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2.1向量的线性运算


2.1.1
教学目标:

向量的概念

了解向量的实际背景, 理解平面向量的概念和向量的几何表示; 掌握向量的模、 零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向 量. 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

教学重点:
理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.

教学难点:
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.



法:
本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概

念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.



具:
多媒体或实物投影仪,尺规

授课类型:
新授课

教学思路: 一、情景设置:
如图,老鼠由 A 向西北逃窜,猫在 B 处向东追去,设问:猫能否追 到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、 有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? C A B D

二、新课学习:
(一)位移的概念:我们从物理的位移出发,位移被方向和距离唯一确定,它只表示质点位 置的变化,起、终点间的位置关系,而与质点实际运动的路线无关。 向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量,将向量理解为“一个位移” 。 有些向量不仅有大小和方向, 还有作用点, 而有些向量只有大小和方向, 无特定位置, 后一类被称为自由向量。本章学习的主要是自由向量。 (二)思考 1、数量与向量有何区别?(数量没有方向而向量有方向) 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,这是它们是不是平行向量? 这时各向量的终点之间有什么关系?
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(三)探究学习 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: AB ; ④向量 AB 的长度称为向量的模,记作| AB |.

a A(起点)

B (终点)

3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是 相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同 的有向线段. (3)基线:通过有向线段的直线叫做向量的基线。 4、相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量 5、零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量, 记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别. ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 6、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定 0 与任一向量平行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量a、b、c平行,记 作a∥b∥c. 7、位置向量:给定点和一向量,过定点做与已知向量相等的有向线段,则得到的向量叫做 有向线段的终点相对于点 O 的位置向量。 (四)理解和巩固 判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例 3 下列命题正确的是( )?

A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线? B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

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的四顶点? C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量? D.有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所 以两个相等的非零向量可以在同一直线上, 而此时就构不成四边形, 根本不可能是一个平行 四边形的四个顶点,所以 B 不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同 无关,所以D不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑, 假若a与b不都是非零向量, 即a与b至少有一个是零向量, 而由零向量与任一向量都共线, 可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选 C. 例 4 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量 OA 、 OB 、OC 相等 的向量. 变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11 个) 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?( CB , DO , FE )

课堂练习:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.? ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②单位向量都相等;? ③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0;? ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量
AB 、 AC 在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确. ⑥不正确.如图 AC 与 BC 共线,虽起点不同,但其终点却相同.

三、小结 :
1、描述向量的两个指标:模和方向. 2、平面向量的概念和向量的几何表示; 3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

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2.1.2
教学目标:

向量的加法

知识与技能:掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 过程与方法: 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量, 培养数 形结合解决问题的能力; 情感态度与价值观: 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比, 使学生掌握向量加法运 算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;

教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义. 教学思路: 一、设置情景:
复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向 量是与起点无关的自由向量, 即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下, 移到任何 位置 情景设置: 1、 情景设置: A B C (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC A B C (4)船速为 AB ,水速为 BC ,则两速度和: AB ? BC ? AC C C A B

二、探索研究:
1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) A B

如图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与b的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC ,规定: a + 0-= 0 + a

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a a a C a A + a b b b a+b b B b a+b

探究: (1)两相向量的和仍是一个向量; (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |; (3) a 与 b 同向时, a + b 、a 、b 同向, 当 则 且| a + b |=| a |+| b |, a 与 b 反向时, a |>| 当 若|
b |,则 a + b 的方向与 a 相同,且| a + b |=| a |-| b |;若| a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|=| b |-| a |.

O b a b

a

A b a

B

(4) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连加 3.例一、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点,作 OA ? a 4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同? 验证结果相同
AB ? b ,则 OB ? a ? b .

得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 2)向量加法的交换律: a + b = b + a 5.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 证:如图:使 AB ? a , BC ? b , CD ? c 则( a + b ) + c = AC ? CD ? AD , a + ( b + c ) = AB ? BD ? AD ∴( a + b ) + c = a + ( b + c )

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多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

三、小结
1、向量加法的几何意义; 2、交换律和结合律; 3、| a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时取等号.

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
教学目标:
(一)知识与技能:了解相反向量的概念; (二)过程与方法:掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义; (三)情感态度与价值观:通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理 解事物间可以相互转化的辩证思想.

教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点:减法运算时方向的确定. 教学思路: 一、复习:
向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律: D 例:在四边形中, CB ? BA ? BA ? . C

解: CB ? BA ? BA ? CB ? BA ? AD ? CD

A

B

二、提出课题:向量的减法
1. 用“相反向量”定义向量的减法 (1) “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 ?a (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a + b = 0 (3) 向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差. 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 3. 求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a a 作法:在平面内取一点 O, b
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O b a?b B

a

作 OA = a, 则 BA = a ? b

AB = b

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量. 注意:1? AB 表示 a ? b.强调:差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一. B’ a O b 4. 探究: 1)如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向量是 b ? a. B a O b a b O a?b A ?b ? B B a?b O A a?b B A B’ O a?b A B b

?
b a

a+ (?b) b A

B

2)若 a∥b, 如何作出 a ? b

三、例题:
例一、 (P97 例三)已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d. 解:在平面上取一点 O,作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作 BA , DC , 则 BA = a?b,
DC = c?d

A b a c O d

B D

C

D 例二、平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b,
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C

A

B

用 a、b 表示向量 AC 、 DB . 解:由平行四边形法则得:
AC = a + b, DB = AB ? AD

= a?b

变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直?(|a| = |b|) 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互相垂直) 变式三:a+b 与 a?b 可能是相当向量吗?(不可能,∵ 练习:P98 对角线方向不同)

四、小结:向量减法的定义、作图法| 五、备用习题:
1.在△ABC 中, BC =a, CA =b,则 AB 等于( A.a+b? B.-a+(-b)? )? D.b-a?

C.a-b?

2.O 为平行四边形 ABCD 平面上的点,设 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0? C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0

3.如图,在四边形 ABCD 中,根据图示填空:? a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .?

4、如图所示,O 是四边形 ABCD 内任一点,试根据图中给出的向量,确定 a、b、c、d 的方向(用箭头表示) ,使 a+b= AB ,c-d= DC ,并画出 b-c 和 a+d.

第3题

2.1.4 数乘向量(缺) 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算(缺)

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