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函数的最值与导数SK_图文

函数的最值与导数

1、导数与单调性的关系
(1) f ?( x ) ? 0 ? f ( x )为单调递增函数 (2) f ?( x ) ? 0 ? f ( x )为单调递减函数

(3) x0为极值点 ? f ?( x0 ) ? 0

2.极值的判定
(1) (2) (3)
y

f ?( x ) 由正变负,那么 x0是极大值点; f ?( x ) 由负变正,那么 x0是极小值点; f ?( x ) 不变号,那么 x0 不是极值点。
y

y
?

? ?

?

?

?

x0 o x 左正右负极大

o x x0 左负右正极小

x0 o x 左右同号无极值

用导数法求解函数极值的步骤:
(1) 求导函数fˊ(x); (2) 求解方程fˊ(x)=0; (3) 检查fˊ(x)在方程fˊ(x)=0的根的左右

的符号,并根据符号确定极大值与极小值
.

口诀:左负右正为极小,左正右负为极大.

求函数最值
1)在某些问题中,往往关心的是函数在整个 定义域区间上,哪个值最大或最小的问题这就 是我们通常所说的最值问题. 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是 一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小 f(x3) y 值. f( x ) f(b)
1

a x1
g
f(a)

x2
0

g

x4 x3 b x

f(x2)

y y=f(x) o y y=f(x)

y

y=f(x)

a

b x

o a
y y=f(x)

b

x

o

a

b x

o a

b x

归纳结论:
(1)函数f(x)的图像若在开区间(a,b)上是连续不 断的曲线,则函数f(x)在(a,b)上不一定有最大值或 最小值;函数在半开半闭区间上的最值亦是如此

(2)函数f(x)若在闭区间[a,b]上有定义,但有 间断点,则函数f(x)也不一定有最大值或最小值
总结:一般地,如果在区间[a,b]上函数f(x)的图像 是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值。如 何求最值? 只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较,就 可求最大值、最小值

1 3 例1、求函数 y ? x ? 4 x ? 4 在区间 [0, 3] 上的最大 3 值与最小值。 解: y? ? x 2 ? 4 令 y? ? 0,解得 x ? 2或x ? ?2 (舍去) 当x 变化时, y?, y 的变化情况如下表: x 0 (0, 2) (2, 3) 3 2 f ?( x ) - + 0 4 f ( x) 4 ↘ 1 极小值 ? ↗ 3
又由于

f (0) ? 4 , f (3) ? 1

4 函数在区间 [0, 3] 上最大值为 4 ,最小值为 ? 3

3 2 f ( x ) ? ? x ? 3 x ? 9 x ? a, 例2:已知函数

(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[?2, 2] 上的最大值为 20 , 求该区间上的最小值
2 解:(1) f ?( x) ? ?3 x ? 6 x ? 9 令f ?( x ) ? 0 即 ? 3 x 2 ? 6 x ? 9 ? 0

解得:x ? ?1或x ? 3 (3, ??) 所以函数的单调减区间为 (??, ?1),

(2) f ?( x) ? ?3 x 2 ? 6 x ? 9
令 f ?( x ) ? 0 解得 x ? ?1或x ? 3 (舍去)

当 x 变化时,y?, y 的变化情况如下表:

x ? 2 (?2, ?1) f ?( x ) -f ( x) 2 ? a


?1

0 极小值? 5 ? a

( ?1, 2) ?

2

↗ 22 ? a

?5 ? a 所以函数的最大值为 f (2) ? 22 ? a ,最小值为
? 22 ? a ? 20

即a ? ?2

最小值为 ?5 ? 2 ? ?7

求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)

比较,其中最大的一个为最大值,最小的
一个最小值.

练习
1、已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? 3 x ? a, x ? [?2,3] (1)求 f ( x ) 的极值 (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x ) 与 x 轴总有交点

2 ? (1) f ( x ) ? ? 3 x ? 3 令 f ?( x ) ? 0 解得 x ? ?1或x ? 1 解: 当 x变化时,f ?( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

x (?2, ?1) ? 1 ( ?1,1) 1 (1, 3) f ?( x ) 0 + -0 -极大值 极小值 f ( x ) ↘ ?2 ? a ↗ 2 ? a ↘
所以函数的极大值为 2 ? a,极小值为 ?2 ? a

(2) 由(1)可知,函数在区间 [?2, 3] 上的极大值 为 2 ? a ,极小值为 ?2 ? a ,又因 f ( ?2) ? 2 ? a , f (3) ? ?18 ? a

所以函数的最大值为 2 ? a ,最小值为 ?18 ? a 曲线 y ? f ( x ) 与 x 轴总有交点
?2 ? a ? 0 ?? ? ?18 ? a ? 0 即 ? 2 ? a ? 18

注: 求函数最值的一般方法

一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数


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