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【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.7柱、锥、台和球的体积课件 新人教B版必修2


1.1.7 柱、锥、台和球的体积

学习目标 1.了解祖暅原理及等体积变换的意义. 了解祖暅原理及等体积变换的意义. 了解祖暅原理及等体积变换的意义 2. 掌握柱 、 锥 、 台 、 球的体积公式并会求它们 . 掌握柱、 的体积. 的体积.

课前自主学案

1.1.7 1.

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基
3 1.棱长为a的正方体体积 =_____. .棱长为 的正方体体积 的正方体体积V= a 2. 长方体的长 、 宽 、 高分别为 、 b、 c, 其 高分别为a、 、 , . 长方体的长、 体积为V= abc 体积为 =_________. 3. 底面半径为 , 高为 的圆柱的体积为 = 的圆柱的体积为V= . 底面半径为r, 高为h的圆柱的体积为 πr2h ____________.

知新益能 1.长方体的体积公式 . abc V长方体=________=_________. = Sh 其中a、 、 分别是长方体的长 宽和高, 、 分 分别是长方体的长、 其中 、b、c分别是长方体的长、宽和高,S、h分 别是长方体的底面面积和高. 别是长方体的底面面积和高. 2.祖暅原理 . 幂势既同,则积不容异. 幂势既同,则积不容异. 这就是说,夹在______________的两个几何体 的两个几何体, 这就是说,夹在 两个平行平面间的两个几何体, 平行于这两个平面 的任意平面所截 的任意平面所截, 被__________________的任意平面所截,如果截 得的两个截面的面积________, 得的两个截面的面积 总相等 ,那么这两个几何 体的体积________. 体的体积 相等 .

3.祖暅原理的应用 . 等高 ______________、_________的两个柱体或锥体 、 的两个柱体或锥体 等底面积 的体积相等. 的体积相等. 4.柱、锥、台、球的体积 . 其中S表示面积 , 表示高 ′ 表示高, 分别表示上、 其中 表示面积, h表示高 , r′ 和 r分别表示上 、 表示面积 分别表示上 下底面的半径, 表示球的半径 表示球的半径. 下底面的半径,R表示球的半径

名称 棱柱 柱体 圆柱 棱锥 锥体 圆锥 棱台 台体 圆台 球

体积(V) 体积 Sh πr2h 1 Sh 3 1 2 πr h 3 1 h(S+ SS′+S′) + ′ ′ 3 1 πh(r2+rr′+r′2) ′ ′ 3 4 3 πR 3

把锥体用平行于底面的平面截开, 把锥体用平行于底面的平面截开 , 截得的小锥 体的体积与原锥体的体积之比等于截得小锥体 的高度与原锥体的高度之比的立方. 的高度与原锥体的高度之比的立方. 思考感悟

1 由 V 锥体= Sh, , 那么三棱锥的任何一个面都可以 3 作底面吗? 作底面吗?
提示:可以. 提示:可以.

课堂互动讲练

考点突破 柱体的体积 对于不易求出的柱体, 对于不易求出的柱体 , 应当进行适当的变形 割补” 使其成为易求的柱体, 和 “ 割补 ” , 使其成为易求的柱体 , 运用公 式求之. 式求之.

棱 柱 ABC - A′B′C′ 的 侧 面 ′ ′ ′ AA′C′C的面积为 , 且这个侧面到与它相对 的面积为S, ′ ′ 的面积为 的侧棱BB′ 之间的距离为 , 求这个棱柱的体 的侧棱 ′ 之间的距离为a, 积. 分析】 此题若直接求底面ABC的面积及其 【 分析 】 此题若直接求底面 的面积及其 上的高,将是困难的, 上的高,将是困难的,能否考虑采取补充或截割 的办法,以已知面积的侧面为底来解呢?如图, 的办法,以已知面积的侧面为底来解呢?如图, 设法补上一个与原三棱柱全等的三棱柱, 设法补上一个与原三棱柱全等的三棱柱,成为一 个平行六面体,再将面AA′C′C看做底来求. 个平行六面体,再将面 ′ ′ 看做底来求. 看做底来求

例1

如图, 过侧棱BB′ 、 CC′ 分别作侧面 【 解 】 如图 , 过侧棱 ′ ′ AC′、 AB′的平行平面 , DD′是交线 , 再伸展 ′ ′ 的平行平面, ′ 是交线, 两 底 面 , 得 到 平 行 六 面 体 ABDC - A′B′D′C′. ′ ′ ′ ′ 侧面AA′ ′ 的面积为 的面积为S,设此面为底面, ∵侧面 ′C′C的面积为 ,设此面为底面,则 平行六面体BDD′B′-ACC′A′的高为 , 平行六面体 ′ ′ ′ ′的高为a,

∴ V 平 行六面 体= Sa. 1 又 V 棱柱 ABC- A′ B′ C′= V 平行 六面 体, 2 Sa ∴ V 棱柱 ABC- A′ B′ C′= . 2

点评】 当所给几何体的体积不易求出时, 【 点评 】 当所给几何体的体积不易求出时 , 我们可以通过“割补法” 我们可以通过 “ 割补法 ” , 使之变形为我们 熟悉的几何体去解决. 熟悉的几何体去解决.

跟踪训练1 跟踪训练

正三棱柱侧面的一条对角线长

为2且与该侧面内的底边所成角为 °,求 且与该侧面内的底边所成角为45° 且与该侧面内的底边所成角为 此三棱柱体积. 此三棱柱体积.

解:如图为正三棱柱 ABC- A1 B1 C1 ,则有 AB1= 2, - , ∠ B1 AB= 45°, = , ∴ AB= BB1= 2, = , 1 3 3 ∴ S△ ABC= × 2× × 2= . × = 2 2 2 3 6 ∴ V 三 棱柱= × 2= . = 2 2 6 即此三棱柱的体积为 . 2

台体的体积 将台体的体积与上、 将台体的体积与上、下底面积及高建立函 数关系或者根据等量建立方程. 数关系或者根据等量建立方程.

例2 已知正四棱台两底面边长分别为 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和 和

10 cm,侧面积是 求正四棱台的体积. ,侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积. 求正四棱台的体积 【分析】 分析】 借助于正四棱台内直角梯形,求得 借助于正四棱台内直角梯形,

棱台底面积及高,从而求解其体积. 棱台底面积及高,从而求解其体积.

如图所示,正四棱台ABCD-A1B1C1D1 【 解 】 如图所示 , 正四棱台 - 中 , A1B1 = 10 cm, AB= 20 cm.取 A1B1 的中点 , = 取 E1,AB的中点 ,则E1E是侧面 的中点E, 是侧面ABB1A1的高.设 的高. 的中点 是侧面 O1 、 O 分 别 是 上 、 下 底 面 的 中 心 , 则 四 边 形 是直角梯形. EOO1E1是直角梯形.

1 由 S 侧= 4× (10+ 20)·E1 E= 780 得 EE1= 13. × + = 2 1 在直角梯形 EOO1 E1 中 , O1 E1= A1 B1 = 5, , 2 1 OE= AB= 10, = = , 2 2 2 ∴ O1 O= E1 E -( OE- O1 E1) = 12, = - , 1 2 2 3 V 正 四棱台= × 12×(10 + 20 + 10× 20)= 2800(cm ). × × = . 3 3 故正四棱台的体积为 2800 cm .

点评】 【 点评 】

在求台体的体积时, 在求台体的体积时 , 关键是根据题设

条件, 分析得出所求问题需要哪些量, 条件 , 分析得出所求问题需要哪些量 , 现在已知 哪些量, 哪些量 , 然后归纳到正棱台的直角梯形中列式求 解,最后代入体积公式求解体积. 最后代入体积公式求解体积. 跟踪训练2 跟踪训练 棱台的上底面积为16, 棱台的上底面积为 ,下底面积为

64,求棱台被它的中截面分成的上、下两部分体 ,求棱台被它的中截面分成的上、 积之比. 积之比.

解:如图,将棱台还原成棱锥, AA1, BB1 , CC1 分 如图,将棱台还原成棱锥, 别是轴截面与小锥、中锥、大锥底面的交线, 别是轴截面与小锥 、中锥、大锥底面的交线, 则 AA1∶ CC1= 16∶ 64= 1∶ 2. ∶ = ∶ 为棱台轴截面的中位线, ∵ BB1 为棱台轴截面的中位线,

∴ AA1∶ BB1 ∶ CC1 3 = 1∶ ∶ 2= 2∶ 3∶ 4. ∶ = ∶ ∶ 2 3 3 3 ∴ V 小∶ V 中∶V 大= 2 ∶ 3 ∶ 4 = 8∶ 27∶ 64, ∶ ∶ , ∴ (V 中- V 小 )∶ (V 大- V 中 )=(27- 8)∶ (64- 27) ∶ = - ∶ - = 19∶ 37, ∶ , 即上、 即上、下两部分体积之比为 19∶ 37. ∶

球的体积 关键是找出球的半径或者半径与其它量之间 的关系. 的关系.

球的两个平行截面的面积分别是5π, , 例3 球的两个平行截面的面积分别是 , 8π, 两截面间距离为1,求球的体积. 两截面间距离为 ,求球的体积. 【分析】 分析】 半径. 半径. 应用轴截面中的直角三角形来求球的

如图, 【解 】 如图,设两个平行截面圆的半径分别为 r1, 2 r2 ,球半径为 R,则由 πr1 = 5π,得 r1= 5. , , 2 , 由 πr 2= 8π,得 r2= 2 2.

(1)如图 , 当两个截面位于球心 O 的 同侧时 , 有 如图 同侧时, 2 2 2 2 R - r1- R - r2 = 1, , 2 2 ∴ R - 5= 1+ R - 8.解得 R= 3, = + 解得 = , 4 3 ∴ V 球= π× 3 = 36π. × 3 (2)当两个截面位于球心 O 的异侧时, 当两个截面位于球心 的异侧时, 2 2 2 2 有 R - r1+ R - r2 = 1,此方程无解. ,此方程无解. 综合(1)(2)知球的体积为 36π. 综合 知球的体积为

点评】 【点评】

球既是中心对称又是轴对称的几

何体,它的任何截面均为圆,过球心的截面 何体, 它的任何截面均为圆, 都是轴截面, 都是轴截面,因此球的问题常转化为圆的有 关问题解决. 关问题解决.

不规则几何体的体积 不规则的无体积公式的几何体通过割补 变换, 变换,转化为能直接用体积公式计算的 几何体. 几何体.

E、F分别为 、AC的中点,平面 1C1F将 、 分别为 分别为AB、 的中点 平面EB 的中点, 将 三棱柱分成体积为V 的两部分, 三棱柱分成体积为 1、V2(V1>V2)的两部分, 的两部分 求V1∶V2.

如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,若 - 例4 如图所示,三棱柱

【分析】 V1 对应的几何体 AEF- A1 B1 C1 是一个 分析 】 - 棱台,一个底面的面积与棱柱的底面积相等, 棱台 ,一个底面的面积与棱柱的底面积相等, 另 1 V 一个底面的面积等于棱柱底面积的 ; 2 对应的是 4 一个不规则几何体, 无法直接表示, 一个不规则几何体,显然 V2 无法直接表示,可以 来表示. 考虑间接的办法, 考虑间接的办法, 用三棱柱的体积减去 V1 来表示.

【解】 设三棱柱的高为 h,底面的面积为 S,体积 , , 为 V,则 V= V1+ V2= Sh. , = 因为 E、 F 分别为 AB、 AC 的中点, 、 、 的中点, 1 所以 S△ AEF= S, , 4 S 1 1 7 V1 = h(S+ S+ S· )= Sh, + + = , 4 12 3 4 5 V2 = Sh- V1= Sh, - , 12 故 V1∶ V2= 7∶ 5. ∶

点评】 【 点评 】 不规则几何体的体积可通过对几何 体分割, 使每部分都能够易求得其体积, 体分割 , 使每部分都能够易求得其体积 , 或者 使所求体积等于整体几何体体积减去部分几何 体体积. 体体积. 跟踪训练3 如图所示 , 已知等腰梯形 如图所示,已知等腰梯形ABCD的 跟踪训练 的 上 底 AD = 2 cm , 下 底 BC = 10 cm , 底 角 所在直线旋转一周, ∠ABC=60°,现绕腰 所在直线旋转一周, = ° 现绕腰AB所在直线旋转一周 求所得的旋转体的体积. 求所得的旋转体的体积.

解:过 D 作 DE⊥ AB 于 E,过 C 作 CF⊥ AB 于 ⊥ , ⊥ F,所以 Rt△ BCF 绕 AB 所在直线 , △ 为底面半径, 旋转一周形成以 CF 为底面半径, BC 为母线长 的圆锥; 的圆锥;直角梯形 CFED 绕 AB 所在直线旋转一 周形成圆台; △ ADE 绕 AB 所在直线旋转一周 Rt△ 周形成圆台 ; 形成一个圆锥 圆锥, 形成一个圆锥,那么梯形 ABCD 绕 AB

所在直线旋转一周所得的几何体是以 CF 为底面 半径的圆锥和圆台, 为顶点, 半径的圆锥和圆台,挖去以 A 为顶点,以 DE 为 底面半径的圆锥的组合体. 底面半径的圆锥的组合体. 因为 AD= 2, BC= 10,∠ ABC= 60°. = , = , = 所以 BF= 5, ED= 3, AE= 1, FC= 5 3, EF = , = , = , = , = 4, AB= 8. , = 所以旋转后所得几何体的体积为 1 1 1 2 2 2 V= π·FC ·BF+ π·EF·(DE + FC + DE·FC)- = + - 3 3 3 2 3 π·DE ·AE= 248π(cm ), = , 3 即所得旋转体的体积为 即所得旋转体的体积为 248π cm .

方法感悟 1.祖暅原理是推导柱 、 锥 、 台和球体积公式的基 . 祖暅原理是推导柱、 础和纽带.原理中含有三个条件: 础和纽带.原理中含有三个条件:条件一是两个几 何体夹在两个平行平面之间; 何体夹在两个平行平面之间;条件二是用平行于两 个平行平面的任何一平面可截得两个截面; 个平行平面的任何一平面可截得两个截面;条件三 是两个截面的面积总相等.这三个条件缺一不可, 是两个截面的面积总相等.这三个条件缺一不可, 否则结论不成立. 否则结论不成立. 2.多面体与旋转体的体积公式只要求我们了解 , . 多面体与旋转体的体积公式只要求我们了解, 但结论“等底面积、等高的两个棱锥的体积相等” 但结论“等底面积、等高的两个棱锥的体积相等” 必须记熟且学会对它的熟悉运用,柱体、锥体、 必须记熟且学会对它的熟悉运用,柱体、锥体、台 体的体积关系如下: 体的体积关系如下:

3.在推导棱锥的体积公式时,是将三棱柱分成 .在推导棱锥的体积公式时, 三个三棱锥, 三个三棱锥,这三个三棱锥变换它们的底面和顶 可以得到它们两两之间等底面积、等高, 点,可以得到它们两两之间等底面积、等高,因 此它们的体积相等, 此它们的体积相等,都等于三棱柱体积的三分之 在这个过程中, 一.在这个过程中,一是运用了等体积转换的方 二是运用了割补法, 法,二是运用了割补法,这些方法在今后解题时 要灵活运用. 要灵活运用. 4.有的几何体是由若干个简单几何体如柱、锥、 .有的几何体是由若干个简单几何体如柱、 球等组合而成,我们称之为组合体, 台、球等组合而成,我们称之为组合体,求解组 合体体积的关键是掌握简单几何体的体积公式, 合体体积的关键是掌握简单几何体的体积公式, 会将组合体分解成若干个简单几何体. 会将组合体分解成若干个简单几何体.


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