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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 阶段训练二 文


阶段训练二
一、 填空题

2i 1.设i是虚数单位,复数z= 1 ? i ,则|z|= 3 2.已知cos α = 5 (0<α <π ),那么sin 2α =
3.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=





4.若复数z=1+i,则z· z +| z |-1=



2 2 5.在△ABC中,已知内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若sin A-sin B= 3 sin Bsin C,

c=2 3 b,则A=



AC =3 AE ,那么 6.在等腰三角形ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2, BC =2 BD,

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AD · BE =



7.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a(sin A-sin B)=csin C-bsin B, 且2a=c,则sin A= .

8.将函数f(x)= 3 sin x-cos x的图象向左平移m(m>0)个单位长度,若所得图象对应的函数 为偶函数,则m的最小值是 .

π 9.已知向量a=(1, 3 ),b=(3,m),若向量a,b的夹角为 6 ,则实数m=



10.若函数f(x)=Asin ω x(A>0,ω >0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)= .

1

(第10题)

??? ??? ? CI CB 11.在△ABC中,已知AB=3,AC=4,BC=5,若I为△ABC的内心,则 · =



π? ? A ? 0,? ? 0, 0 ?? ? ? ? 2 2 ? 的最大值为3,f(x)的图象与y 12.已知函数f(x)=Acos (ω x+φ )+1 ?
轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)+…+f(2 015)= .

4 ??? ? ???? 13.在△ABC中,若sin A= 5 , AB · AC =6,则△ABC的面积为



14.如图,圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆O上,且点C位于第一象限,点B的坐标为

? ? 12 5 ? ? ? 3 , ? ? 2 2 13 13 3 ? ? ,∠AOC=α .若BC=1,则 cos -sin 2 cos 2 - 2 的值为



(第14题)

二、 解答题

? 2 ???? ??? ???? ??? ? AD, AB 3 AE 15.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点, = =a, AC =b.

2

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AD , AE , AF , BE , BF (1)用a,b表示向量 ;
(2)求证:B,E,F三点共线.

(第15题)

?π? ? ? 2 16.已知函数f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ )为奇函数,且f ? 4 ? =0,其中a∈R,θ ∈(0,π ).
(1)求a,θ 的值;

π? ?? ? 2 ?π ? ? ? ? ? ,π ? ?? ? ? 3 ? 的值. ? ,求sin ? (2)若f ? 4 ? =- 5 ,α ∈ ? 2

π? ? ??x ? ? 6 ? (A>0,ω >0)的部分图象如图所示. 17.已知函数f(x)=Asin ?
(1)求函数f(x)的解析式;

? π ? 10 - , 0? ? (2)设α ,β ∈ ? 2 ? ,f(3α +π )= 13 ,

5π ? 6 ? ? 3? ? ? 2 ? = 5 ,求sin(α -β )的值. f?

(第17题)

18.已知△ABC是斜三角形,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且csin A= 3 acos C. (1)求角C的大小;

3

(2)若c= 21 ,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求△ABC的面积.

19.某飞机失联,经卫星侦查,其最后出现在小岛O附近.现派出四艘搜救船A,B,C,D,为方 便联络,船A,B始终在以小岛O为圆心,100 n mile为半径的圆周上,船A,B,C,D构成正方 形编队展开搜索,小岛O在正方形编队外(如图).设小岛O到AB的距离为x,∠OAB=α ,船D到小 岛O的距离为d. (1)请分别求出d关于x,α 的函数关系式d=g(x),d=f(α ),并分别写出定义域; (2)当A,B两艘船之间的距离是多少时,搜救范围最大(即d最大)?

(第19题)

A ? 2 A? ? 2 3sin ,cos ? 2 2?, 20 .在△ABC中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,向量 m= ? A ? ? -2 ? ? cos , 2 ? ,m⊥n. n= ?
(1)求角A的大小;

3 (2)若a=2,cos B= 3 ,求b的长.

【阶段训练答案】 阶段训练二

4

1.

2

2i(1-i) 2i 2i ? 2 【解析】复数z= 1 ? i = (1 ? i)(1-i) = 2 =1+i,则|z|= 2 .

24 2. 25 24 α = 25 .

3 4 【解析】因为cos α = 5 (0<α <π ),所以sin α = 5 ,所以sin 2α =2sin α cos

3. (-2,-1) 【解析】因为a∥b ,所以1×x-2×(-2)=0,解得x=-4,所以a+b =(-2,-1).

4.

2 +1 【解析】(1+i)(1-i)+|1-i|-1=2+ 2 -1= 2 +1.

2 2 2 2 5. 30° 【解析】因为sin A-sin B= 3 sin Bsin C,所以a -b = 3 bc.又c=2 3 b,所以由余

b 2 ? c 2 -a 2 b2 ? 12b2 - 3bc-b2 3 2bc = 2bc 弦定理得cos A= = 2 ,因为0°<A<180°,所以A=30°.

4 6. - 3

? 1 1 ??? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AC ??? ? 【解析】因为 AD = 2 ( AB + AC ), BE = AE - AB = 3 - AB ,

? ? 1 ? 1 ???? 2 ??? ?2 ? 4 ? 1 ???? ??? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? AC - AB ? ? AC - AB ? ?= 2?3 ? =- 3 . 所以 AD · BE = 2 ( AB + AC )· ? 3

3 7. 4

【解析】根据正弦定理将a(sin A-sin B)=csin C-bsin B化简为a(a-b)=c -b ,即

2

2

a 2 ? b 2 -c 2 1 3 2ab = 2 ,所以sin C= 2 ,又2a=c,所以 a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos C=

a c 2a 3 sinA = sinC = sinC ,解得sin A= 4 .

5

2π 8. 3

? π? ? x- ? 【解析】y= 3 sin x-cos x=2sin ? 6 ? ,将其向左平移m(m>0)个单位长度后得到

π? ? ? x ? m- ? 6 ? 的图象,由所得函数为偶函数,则关于y轴对称,所以 y=2sin ? π? π? ? ? ? π? ? π? ? x ? m- ? ? ? x ? m- ? ? m- ? ? m- ? 6 6 6 6 ? =-sin ? ? ? ? ? ? 2sin =2sin ,所以sin xcos +cos xsin ?
? π? ? π? ? π? ? π? ? m- ? ? m- ? ? m- ? ? m- ? 6 6 6 6 ? =0,所以m? ? ? ? ? ? xcos +cos xsin ,所以sin xcos =0,所以cos ?

π π 2π 2π 6 =kπ + 2 ,m=kπ + 3 ,k∈Z,所以m的最小值为 3 .

9.

3

π a ? b 3 ? 3m 2 【解析】因为a·b=3+ 3 m,所以cos 6 = |a|?|b| = 2 9 ? m ,解得m= 3 . 2π

π 10. 0 【解析】由函数图象可得A=2,T=2(6-2)=8= ? ,故ω = 4 ,所以函数解析式为 πx f(x)=2sin 4 ,所以有f(1)= 2 ,f(2)=2,f(3)= 2 ,f(4)=0,f(5)=- 2 ,f(6)=-2,
f(7)=- 2 ,f(8)=0,f(9)= 2 ,…,观察规律可知函数f(x)的值以8为周期,且 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0,由于2 015=251×8+7,故可得 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=0.

1 1 11. 15 【解析】设△ABC的内切圆半径r,由 2 r(3+4+5)= 2 ×3×4,得r=1,所以CI= 10 , C 4 4 C 3 10 3 10 ??? ??? ? 2 2 又由cos C= 5 ,知2cos -1= 5 ,所以cos 2 = 10 ,所以 CI · CB = 10 ×5× 10 =15.

6

1 ? cos(2? x ? 2? ) 2 2 12. 4 030 【解析】因为函数f(x)=Acos (ω x+φ )+1=A· +1 A A π A A = 2 cos(2ω x+2φ )+1+ 2 (A>0,ω >0,0<φ < 2 )的最大值为3,所以 2 +1+ 2 =3,所以A=2. 2π 根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2,可得函数的最小正周期为4,即 2? =4,所以 π ω = 4 .再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),可得 cos2φ +1+1=2,所以cos 2φ =0,

?? ? π? ?π π π ? 0, ? ? x? ? 2 ? +2=2φ = 2 +kπ ,k∈Z.又φ ∈ ? 2 ? ,所以φ = 4 ,故函数的解析式为 f(x)=cos ? 2
πx sin 2 +2,所以f(1)+f(2)+…+f(2 014)+f(2 015)=π ? 2π 3π 2014π sin 2015π ? π 2π sin ? sin ? 2 +sin 2 +sin 2 +…+ 2 ? +2×2 015=503×0-sin 2 -sin 2 ? 2 +

3π sin 2 +4 030=0+4 030=4 030. ? 4 ??? 3 ??? ? ???? , AB ???? 13. 4 【解析】由sin A= 5 · AC =6,知cos A= 5 .因为 AB · AC =6,所以 3 ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AB · AC =| AB |·| AC |cos A=| AB |·| AC |· 5 =6,即| AB |·| AC |=10,所以 1 ???? ??? ? 2 AB S△ABC= | |·| AC |sin A=4.

5 14. 13

? 12 ? ? 5 ? ? 12 5 ? - ? ? ? ??- ? ? , 13 13 ? =1.又 13 13 ? ? 【解析】由点B的坐标为 ,知圆O的半径r= ? ? ?

2

2

5 12 BC=1,所以△OBC是等边三角形,且∠COB=60°.在△OBC中,sin∠AOB= 13 ,cos∠AOB= 13 ,

7

所以 3 cos

? 2 2

? ? 3 3(1 ? cos? ) sin? 3 2 -sin 2 ·cos 2 - 2 = - 2 - 2 =cos(α +30°).又α =60°-

5 ∠AOB,所以原式=cos(60°-∠AOB+30°)=sin∠AOB= 13 . 1 ???? ??? ? AG 15. (1) 如图,延长AD到点G,使 AD = 2 ,
连接BG,CG,得到平行四边形ABGC, 所以 AG =a+b,

????

1 ???? 1 ??? ? AG AD = 2 = 2 (a+b), 2 ???? 1 ??? ? AD AE = 3 = 3 (a+b), ? 1 1 ??? ??? ? AC AF = 2 = 2 b, 1 1 ??? ? ??? ? ??? ? BE = AE - AB = 3 (a+b)-a= 3 (b-2a), 1 1 ??? ? ??? ? ??? ? BF = AF - AB = 2 b-a= 2 (b-2a).

(第15题)

? 2 ??? ??? ? BF (2)由(1)可知 BE = 3 ,
??? ? ??? ? BE , BF 又因为 有公共点B,
所以B,E,F三点共线.

8

16. (1) 因为f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ )是奇函数,而y1=a+2cos x为偶函数,所以

2

2

π y2=cos(2x+θ )为奇函数.又θ ∈(0,π ),所以θ = 2 ,所以f(x)=-sin 2x·(a+2cos2x).由
?π? ? ? f ? 4 ? =0,得-(a+1)=0,解得a=-1. ?? ? 1 1 2 4 ? ? (2) 由(1)得f(x)=- 2 sin 4x.因为f ? 4 ? =- 2 sin α =- 5 ,所以sin α = 5 .因为 π? ?π ? ? 3 π π 4-3 3 ? ,π ? ?? ? ? 3 ? =sin α cos 3 +cos α sin 3 = 10 . ? ,所以cos α =- 5 ,所以sin ? α ∈? 2

3 11π 9 2π 1 17. (1) 由图象可知A=2,且 4 T= 2 -π = 2 π ,所以T=6π = ? ,所以ω = 3 ,
π? ?1 ? x? ? 6? . 所以f(x)=2sin ? 3 π? ? 10 5 ?? ? ? 2 ? =2cos α = 13 ,所以cos α = 13 . (2) 因为f(3α +π )=2sin ? 5π ? ? 6 3 ? 3? ? ? 2 ? =2sin(β +π )=-2sin β = 5 ,所以sin β =- 5 . 又因为f ? ? π ? - , 0? ? 2 ? ?, 因为α ,β ∈
?5? 12 1? ? 2 ? 13 ? =- 13 , 所以sin α =- 1-cos ? =2

? 3? 1- ? - ? 4 2 1-sin ? ? 5? = 5 , cos β = =

2

? 12 ? 4 5 ? 3 ? 33 ?- ? ?- ? 所以sin(α -β )=sin α cosβ -cos α sinβ = ? 13 ? × 5 - 13 × ? 5 ? =- 65 .

9

a c 18. (1) 根据正弦定理 sinA = sinC ,可得csin A=asin C,因为csin A= 3 acos C,所以 sinC asin C= 3 acos C,即sin C= 3 cos C,所以tan C= cosC = 3 . π 因为C∈(0,π ) 所以C= 3 . π (2) 因为sin C+sin(B-A)=5sin 2A,且由(1)知C= 3 ,sin C=sin(A+B),
所以sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A,所以2sin Bcos A=2×5sin Acos A. 因为A,B,C为斜三角形,所以cos A≠0,所以sin B=5sin A, 由正弦定理可知b=5a ①. 由余弦定理c =a +b -2abcos C,
2 2 2

1 得21=a +b -2ab× 2
2 2

②.

1 1 3 5 3 由①②解得a=1,b=5,所以S△ABC= 2 absin C= 2 ×1×5× 2 = 4 .
19. 设x的单位为百海里. (1) 由∠OAB=α ,AB=2OAcos α =2cos α ,AD=AB=2cos α ,

π? ? OA2 ? AD2 -2 ? OA ? AD ? cos ? ? ? ? 2? ? 在△AOD中,OD=f(α )=
? π? ? 0, ? = 1 ? 4cos ? ? 4cos? sin? ,α ∈ ? 2 ? .
2

由小岛O到AB的距离为x,知AB=2 1 -x ,AD=AB,

2

2

? AB ? (x ? AD) 2 ? ? ? 2 2 ? 2 ? = -4 x ? 4 x 1-x ? 5 ,x∈(0,1). OD=g(x)=
(2) 由OD =4cos α +1+4cos α sin α
2 2

2

1 ? cos2? sin2? 2 =4× +1+4× 2
=2(sin 2α +cos 2α )+3

10

? π? π ? 0, ? =2 2 sin(2α + 4 )+3,α ∈ ? 2 ? ,

π ? π 5π ? ?? , ? 2α + 4 ? 4 4 ? ,

π π π π 当2α + 4 = 2 ,即α = 8 时,OD取得最大值,此时AB=2cos 8 =2×
里). 答:当A,B间距离为100 2 ? 2 n mile时,搜救范围最大.

1 ? cos 2

π 4

= 2 ? 2 (百海

20. (1) 已知m⊥n,

A A ? ? ? 2 A? -2 ? ? 2 3sin ,cos ? ? cos , 2 2 2 ? ? ? ? = 3 sin A-(cos A+1)=0, 所以m·n= ·
即 3 sin A-cos A=1,

? π? 1 ? A- ? 6?= 2 . 所以sin ?
因为0<A<π ,

π π 5π 所以- 6 <A- 6 < 6 , π π π 所以A- 6 = 6 ,即A= 3 . π 3 (2) 在△ABC中,由A= 3 ,a=2,cos B= 3 ,
得sin B= 1-cos B =
2

1-

1 6 3= 3 ,

a b 由正弦定理 sinA = sinB ,

11

2?

sinB 得b=a· sinA =
4 2 所以b= 3 .

6 3 4 2 3 2 = 3 ,

12


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