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高考数学答题模板:第3讲 空间中的平行与垂直问题


第3讲 空间中的平行与垂直问题 例 4 如图,在三棱锥 PABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA =6,BC=8,DF=5. (1) 求证:直线 PA∥平面 DEF; (2) 求证:平面 BDE⊥平面 ABC. 审题破题 (1)根据中位线找线线平行关系,再利用线面平行的判定定理.(2)先利用线面垂直的 判定定理,再利用性质定理. 证明 (1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点, 所以 DE∥PA. 又因为 PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以直线 PA∥平面 DEF. (2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8, 1 1 所以 DE∥PA,DE= PA=3,EF= BC=4. 2 2 又因为 DF=5,故 DE2+EF2= 9 ? 16 = 25 =DF2, 所以∠DEF=90°,即 DE⊥EF. 又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC. 因为 AC∩EF=E,AC?平面 ABC,EF?平面 ABC, 所以 DE⊥平面 ABC. 又 DE?平面 BDE, 所以平面 BDE⊥平面 ABC. 构建答题模板 第一步:将题目条件和图形结合起来; 第二步:根据条件寻找图形中的平行、垂直关系; 第三步:和要证结论相结合,寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系; 第四步:严格按照定理条件书写解题步骤. 对点训练 4 如图所示,三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等,D, E,F 分别为棱 AB,BC,A1C1 的中点. (1) 求证:EF∥平面 A1CD; (2) 求证:平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. 证明:(1) 如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AC∥A1C1,且 AC=A1C1,连接 ED, 在△ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点, 1 所以 DE= AC,且 DE∥AC. 2 又 F 为 A1C1 的中点, 1 1 所以 A1F= A1C1= AC,且 A1F∥AC, 2 2 所以 A1F=DE,且 A1F∥DE, 即四边形 A1DEF 为平行四边形, 所以 EF∥DA1. 又 EF?平面 A1CD,DA1?平面 A1CD, 所以 EF∥平面 A1CD. (2)由于底面 ABC 是正三角形,D 为 AB 的中点, 故 CD⊥AB, 又侧棱 A1A⊥底面 ABC,CD?平面 ABC, 所以 AA1⊥CD, 又 AA1∩AB=A,AA1 ? 平面 A1ABB1,AB ? 平面 A1ABB1, 因此 CD⊥平面 A1ABB1, 而 CD?平面 A1CD, 所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1.

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