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命制高中数学周练试卷漫谈


命制高中数学周练试卷漫谈
东莞市第一中学 孟胜奇 一、试卷功能分析 不同类别的数学试卷有不同的功能,在命制试卷前,首先要弄清楚本次测试 对试卷提出的功能性要求。 1.高考试卷的功能:①选拔功能;②教育导向功能。 2.统考试卷的功能:①考查功能(终结形成性考查) ;②水平测试功能。 3.月考试卷的功能:①阶段形成性考查功能;②水平测试功能。 4.周测试卷的功能: ①数学训练功能; ②检测与反馈功能; ③水平测试功能。 二、周测试卷的命制 根据周测数学试卷的三个主要功能, 进一步明确本周训练与检测的知识要点 和主要数学方法,明确技能要求、难度分布和题型布局,列出知识清单,在选择 (或编拟)数学试题时,首先根据知识重点,选编解答题(大题) ,再利用客观 题(小题,即选择、填空题)来补充填空;命制一套周测试卷一般要经过准备与 布局、选(编)题与组卷、检查与修订等几个环节。

1.准备与布局。①确定试题(卷)难度:由于周测试卷的主要功能是训
练与检测,对教学效果提供必要的反馈信息,因而试题的难度应在 0.4 至 0.9 之间分布,整卷难度控制在 0.63 至 0.73,即 95 分至 110 分之间.②确定知识点 分布:根据课标与考纲要求,按掌握、理解、了解等不同层次要求,对涉及到的 板块的基本知识与基本技能进行筛选,清理出重点知识点和一般知识点,再布点 编选试题。③确定数学方法与数学思想:数学方法与数学思想也是重要知识点, 对此也要进行必要的梳理,融入试题,进行训练与考查。④确定题型:数学题型 有判断题、证明题、计算题、求解题、探索题(存在性问题、开放性问题) ,根 据所学内容以及题型发展趋势,设置恰当题型。⑤确定补漏知识点:根据作业和 前次周测的反馈信息,对于一些必须掌握和熟练应用而没有达到要求的知识点 (基本知识、基本技能、数学方法、题型) ,设置变式题进一步训练。⑥掌握试 题发展趋势:通过研究广东、山东、海南以及京、津等地近年高考试题及模拟试 题,掌握命题的核心思想和试题的发展趋势。

2.选(编)题与组卷。①筛选:阅读教材、教辅资料、有关测试卷,从
中筛选符合考查目的且有训练价值的题目。②改编:对筛选出的题目,部分可以 直接使用,有的则根据考查知识点、难度等要求适当改编。③组卷:将题目按选 择题、填空题、解答题等不同题型从易到难依次编排,组成一套完整试卷。

3.检查与修订。一般提前 2 至 3 天命好题,利用这段时间进行反思,发现
问题。①检查分值分布:全卷 150 分.将选择题均分控制在 42 分左右,填空题均 分控制在 15 分左右、解答题均分控制在 48 分左右;解答题第一题应是送分题, 第二题难度略有提高,控制在 10 分左右,即使最后一题,也应让多数学生能够 动手答题,均分控制在 4 分左右。②检查知识覆盖:对要考查或训练的知识点、 技能、数学方法进行检查,看是否均已覆盖。③检查文字与符号:通读全卷,对 文字的规范性和表述的准确性等方面仔细斟酌,数学符号是否正确。④修订:依
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据课标、考纲要求和训练目标,对存在问题进行修订,以使整卷达到命题要求。 高一、高二新授课知识点不多,前半学期一般 1 套题可覆盖所学内容,到后 半学期两套题可覆盖所学知识;周测采用知识滚动方式命题,以减少学生遗忘; 高三力争 3 套题覆盖全部知识和主要题型. 三、试题的编制 试题的编制手段有选、改、编、创。由于周测的常态化和命题时间限制,周 测试题一般选用成题, 但根据考查内容的需要,对有些成题进行一定的改编甚至 创作新题都是必要的,下面谈谈编制试题的具体方法与案例: 1.选题:选题来源于各地形成性测试题、终结性测试题、模拟题、高考题, 所选题要符合考查内容、难度要求,尽量避免熟题和艰涩问题;有的题目虽然是 高考题,但缺乏生命力,没有训练价值。

案例 1 2009 年江西省高考题.不足:入口太窄,技巧性过强,没有使用
价值,缺乏生命力.
各项均为正数的数列 {an} ,a1 ? a, a2 ? b , 且对满足 m ? n ? p ? q 的正整数 m, n, p , q 都有

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )
1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5
w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

(1)当 a ?

? an ? ?. ? 2.改编:改编题同样来源于各地段考、终考、模拟、高考试题,也可选自课 本的例题或习题; 改编的方式可以是对条件的添、 减、 变, 也可对背景进行更换, 还可对设问方式以及思路进行转换.
(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有

1

案例 2 2010—2011 学年度第一学期高三统考理科试题的改编
为了调查老年人的身体状况,某老年活动中心对 80 位男性老年人和 100 位女性老 年人在一次慢跑后的心率水平作了记录,记录结果如下列两个表格所示, 表 1:80 位男性老年人的心率水平的频数分布表(单位:次/分钟) 心率水平 频数

[80,90)
10

[90,100)
40

[100,110)
20

[110,120]
10

表 2:100 位女性老年人的心率水平的频数分布表(单位:次/分钟) 心率水平 频数

[80,90)
10

[90,100)
20

[100,110)
50

[110,120]
20

(1)从 100 位女性老人中任抽取两位作进一步的检查,求抽到的两位老人心率水平都

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在 [100,110) 内的概率;

改编为: (1)按分层抽样的办法从 80 位男性老人中抽取 8 位老人,问从心率水平
为 [90,110) 的老人中抽取了几人?接着,在抽取的这几位老人中选两人进行视力检查, 问进行视力检查的两位老人的心率水平均属于 [90,100) 的概率?

3.编创:编创以创为主,改编为辅的制题方式,对原题进行了较大的改动, 考查的知识点和数学方法与思想有了显著变化。

案例 3 人教社选修 1—1 P43 ? B 组第一题的改编.

融合了导数等知识;

知识点由单纯的求轨迹问题变为涉及直线、椭圆、抛物线、导数和分类讨论思想的综合题, 入手容易,整体难度不大. 已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1( 0 ? b ? 4 ) ,抛物线方程为 x 2 ? 4by .过抛物线的焦 6 b

点作 y 轴的垂线,与抛物线在第一象限的交点为 A ,抛物线在点 A 的切线经过椭圆的右焦 点F . (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 P 为椭圆上的动点, 由 P 向 x 轴作垂线段 PQ , 垂足为 Q , 且线段 PQ 上一点 M 满足 | PQ |? ? | MQ | ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线? 解: (1)抛物线的焦点为 (0, b) ,过抛物线的焦点垂线于 y 轴的直线为 y ? b . 由?

? x 2 ? 4by 1 / x ,故 y / | x?2b ? 1 . 得点 A 的坐标为 (2b, b) .由 x 2 ? 4by 易得 y ? 2b ?y ? b

∴抛物线在点 A 的切线方程为 x ? y ? b ? 0 .令 y ? 0 得 x ? b ,∴ F 的坐标为 (b,0) ; 又由椭圆方程知 F 的坐标为 ( 6 ? b ,0) .∴ 6 ? b ? b ,解得 b ? 2 .

∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x 2 ? 8 y . 6 2

( 2 )设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则点 Q 的坐标为 ( x,0) , 且

x2 y2 ? ? 1 ( ? ? 0 ). x0 ? x , y0 ? ?y .将其代入椭圆方程得 2 6

?2

第 3 页 共 9 页

当? ?

3 3 2 2 时, M 的轨迹方程为 x ? y ? 6 ,轨迹是圆;当 ? ? 时,点 M 的轨迹 3 3

方程为

x2 y2 ? ? 1 ,其轨迹为椭圆. 2 6

?2

案例 4 变换条件或添加设问
设 f ( x) ? 6 cos2 x ? 2 3 sin x cos x . (1)将 f ( x) 化为 A cos(?x ? ? ) ? b ( A ? 0 )的形式,并求出 f ( x) 的最小正周期及单 调递增区间; (2)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值; (3)将函数 f ( x) 的图象向右平移

? 个单位,横坐标再伸长到原来的 2 倍,得到函数 3
在x ?

y ? g ( x) 的图象.求函数 F ( x) ?
解: (1) f ( x) ? 2 3 cos( 2 x ?

g ( x) ? 3 2 3x
)?3

?
2

处的切线方程.

?
6

∴ f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ,单调递增区间为 [k? ? (2)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 cos( 2? ? ∵0 ? ? ?

?
6

7 ? ? , k? ? ] . 12 12

) ? ?1 .

7 ? 5? ? ? ,∴ 2? ? ? ? ,即 ? ? . tan ? = 2 ? 3 . 2 6 6 6 6 12 sin x x cos x ? sin x / (3)依题意, g ( x) ? 2 3 sin x ? 3 ,∴ F ( x) ? , F ( x) ? . x x2 ? 4 ? 2 F / ( ) ? ? 2 ,切点为 ( , ) .∴切线方程为即 4x ? ? 2 y ? 4? ? 0 . 2 2 ? ?

?

,∴

?

? 2? ?

?

案例 5 递进增加思维量,考查要害.
求三视图的侧视图的面积.根据学生年龄的增长、理解能力的增强,设置的 几何图形不断演化,但紧紧抓住了三视图的本质.


底为直角三角形 底为正方形


底为正六边形
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底为正三角形

4.创作: 创编题可借鉴已有题型采用类比的方法创作; 也可直接构造新情景, 构思新立意;还可从生产实际中归纳、提炼、构造数学问题;更多的是从日常探 究过程中发现编拟问题.

案例 6

置换问题背景

文科的概率问题主要是古典概型和几何概型, 两种概型的特点都是每个结果 的发生具有等可能性, 只是古典概型的所有可能出现的基本事件只有有限个,而 几何概型每个事件发生的概率只与构成该事件的区域长度 (面积、 体积) 成比例, 所有可能出现的基本事件有无限个.抓住这一本质特征,可变换问题背景,得到 一系列新题.
(1)一元二次方程的根. 海南、宁夏 2007 年文科第 20 题:设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .
2 2

1 , 2, 3 四个数中任取的一个数, b 是从 0, 1 , 2 三个数中任取的一个数, (Ⅰ)若 a 是从 0,
求上述方程有实根的概率. (Ⅱ)若 a 是从区间 [0, 3] 任取的一个数, b 是从区间 [0, 2] 任取的一个数,求上述方程 有实根的概率. (2)置于线性规划背景中

?x ? y ? 5 ? 已知约束条件 ? x ? 0 (★) . ?y ? 0 ?
1 , 2, 3 三个数中任取的一个 (Ⅰ)若 x 是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数, y 是从 0,
数,求点 ( x, y ) 落在区域(★)外的概率; (Ⅱ) 若 x 是从区间 [0,4] 任取的一个数,y 是从区间 [0,3] 任取的一个数, 求点 ( x, y ) 落 在区域(★)内的概率. (3)置于函数背景中 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? a x 2 ? 2bx ? 1 . 3

1 , 2, 3 三个数中任取的一个 (Ⅰ)若 a 是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数, b 是从 0,
数,求函数 f ( x) 有极值的概率; (Ⅱ) 若 a 是从区间 [0,4] 任取的一个数,b 是从区间 [0,3] 任取的一个数, 求函数 f ( x) 在 (??,??) 上单调递增的概率. (4)置于平面向量背景中 已知向量 a ? (2,1) , b ? ( x, y) .
第 5 页 共 9 页

①若 x ?{?1,0,1, 2}, y ?{?1,0,1} ,求向量 a / / b 的概率; ②若 x ?[?1, 2], y ?[?1,1] ,求向量 a, b 的夹角是钝角的概率. (5)置于立体几何背景中

可在空间坐标系中构造一个与长方体内的格点有关的古典概型和与体积有 关的几何概型问题,这里需要设置三个变量,题例从略.

案例 7 已知函数 f ( x) ? ?
取值范围.

x ?1 ?(3 ? a) x ? 4a 在 R 上是增函数, 求实数 a 的 log x x ? 1 ? a n?4

?(2t ? 3)n ? 8t ? 14 创作: 数列 {an } 单调递增数列,且 an ? ? ?logt n n ? 4
n ? N ? ),求参数 t 的取值范围.
【答案:

(0 ? t ?1,

3 ? t ? 2】 2

案例 8

2009——2010 学年度第二学期高二期末统考试题

如图,已知 ?AOB ? 900 , ?AOC ? 450 ,且 OA ? 2, OC ? (1)试用向量 OA , OB 来表示向量 OC ; (2)若向量 OA , OB , k OC 的终点在一条直线上, 求实数 k 的值; O

2 , OB ? 1 .
B A C

1 (3)设 OD ? OA ? tOB ?t ? R ? , t 为何值时, A 、 B 、 C 、 D 四点共圆. 3
解: (1)以直线 OA 为 x 轴, OB 为 y 轴,如图建立直角坐标系. 则 OA ? ? 2,0 ? , OB ? ? 0,1? , OC ? ?1, ?1? . …2 分 Y B O C A X

1 所以 OC ? OA ? OB . 2

………………………4 分

(2)令 OE ? k OC ? ? k , ?k ? ,则

AB ? OB ? OA ? ? ?2,1? , AE ? OE ? OA ? ? k ? 2, ?k ? . ……………6 分
由题意知: AB ∥ AE ,所以 ?2 ? ? ?k ? ? ? k ? 2? ? 0 ,解得 k ? ?2 . ………8 分 (3)设过点 A 、 B 、 C 的圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

第 6 页 共 9 页

?2 D ? F ? 4 ? 0 5 1 2 ? 易得 ? E ? F ? 1 ? 0 所以 D ? ? , E ? ? , F ? ? .………10 分 3 3 3 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?
所以圆的方程为 x ? y ?
2 2

5 1 2 x ? y ? ? 0. ………………………12 分 3 3 3 1 2 2 又 OD ? OA ? tOB ? ( , t ) ? D ( , t ) .因点 D 在过点 A 、 B 、 C 的圆上, 3 3 3
4 5 2 1 2 ?2? 2 故 ? ? ? t 2 ? ? ? t ? ? 0 ,即 3t ? t ? 4 ? 0 .解得 t ? ?1, 或 t ? . 3 3 3 3 3 ?3?
2

所以 t ? ?1, 或 t ?

4 时, A 、 B 、 C 、 D 四点共圆. ……………………14 分 3

附件:高中数学知识清单
1.集合 ①概念;②元素;③互异性;④运算(交并补) ;⑤数形结合; ⑥ A B ? A? A? B, A B ? A? B ? A. 2.简易逻辑 ①四种命题;②充要条件;③逻辑联结词;④全称量词与存在量 词; ⑤真值表; ⑥充要条件判断: 定义; 集合包含关系, 若A? B, 则 A 是 B 的充分条件( B 是 A 的必要条件) ;若 A ? B ,则 A 是 B 的充要条件;⑦等价关系: A ? B ? B ? A . 3.函数 ①函数概念与映射;②定义域、值域;③性质(奇偶性、单调性 与周期性) ;④ f ( x) 是奇函数,在 0 处有意义,则 f (0) ? 0 ;⑤ 奇偶性的等价变形: f (? x) ? f ( x) ? 0 或
f ( ? x) ? ?1( f ( x) ? 0) ; ⑥ f ( x)

图象(中心对称、轴对称问题) ;⑦若 f (a ? x) ? f (b ? x) ,则图象
a?b 对称;若 f (a ? x) ? f (?a ? x) ,则周期为 2 | a | ;⑧指 2 对运算及指对函数(反函数) 、幂函数、正(反)比例函数、二
关于 x ? 次函数、分段函数、简单的复合函数,如 y ? x | x ? a | ;⑨函数零点;⑩ 函数建模.

4.数列

① an 与 Sn 的关系;②递推关系;③等差(比)数列;④等差(比) 数列的性质;等差(比)数列的中项;⑤递增(减)数列;⑥求 和(分组、错位相减) ;⑦叠加与累乘;⑧数列建模. ①任意角、弧度制;②三角函数定义;③诱导公式;④同角关系; ⑤性质(周期、对称轴、对成中心、单调区间、最值) ;⑥图象
第 7 页 共 9 页

5.三角函数

6.解三角形 7.平面向量

与图象变换,五点作图法;⑦恒等变换;⑧三角建模. ①正(余)弦定理;②面积公式;③解三角形;④(平面、立体) 应用中的距离、高度、角度. ①概念(向量、模、单位向量、零向量、平行向量(共线向量) 、 相等向量、相反向量;②向量的几何运算;③数乘与共线向量定 理;④平面向量基本定理;⑤坐标运算;⑥数量积及其运算律、 运 算 性 质 ; ⑦ 几个 重 要 结 论 : 共线 的 充 要 条 件 ( b ? ? a, x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ) ;垂直的充要条件; b 在 a 方向上的投影;

8.不等式

模长公式;夹角公式. ①性质及简单应用;②一元二次不等式;③二元一次不等式组与 线性规划;④一元一次不等式(组) 、最简单的指数不等式、对 数不等式、绝对值不等式的解法;⑤基本不等式;⑥基本不等式 的简单变式:ab ? 参问题.
a 2 ? b2 a ? b a 2 ? b2 , ;⑦线性规划中的含 ? 2 2 2

9.立体几何

①多面体(柱、锥、台) ;②旋转体(柱、锥、台、球) ;③直观 图;④三视图;⑤面积与体积;⑥平行与垂直;⑦正多面体、简 单的点到线以及点到面的距离. ①互斥事件、对立事件、并事件;②概率的性质;③概率的运算 (互斥事件的加法公式、对立事件的计算公式) ;④古典概型; ⑤几何概型.

10.概率

11. 统 计 与 ①简单随机抽样(抽签法、随机数表法) ;系统抽样;分层抽样; 统 ②频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图(总体密度曲 计案例 线) ;③茎叶图;④平均数、中位数、众数;⑤方差、标准差; ⑥变量间的相关关系、两个变量的线性相关;⑦回归分析;⑧独 立性检验. 12.导数 ①导数的几何意义与物理意义; ②基本初等函数的导数及导数的 四则运算;③利用导数求极值、单调区间、最值.

13. 解 析 几 ①直线的方程(倾斜角、斜率、截距) ;②直线的位置关系(平 何 行、垂直) ;③距离(两点间的距离、点到线的距离、平行线间 的距离) ;④圆的方程(标准式、一般式) ;⑤点与圆、直线与圆、 圆与圆的位置关系;⑥切线、切线长、弦心距、弦长;⑦空间坐 标系(点的坐标、空间距离) ;⑧椭圆、双曲线、抛物线的定义、 方程及性质. 14. 算 法 与 ①算法;②程序框图;③顺序结构、条件结构、循环结构(当型 框图 循环与直到型循环) ;④基本算法语句;⑤框图(结构图、流程 图).

第 8 页 共 9 页

15.复数

①复数的概念;②复数相等的条件;③复平面及相关概念;④复 数的四则运算;⑤共轭复数.

16. 极 坐 标 ①伸缩变换;②极坐标系;③极坐标(方程)与直角坐标(方程) 与参数方程 的互化;④直线的参数方程;⑤圆及圆锥曲线的参数方程;⑥参 数方程与普通方程的互化. 17. 推 理 与 ①合情推理;②演绎推理;③直接证明(综合法、分析法) ;④ 证明 反证法.

第 9 页 共 9 页


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