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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:3.1.1空间向量及其加减运算]

第三章

3.1

第 1 课时

一、选择题 1.下列命题中,正确的有( )

→ → (1)若 A、B、C、D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 是平行四边形的充要条 件; (2)若 a=b,b=c,则 a=c;
? ?|a|=|b| (3)向量 a、b 相等的充要条件是? ; ?a∥b ?

(4)|a|=|b|是向量 a=b 的必要不充分条件; → → (5)AB=CD的充要条件是 A 与 C 重合,B 与 D 重合. A.1 个 C.3 个 [答案] C → → [解析] (1)正确.∵AB=DC, → → → → ∴|AB|=|DC|且AB∥CD. 又∵A、B、C、D 不共线,∴四边形 ABCD 是平行四边形. → → 反之,在?ABCD 中,AB=DC. (2)正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同. ∵b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同.故 a=c. (3)不正确.由 a∥b,知 a 与 b 方向相同或相反. (4)正确.a=b?|a|=|b|,|a|=|b|?/ a=b. → → → → → → (5)不正确.由AB=CD,知|AB|=|CD|,且AB与CD同向.故选 C. → → → 2.空间任意四个点 A、B、C、D,则DA+CD-CB等于( → A.DB → C.AB [答案] D → → → → → → [解析] 解法 1:DA+CD-CB=(CD+DA)-CB → → → =CA-CB=BA. → B.AC → D.BA ) B.2 个 D.4 个

→ → → → → → 解法 2:DA+CD-CB=DA+(CD-CB) → → → =DA+BD=BA. → → → → 3.已知空间向量AB、BC、CD、AD,则下列结论正确的是( → → → A.AB=BC+CD → → → → C.AD=AB+BC+DC [答案] B [解析] 根据向量加减法运算可得 B 正确. 4.如图所示,平行四边形 ABCD 的对角线交点是 O,则下列等式成立的是( ) )

→ → → → B.AB-DC+BC=AD → → → D.BC=BD-DC

→ → → A.OA+OB=AB → → → C.AO-OB=AB [答案] D → → → → [解析] OA-OB=BA=CD,故选 D.

→ → → B.OA+OB=BA → → → D.OA-OB=CD

→ → 5.在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中,与向量AA′相等的向量(不含AA ′)的个 数是( ) B.2 个 D.4 个

A.1 个 C.3 个 [答案] C [解析] 利用向量相等的定义求解.

→ 6.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算的结果为向量AC1的共 有( )

→ → → → → → ①AB+BC+CC1 ②AA1+B1C1+D1C1 → → → → → → ③AB-C1C+B1C1 ④AA1+DC+B1C1 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

[答案] D → → → [解析] 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质,逐一进行判断:①AB+BC+CC1 → → → =AC+CC1=AC1; → → → → → ②AA1+B1C1+D1C1=AD1+D1C1=AC1; → → → → → → ③AB-C1C+B1C1=AB1+B1C1=AC1; → → → → → → ④AA1+DC+B1C1=AB1+B1C1=AC1; → 所以,所给四个式子的运算结果都是AC1. 二、填空题 → → → → 7.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B=__________. [答案] b-c-a → → → → → → [解析] A1B=CB-CA1=CB-(CA+CC1)=b-(a+c)=b-c-a. → → → → 8.化简(AB-CD)-(AC-BD)=__________. [答案] 0 [解析] 方法 1:(利用相反向量的关系转化为加法运算) → → → → → → → → (AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD → → → → → → → → =AB+DC+CA+BD=AB+BD+DC+CA=0. 方法 2:(利用向量的减法运算法则求解) → → → → (AB-CD)-(AC-BD) → → → → =(AB-AC)+BD-CD → → → → → =CB+BD-CD=CD-CD=0. 三、解答题 9.如图所示的是平行六面体 ABCD—A1B1C1D1,化简下列各式. → → → (1)AB+AD+AA1; → → → (2)DD1-AB+BC. → → → → → → → [解析] (1)AB+AD+AA1=AB+BC+CC1=AC1. → → → → → → → → → (2)DD1-AB+BC=DD1-(AB-AD)=DD1-DB=BD1. 10.在四棱柱 ABCD—A′B′C′D′中,底面 ABCD 为矩形,化简下列各式.

→ → → → → (1)AB+BB′-D′A′+D′D-BC; → → → → (2)AC′-AC+AD-AA′. → → → → → → [解析] (1)原式=AB+AA′+AD-AA′-AD=AB. → → → → (2)原式=CC′+AD-AA′=AD.

一、选择题 → → → 11.已知正方形 ABCD 的边长为 1,设AB=a,BC=b,AC=c,则|a+b+c|等于( A.0 C.2+ 2 [答案] D → [解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,|a+b+c|=2|AC|=2 2. 12.给出下列命题: ①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆; ②若空间向量 a、b 满足|a|=|b|,则 a=b; ③若空间向量 m、n、p 满足 m=n,n=p,则 m=p; ④空间中任意两个单位向量必相等; ⑤零向量没有方向. 其中假命题的个数是( A.1 C.3 [答案] D [解析] ①假命题.将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时,它们的终点将构 成一个球面,而不是一个圆; ②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相 同,但②中向量 a 与 b 的方向不一定相同; ③真命题.向量的相等满足递推规律; ④假命题. 空间中任意两个单位向量模长均为 1, 但方向不一定相同, 所以不一定相等, 故④错; ) B.2 D.4 B.3 D.2 2 )

⑤假命题.零向量的方向是任意的. 13.空间四边形 ABCD 中,若 E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 边上的中点,则 下列各式中成立的是( )

→ → → → A.EB+BF+EH+GH=0 → → → → B.EB+FC+EH+GE=0 → → → → C.EF+FG+EH+GH=0 → → → → D.EF-FB+CG+GH=0 [答案] B → → → → → [解析] EB+FC=EB+BF=EF, → → → EH+GE=GH,

易证四边形 EFGH 为平行四边形, → → 故EF+GH=0,故选 B. → → → → → → 14.如果向量AB,AC,BC满足|AB|=|AC|+|BC|,则( → → → A.AB=AC+BC → → → → C.AC与BC同向 D.AC与CB同向 [答案] D 二、填空题 → 15.已知空间四边形 ABCD,连接 AC、BD,设 M、N 分别是 BC、CD 的中点,则MN用 → → → AB、AC、AD表示的结果为________________________________. 1 → → (AD-AB) 2 )

→ → → B.AB=-AC-BC

[答案]

→ 1→ 1 → → [解析] MN= BD= (AD-AB) 2 2 16.已知平行六面体 ABCD—A′B′C′D′,则下列四式中: → → → ①AB-CB=AC;

→ → → → ②AC′=AB+B′C′+CC′; → → ③AA′=CC′; → → → → → ④AB+BB′+BC+C′C=AC′. 正确的是__________. [答案] ①②③ [ 解析 ] → → → → → → → → → → → AB-CB=AB+BC= AC,①正确;AB+B′C′+CC′=AB+ BC+CC′=

→ → → → → AC′,②正确;③显然正确;∵AB+BB′+BC=AC′,∴④不正确. 三、解答题 → 1 → 17.如图,在空间四边形 ABCD 中,AB 的中点为 E,DC 的中点为 F,证明EF= (AD+ 2 → BC).

[证明] 证法 1:设 AC 的中点为 G,连接 EG,FG. ∵E,F 分别为 AB,CD 的中点, → 1→ → 1→ ∴GF= AD,EG= BC. 2 2

→ → → 1 → → 故EF=EG+GF= (AD+BC). 2 证法 2:∵E、F 分别为 AB、CD 的中点, → → → → ∴EA+EB=0,DF+CF=0, → → → → → → → → ∵EF=EA+AD+DF,EF=EB+BC+CF, → → → → 1 → → ∴2EF=AD+BC,∴EF= (AD+BC). 2 证法 3:∵E、F 分别为 AB、CD 的中点, → 1 → → → 1 → → ∴GE= (GA+GB),GF= (GC+GD), 2 2

→ → → 1 → → → → ∴EF=GF-GE= (GC+GD-GA-GB) 2 1 → → 1 → → → → = [(GC-GB)+(GD-GA)]= (BC+AD). 2 2


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