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2018版高中数学人教B版选修1-2学案:2-1-1 合情推理 精品


2.1 2.1.1 合情推理与演绎推理 合情推理 [学习目标] 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发现中的作用. [知识链接] 1.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗? 答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围, 其前提和结论之间的联系不是必 然性的,而是或然性的,结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物 的特征,推测正在被研究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不 一定可靠. 2.由合情推理得到的结论可靠吗? 答 一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如, 费马猜想就被数学家欧拉推翻了. [预习导引] 1.归纳推理和类比推理 (1)归纳推理:根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出该类事物的所有对 象都具有这种性质的推理,归纳是从特殊到一般的过程. (2)类比推理:根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事 物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比),类 比推理是由特殊到特殊的推理. 2.合情推理 (1)定义 前提为真时,结论可能为真的推理,叫做合情推理.归纳推理和类比推理是数学 中常用的合情推理. (2)合情推理的过程 从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想 要点一 归纳推理的应用 例1 观察如图所示的“三角数阵” 1 …………第 1 行 2 2 …………第 2 行 3 4 3 …………第 3 行 4 7 7 4 …………第 4 行 5 1114115 …………第 5 行 ………… 记第 n(n>1)行的第 2 个数为 an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角数阵”的 特征,完成下列各题: (1)第 6 行的 6 个数依次为________、 ________、 ________、 ________、 ________、 ________; (2)依次写出 a2、a3、a4、a5; (3)归纳出 an+1 与 an 的关系式. 解 由数阵可看出, 除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数 之和,且每一行的首末两数都等于行数. (1)6 16 25 25 16 6 (2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11. (3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4, 由此归纳:an+1=an+n. 规律方法 对于数阵问题的解决方法, 既要清楚每行、 每列数的特征, 又要对上、 下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解. 跟踪演练 1 根据下列条件,写出数列中的前 4 项,并归纳猜想它的通项公式. (1)a1=3,an+1=2an+1; 1 (2)a1=a,an+1= ; 2-an (3)对一切的 n∈N*,an>0,且 2 Sn=an+1. 解 (1)由已知可得 a1=3=22-1, a2=2a1+1=2×3+1=7=23-1, a3=2a2+1=2×7+1=15=24-1, a4=2a3+1=2×15+1=31=25-1. 猜想 an=2n 1-1,n∈N*. + (2)由已知可得 a1=a, 2-a 1 1 1 a2= = ,a3= = , 2-a1 2-a 2-a2 3-2a 3-2a 1 a4= = . 2-a3 4-3a ?n-1?-?n-2?a 猜想 an= (n∈N*). n-?n-1?a (3)∵2 Sn=an+1,∴2 S1=a1+1,即 2 a1=a1+1, ∴a1=1.又 2 S2=a2+1, 2

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