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数学:2.4《指数函数、对数函数、幂函数》教案(苏教版必修1)

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指数函数、 第二十九课时 指数函数、 对数函 数、幂函数
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例 2、已知 f(x)=

a·2 x + a ? 2 ( x ∈ R), 若 2x +1

学习要求
1、进一步巩固指数、函数,幂函数的 基本概念。 2、能运用指数函数,对数函数,幂函 数的性质解决一些问题。 3、掌握图象的一些变换。 4、能解决一些复合函数的单调性、奇 偶性等问题。 【精典范例 精典范例】 精典范例 1 1 + ); 例 1、已知 f(x)=x3·( x 2 ?1 2 (1)判断函数的奇偶性; (2)证明:f(x)>0. : 【解】 (1)因为 2x-1≠0,即 2x≠1, 所以 x≠0,即函数 f(x)的定义域为{x ∈R|x≠0} . 又 f(x)=x3(
1 1 x3 2x + 1 + )= · x , 2 2 ?1 2x ?1 2

f(x)满足 f(-x)=-f(x). (1)求实数 a 的值; (2)判断函数的单调性。 : 【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R, 又 f(x)满足 f(-x)= -f(x), 所以 f(-0)= -f(0),即 f(0)=0. 2a ? 2 所以 = 0 ,解得 a=1, 2 (2)设 x1<x2,得 0<2x1<2x2,

则 f(x1) -f(x2)=

2 x1 ? 1 2 x 2 ? 1 ? 2 x1 + 1 2 x 2 + 1

2( 2 x 1 ? 2 x 2 ) = x (2 1 + 1)(2 x 2 + 1)

所以 f(x1) -f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 所以 f(x)在定义域 R 上为增函数.

f(-x)=

(? x) 3 2 ? x + 1 x 3 2 x + 1 · = · =f(x), 2 2?x ? 1 2 2 x ? 1

例 3、已知 f(x)=log 2 (x+1),当点(x,y) 在 函 数 y=f(x) 的 图 象 上 运 动 时 , 点 x y ( , )在函数 y=g(x)的图象上运动。 3 2 (1)写出 y=g(x)的解析式; (2)求出使 g(x)>f(x)的 x 的取值范围; (3)在(2)的范围内,求 y=g(x) -f(x)的 最大值。 x y 【解】 (1)令 = s, = t , 解 : 3 2 则 x=2s,y=2t. 因为点 (x,y) 在函数 y=f(x) 的图象上运 动 所以 2t=log2(3s+1), 1 即 t= log2(3s+1) 2 1 所以 g(x)= log2(3s+1) 2 (2)因为 g(x)>f(x)

所以函数 f(x)是偶函数。 (2)当 x>0 时,则 x3>0,2x>1,2x-1>0, 所以 f(x)= x3 2x + 1 · > 0. 2 2x ?1

又 f(x)=f(-x), 当 x<0 时,f(x) =f(-x)>0. 综上述 f(x)>0.

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所以

1 log2(3x+1)>log2(x+1) 2

?3x + 1 > ( x + 1) 2 即? ? 0 < x <1 ?x + 1 > 0
(3)最大值是 log23- 3 2

追踪训练
1、函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最 小值的和为 3,则 a=( ) 1 A. B.2 2 1 C.4 D. 4 答案:B 2、函数 y=2x 与 y=x2 的图象的交点个 ) 数是( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案:D 3、已知函数 y=log a (3-ax)在[0,1]上 是减函数,则 a 的取值范围是( A.(0,1) B.(1,3) D.[3,+∞) C.(0,3 ) 答案:B )

例 4 、 已 知 函 数 f(x) 满 足 f(x2 - 3)=lg x2 . x2 ? 6

(1)求 f(x)的表达式及其定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)当函数 g(x)满足关系 f[g(x)]=lg(x+1) 时,求 g(3)的值. 解:(1)设 x2-3=t,则 x2=t+3 t +3 t +3 所以 f(t)=lg = lg t +3?6 t ?3 x+3 所 f(x)=lg x?3 x+3 解不等式 > 0 ,得 x<-3,或 x>3. x?3 x+3 所以 f(x)-lg ,定义域为(-∞,- x?3 3)∪(3,+∞). ? x+3 x?3 x+3 (2)f(-x)=lg = lg = ? lg x+3 x?3 ? x?3 =-f(x). x+3 (3)因为 f[g(x)]=lg(x+1),f(x)=lg , x?3
g ( x) + 3 所以 lg = lg( x + 1) , g ( x) ? 3

4、y=log2|ax-1|(a≠0)的图象的对称轴为 x=2,则 a 的值为( ) 1 1 A. B.- 2 2 C.2 D.-2 答案:A 5、若函数 f(x)=logax(其中 a>0,且 a≠ 1)在 x∈[2,+∞)上总有|f(x)|>1 成立, 求 a 的取值范围。 1 答案:( ,1)∪(1,2) 2

所以

g ( x) + 3 = x + 1, g ( x) ? 3

(

g ( x) + 3 > 0, x + 1 > 0 ). g ( x) ? 3

3( x + 2) , x 所以 g(3)=5 解得 g(x)=

6、如果点 P0(x0,y0)在函数 y=a x (a>0

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且 a≠1)的图象上, 那么点 P0 关于直线 y=x 的对称点在函数 y=logax 的图象上 吗?为什么? 答案:点 P0 关于直线 y=x 的对称点在 函数 y=logax 的图象上。证明略。


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