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高二数学理科选修2-2、2-3综合练习题(含答案)


高二理科选修 2-2、2-3 综合练习题
一、选择题 1.已知|z|=3,且 z+3i 是纯虚数,则 z=( A.-3i 2.函数 y=x cosx 的导数为( (A) y′=2xcosx-x sinx (C) y′=x cosx-2xsinx
2 2 2

9.若 a ?

?

2

0

(1 ? 3x 2 )dx ? 4 ,且 ( x ?
) B.

1 n ) 的展开式中第 3 项的二项式系数是 15 ,则展开式中所 ax

) C.±3i D.4i

有项系数之和为( A. ?

B.3i )

1 64

1 32

C.

1 64

D.

1 128

10.给出以下命题: (B) y′=2xcosx+x sinx (D) y′=xcosx-x sinx )
2 2

⑴若 ⑵

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0;

?

2? 0

sin xdx ? 4 ;

3.若 x 为自然数,且 x<55,则(55-x)(56–x)?(68–x )( 69–x )= (
55 ? x A、 A69 ?x 15 B、 A69 ?x 15 C、 A55 ?x 14 D、 A55 ?x

⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 其中正确命题的个数为( (A)1 二、填空题 (B)2 ) (D)0

?

a 0

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx ;

4.一边长为 6 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒, 为使方盒的容积最大,x 应取( A、1 B、2 C、3 ) . D、4

(C)3

11、已知函数 f(x) = x3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1 在 R 上有极值,则实数 a 的取值范围是 12. 观 察 下 式 1=1 ________ 13.已知 X 的分布列如图,且 ) 14.对于二项式(1-x)
1999
2, 2 2 2



5、工人制造机器零件尺寸在正常情况下,服从正态分布 N (?, ? 2 ) .在一次正常实验中,取 1000 个 零件时,不属于 (? ? 3? , ? ? 3? ) 这个尺寸范围的零件个数可能为( A.3 个 B.6 个 C.7 个 )

2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 ,4+5+6+7+8+9+10=7 ,?? , 则 可 得 出 一 般 性 结 论 :

D.10 个

,则 a 的值为____

6、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( A.假设至少有一个钝角 C.假设没有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角

,有下列四个命题:
1000

①展开式中 T 1000 = -C 1999

x

999



②展开式中非常数项的系数和是 1; ). ③展开式中系数最大的项是第 1000 项和第 1001 项; ④当 x=2000 时,(1-x)
1999

7.4 名学生被中大、华工、华师录取,若每所大学至少要录取 1 名,则共有不同的录取方法( A、72 种 B、36 种 C、24 种 D、12 种

8、随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B?n, p ?,且 E? ? 300, D? ? 200, 则 p 等于( ) A.

除以 2000 的余数是 1. (把你认为正确的命题序号都填上)
'

其中正确命题的序号是__________.

2 3

B.

1 3

C. 1

D. 0

15.设 f ( x) 是定义在 R 上的可导函数,且满足 f ( x) ? xf ( x) ? 0 . 则不等式 f ( x ? 1) ?

x ? 1 f ( x 2 ? 1) 的解集为____________.

三、解答题 16. (12 分)已知 z ? 1 ? i,a,b 为实数. (1)若 ? ? z 2 ? 3z ? 4 ,求 ? ; (2)若

20、 (13 分)某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间定价为每天 180 元时,房间会全部住 满;房间单价增加 10 元,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆每间每天需花费

z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求 a , b 的值. z2 ? z ? 1

20 元的各种维护费用。房间定价多少时,宾馆利润最大?

17、 (12 分) F ( x) ?

?

x

0

(t 2 ? 2t ? 8)dt ( x ? 0) .
21. (14 分)已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示. (I)求 c , d 的值; (II)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f ( x) 的解析式; (III)在(II)的条件下,函数 y ? f ( x) 与 y ?

(1)求 F ( x) 的单调区间; (2)求函数 F ( x) 在 [1 , 3] 上的最值.

18、 (12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 1 ? nan (n ? N* ) . (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ; (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.

1 f ?( x) ? 5x ? m 的图象有三个不同 3

的交点,求 m 的取值范围.

19、 (12 分)某次有奖竞猜活动中,主持人准备了 A、B 两个相互独立的问题, 并且宣布:观众 答对问题 A 可获奖金 a 元,答对问题 B 可获奖金 2 a 元;先答哪个题由观众自由选择;只有第 一个问题答对,才能再答第二个问题,否则终止答题.设某幸运观众答对问题 A、B 的概率分 别为

1 1 、 .你觉得他应先回答哪个问题才能使获得奖金的期望较大?说明理由. 3 4

高二理科选修 2-2、2-3 综合练习题
1-5 BABAA 6-10 BBBCB 11. a>6 或 a<-3 12. n+(n+1)+??+(3n-2)=(2n-1)
2

18、解: (1)依题设可得 a1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? , a2 ? ? , a3 ? , a4 ? ; 2 1? 2 6 2?3 12 3 ? 4 20 4 ? 5

13. 2 14.①④

15.[1.2)

(2)猜想: an ?

1 . n(n ? 1)

16、解: (1) ? ? (1 ? i)2 ? 3(1 ? i) ? 4 ? ?1 ? i ,
∴? ? 2 ;

证明:①当 n ? 1 时,猜想显然成立. ②假设 n ? k (k ? N* ) 时,猜想成立,

(2)由条件,得

(a ? b) ? (a ? 2)i ?1? i , i

即 ak ?

1 . k (k ? 1)

∴ (a ? b) ? (a ? 2)i ? 1 ? i ,

那么,当 n ? k ? 1 时, Sk ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 , 即 Sk ? ak ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 . 又 S k ? 1 ? kak ?

, , ?a ? b ? 1 ? a ? ?1 解得 ? ∴? , ?a ? 2 ? 1 ?b ? 2.

?1 ?x 1 3 17、解:依题意得, F ( x) ? ? (t ? 2t ? 8)dt ? ? t 3 ? t 2 ? 8t ? 0 ? x ? x 2 ? 8x ,定义域是 0 3 ?3 ?
x 2

k , k ?1

(0, ? ?) .
(1) F ?( x) ? x2 ? 2 x ? 8 , 令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ?4 , 令 F ?( x) ? 0 ,得 ?4 ? x ? 2 , 由于定义域是 (0, ? ?) ,

所以

k ? ak ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 , k ?1

从而 ak ?1 ?

1 1 ? . (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)[(k ? 1) ? 1]

即 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 故由①和②,可知猜想成立. 19、解:设该观众先答 A 题所获奖金为 ? 元,先答 B 题所获奖金为? 元, 依题意可得 ? 可能取的值为:0, ∵ P(? ? 0) ? 1 ?

? ?) ,单调递减区间是 (0, 2) . ? 函数的单调增区间是 (2,
(2)令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 2( x ? ?4舍) , 由于 F (1) ? ?

a ,3 a ; ? 的可能取值为:0,2 a ,3 a

20 28 , F (2) ? ? , F (3) ? ?6 , 3 3 28 . 3

1 2 1 1 1 1 1 1 ? ; P(? ? a) ? ? (1 ? ) ? ; P (? ? 3a ) ? ? ? 3 3 3 4 4 3 4 12

∴ E? ? 0 ?

? F ( x) 在 [1, 3] 上的最大值是 F (3) ? ?6 ,最小值是 F (2) ? ?

2 1 1 a ? a ? ? 3a ? ? 3 4 12 2

∵ P(? ? 0) ? 1 ?

1 3 ? 4 4

P (? ? 2a ) ?

1 1 1 ? (1 ? ) ? 4 3 6

P (? ? 3a ) ?

1 1 1 ? ? 4 3 12

解得 a ? 1, b ? ?6 所以 f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3

??????8′

3 1 1 7a ? ∴ E? ? 0 ? ? 2a ? ? 3a ? 4 6 12 12
∵a ? 0 ∴

(III) f ?( x) ? 3x 2 ? 12x ? 9 .可转化为: x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3 ? x 2 ? 4x ? 3 ? 5x ? m 有三个不等 实根,即: g ?x ? ? x 3 ? 7 x 2 ? 8x ? m 与 x 轴有三个交点;???10′

?

?

a 7a ? ,即 E? ? E? ∴该观众应先回答 B 题所获奖金的期望较大. 2 12

g ??x? ? 3x 2 ? 14x ? 8 ? ?3x ? 2??x ? 4?,
2? ? ? ? ?, ? 3? ?

20.解:设每个房间每天的定价为 x 元,那么宾馆利润

x
g ?? x ?
g ?x ?
? 2 ? 68 g? ? ? ? m, ? 3 ? 27

L( x) = (50 ?

x ? 180 )( x ? 20) 10

2 3
0

?2 ? 4? ? , ?3 ?

4

?4, ? ??

+ 增 极大值

减 极小值

0

+ 增

=?

1 2 x ? 70 x ? 1360 ,180 ? x ? 680 . 10
'

令 L ( x) ? ?

1 x ? 70 ? 0, 解得 x ? 350 . 5
'

g ?4? ? ?16 ? m .

????14′

当 x ? (180,350) 时, L ( x) ? 0, 当 x ? (180,680) 时 L ( x) ? 0
'

? 2 ? 68 ? m ? 0且g ?4? ? ?16 ? m ? 0 时,有三个交点, 当且仅当 g ? ? ? ? 3 ? 27
故而, ? 16 ? m ?

因此, x ? 350 时是函数 L( x) 的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的定价为 350 元时,宾馆利润最大 21. 解:函数 f ( x) 的导函数为

68 为所求. 27

????16′

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 3a ? 2b

????2′

(I)由图可知 函数 f ( x) 的图象过点(0,3) ,且 f ' (1) ? 0

?d ? 3 得 ? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0
(II)依题意

?d ? 3 ?? ?c ? 0

??????4′

f ' (2) ? ?3 且 f (2) ? 5

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5


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