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2018版高中数学人教B版选修1-2学案:2-1-1 合情推理 精品

2.1 2.1.1 合情推理与演绎推理 合情推理 [学习目标] 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发现中的作用. [知识链接] 1.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗? 答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围, 其前提和结论之间的联系不是必 然性的,而是或然性的,结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物 的特征,推测正在被研究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不 一定可靠. 2.由合情推理得到的结论可靠吗? 答 一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如, 费马猜想就被数学家欧拉推翻了. [预习导引] 1.归纳推理和类比推理 (1)归纳推理:根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出该类事物的所有对 象都具有这种性质的推理,归纳是从特殊到一般的过程. (2)类比推理:根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事 物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比),类 比推理是由特殊到特殊的推理. 2.合情推理 (1)定义 前提为真时,结论可能为真的推理,叫做合情推理.归纳推理和类比推理是数学 中常用的合情推理. (2)合情推理的过程 从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想 要点一 归纳推理的应用 例1 观察如图所示的“三角数阵” 1 …………第 1 行 2 2 …………第 2 行 3 4 3 …………第 3 行 4 7 7 4 …………第 4 行 5 1114115 …………第 5 行 ………… 记第 n(n>1)行的第 2 个数为 an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角数阵”的 特征,完成下列各题: (1)第 6 行的 6 个数依次为________、 ________、 ________、 ________、 ________、 ________; (2)依次写出 a2、a3、a4、a5; (3)归纳出 an+1 与 an 的关系式. 解 由数阵可看出, 除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数 之和,且每一行的首末两数都等于行数. (1)6 16 25 25 16 6 (2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11. (3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4, 由此归纳:an+1=an+n. 规律方法 对于数阵问题的解决方法, 既要清楚每行、 每列数的特征, 又要对上、 下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解. 跟踪演练 1 根据下列条件,写出数列中的前 4 项,并归纳猜想它的通项公式. (1)a1=3,an+1=2an+1; 1 (2)a1=a,an+1= ; 2-an (3)对一切的 n∈N*,an>0,且 2 Sn=an+1. 解 (1)由已知可得 a1=3=22-1, a2=2a1+1=2×3+1=7=23-1, a3=2a2+1=2×7+1=15=24-1, a4=2a3+1=2×15+1=31=25-1. 猜想 an=2n 1-1,n∈N*. + (2)由已知可得 a1=a, 2-a 1 1 1 a2= = ,a3= = , 2-a1 2-a 2-a2 3-2a 3-2a 1 a4= = . 2-a3 4-3a ?n-1?-?n-2?a 猜想 an= (n∈N*). n-?n-1?a (3)∵2 Sn=an+1,∴2 S1=a1+1,即 2 a1=a1+1, ∴a1=1.又 2 S2=a2+1, 2 ∴2 a1+a2=a2+1,∴a2 -2a2-3=0. ∵对一切的 n∈N*,an>0, ∴a2=3. 同理可求得 a3=5,a4=7, 猜想出 an=2n-1(n∈N*). 要点二 类比推理的应用 例2 如图所示,在△ABC 中,射影定理可表示为 a=b· cos C+c· cos B,其中 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边.类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想. 解 如右图所示,在四面体 P-ABC 中,设 S1,S2,S3,S 分别表示△PAB,△ PBC,△PCA,△ABC 的面积,α,β,γ 依次表示面 PAB,面 PBC,面 PCA 与底 面 ABC 所成二面角的大小. 我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为 S=S1· cos α+S2· cos β +S3· cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择适当的类比对 象,可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中的相关结论 可以类比得到空间中的相关结论. (2)平面图形与空间图形类比 平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 跟踪演练 2 空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体 已知 P(x0,y0)是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,过 P 点的切线方程 的斜率可通过如下方式求得: 在 y2=2px 两边同时对 x 求导, 得 2yy′=2p, 则 y′ p p y2 =y, 所以过 P 的切线的斜率 k=y .类比上述方法求出双曲线 x2- 2 =1 在 P( 2, 0 2)处的切线方程为________. 答案 2x-y- 2=0 解析 将双曲线方程化为 y2=2(x2-1), 类比上述方法两边同时对 x 求导得 2yy′ 2x 2x0 =4x,则 y′= y ,即过 P 的切线的斜率 k= y ,由于 P( 2, 2),故切线斜率 0 2 2 k= =2,因此切线方程为 y- 2=2(x- 2),整理得 2x-y- 2=0. 2 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质: (1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由三角 形围成的最简单的封闭图形. (2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线 所围成的图形

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