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反函数-黄孝平_图文

反函数
洪湖二中高一(5)班

第一课时
一、复习旧知: 1。函数的概念(近代定义): 如果A、B都是非空的数集,那么A到B的映射 f : A ? B 就叫做A到B的函数,记作 其中 y=f(x)

x ? A, y ? B

,原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义 域, )叫做函数y=f(x)的值域。

象的集合C(

C?B 2、设 f : A ? B

是集合A到集合B的映射,如果在 这个映射下,如果B中每一个元素都有且只有唯一的原 象在A中,那么这个映射叫做A到B上的一一映射。

如:
A 1 2 3

f:乘以2再减去1 B 1 3 5 7

4

映射 f : A ? B 是A到B上的一一映射 二、新课引入 1、物体作匀速直线运动(P67) 2、从事物的反面考虑问题

三、反函数定义:
一般地,函数y=f(x)(x?A)中,设它的值域为C,我们根据 这个函数中x,y的关系,用y把x表示出,得到x=φ(y),如果 对于 y在 C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一 的值和它对应,那么,x=φ(y)就表示y是自变量,x是自变 ? 量y的函数,这样的函数x=φ(y)(y C)叫做函数 y=f(x)(x ? A)的反函数。 记作:x=f--1(y) 在函数x=f--1(y)中,y是自变量,x表示函数。 字母x、y互换,得 y=f--1(x)

四、对反函数定义的理解
1、不是每一个函数都有反函数;一个函数有反函 数的充要条件是它相应的映射是一一映射; 2、原函数与反函数的法则互逆;它们互为反 函数; 3、反函数也是函数,因为它是符合函数定义的; 4、原函数与反函数的定义域与值域互换。 即:
函数y=f(x) 反函数y=f

-1

(x)

定义域 值域

A C

C A

五、
例.1(P67例1)
例2.求函数
5x ? 8 y? 的值域 3x ? 2

分析:灵活运用互为反函数的两个函数 定义域和值域之间的关系.

5x ? 8 y? 解:∵ 3x ? 2 2y ? 8 ∴ x? 3y ? 5 5 ?y ? 3

∴函数的值域为

5 {y|y≠ } 3

六、求反函数的步骤:
1、由y=f(x)反解得x=f-1(y)
2、把x、y互换得y=f-1(x) 3、写出反函数的 定义域(或通过原函数的 值域来求)

反函数
第二课时

互为反函数的函数图象间的关系

例1、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数,并画出原函数和它 的反函数的图象。
y?2 解:从y=3x-2,解得 x ? 。因此,函数y=3x-2 3 x?2 的反函数是 y ? , ( x ? R) x?2 3 , ?x ? R ? 函数y=3x-2(x∈R)和它的反函数 y ? 的图 3 y ? 3x ? 2 y?x 象如图 y ? ( a, b)
(b, a )

? ?
0

?

y?

x?2 3
x

?

例2、求函数y=x3(x∈R)的反函数,并画出原来的函数 和它的反函数的图象。 解:从y=x3,解得

x ? 3 y ,所以函数y=x3(x∈R)的


反函数是 y ? 3 x ?x ? R?
如图。

函数y=x3(x∈R)和它的反函数

y ? 3 x ?x ? R? 的图象
y?x

性质: 1.函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x) 的图象关于直线y=x对称。
当已知函数y=f(x)的图象时,利用这一性质,作出它关
于直线y=x对称的图象,就是反函数y=f—1(x)的图象。

2、互为反函数的两个函数的单调性相同。 3.点P(a,b)关于直线y=x对称点是P1(b,a)
?1

? f ?a ? ? b ? f

?b? ? a

4、在定义域上单调递增(减)的函数一定有反函数。 奇函数若有反函数,则它的反函数也是奇函数;偶函 数没有反函数。

例.若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称, 且f(x)=(x-1)2(x≤1),求g(x2) 解:∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称
∴ g(x)是f(x)的反函数,

∴ g(x)=f-1(x)=?

x ? 1( x ? 0)
2

? g ?x ? ? ?

x ? 1?x ? R ?
2

小 结

1、反函数的定义 2、求反函数的步骤
3、互为反函数的函数图象间的关系
练习六 1、默写反函数定义 (P67 )
练习七 1、(P68例1)


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