轴  轴
系 C x z  则 —y , C( , , ) A( , ,)  O0 0 ,   30 0 ,

c孚 ,  一 一 图 2   孚  魔=( ’) 一 一 0,     ,  1


( /  , 一  

,) O.  

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20 0 6年第 1 期 
设平面 B DE 的 法 向量  : ( y )  z, , ,

中学数学 月 刊 

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一 0 即 AM 与 面 B , DE 夹 角 为 0 又 A ( 面  , M z =

由 ?   魂 一 0得 一 ,  
由  ? 斑 一 0 得 一  ,

z+  一 0  ,
y一 0 令  .

B DE, AM 力 平面 B 嵌 DE.  
(Ⅱ) (Ⅲ)略 .  

z+ 

z 一 1 得 Y 一 1  一  , ,
)  .

, 故  一 ( , , 1 1 

运 用直 线 与平面 所成 角 的向量 公式证 明 

线面平 行 , 实现 了几何 问题 代数 化 , 即将 复杂  的 几 何 证 明转 化 为代 数运 算 , 而 避 免 了几  从 何 作 图 , 少 了逻辑 推理 , 减 降低 了难 度.  

设 AM 与 面 BDE 夹角 为 , sn 一  则 i  

劢 .    I     I
. 

I   2 一 盟2 十  ̄ z 。 一 +  , I  
一 — — 一 — —



 

— — — ■ 

—一

 

用线性 规 划 方 法创新 解题 几例 
苗建 成  ( 肃省 高 台县第一 中学 甘 简 单 的 线性 规 划知 识 是 试 验 教 材 新 增  7 40 ) 3 3 0 
6  

建立 以 口  

/ 

内容, 不仅 为 传统 的高 中数 学 注入 了新 鲜 的 
血 液 , 给 学 生 提 供 了数 学 建 模 、 用 数 学 ” 还 “   的 意识 和 实践 机会 . 在重 点 理解 基 本 概 念 的 

为 横 轴, b为 纵  \   轴 的 直 角 坐 标 
系 ,作 出 可 行 
域, 图 1 示, 如 所  
’  

l  

基 础 上 , 图解 法解 决 平 面 区域 、 数 点 、 用 整 最 

值 和最优 化决 策的 实际 问题 是 常见 的重 要题 
型, 这充 分体 现 了数 学 的工 具 性 、 用 性. 应 若  用 线 性规 划 相关 知 识解 决 其 它 一些 问题 , 不 

设 可 行 域 内 动 
点 M ( , ) 则  a6,

7 Q 、     、 、    口
\ 

\I 口 2 ++6 2ah O ++=  

:l  

仅渗 透了 化归 、 数形 结合 的数 学思想 , 可产  还
生解 法灵 活 的创 新解 法.   1 二次 方程 ( 函数 )问题    或 例 1 实 系数 方程 z + 口     z+ 2 b一 0的 


} 表 动  示点
b- 2  


图 1  

M 和 定 点 C( , )连 线 的 斜 率 ,即 后 一  12  
由图 知 :髓 < 后 < kC 所 以  <  后   A 1



个 根 大 于 0 小 于 1 另 一 个 根 大 于 1且 小  且 ,

等 <, A 1选 . 故  
2 三 角 形 问 题    .   例 2 已知 △ AB 的 边 长 口, , 满 足 b   C bC  

于 2 则  ,

的取值 范 围是 (  

) .  

( (1, ) A) _ 1 

( ( ,) B) ÷ 1 

+ c 2, ≤ a c+ 口≤ 2 , b 求  的取值 范 围.  
分析  依 据题 意得 
< b   < C  
< 口   2   a, 2   b,

(( { c一 ) ) , 

((号丢 D一 ,) )  

分析  利 用二 次方程 根 的分布 , 此题  将
转化 为线性 规划 问题 可巧 妙解 之.  
解   设  ( ) z + 口 z 一   z+ 2 , 题 意 得  b由

> 0  ,

> O  

fo>o f ,  ) , 6   (   >o
( )< 0, 1  

1+ 口 + 2 b< 0   ,

不 令 一 , 詈则 述 等 组 转 妨 z 鲁. , 不 式 可  ) 上 , 一
化 为在 约束条 件 

【 2  ( )> 0  

【 2+ 口+ b> 0  .


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