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2017-2018版高中数学第一章常用逻辑用语1命题(二)学案北师大版选修2_1

1 命题(二) 学习目标 1.了解四种命题的概念,会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识 四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题. 知识点一 四种命题的概念 思考 初中已学过命题与逆命题的知识,什么叫作命题的逆命题? 梳理 名称 阐释 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 互为逆命题 __________,那么我们把这样的两个命题叫作互为逆命题.如果把其中 的一个命题叫作原命题,另一个叫作原命题的________. 对于两个命题, 其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的 互为否命题 ________和结论的________,我们把这样的两个命题叫作互为否命题. 如果把其中的一个命题叫作原命题,那么另一个叫作原命题的 __________. 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 互为逆否命题 ____________________,我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如 果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个叫作原命题的__________. 知识点二 四种命题间的相互关系 思考 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系? 梳理 (1)四种命题间的关系 1 (2)四种命题间的真假关系 原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 真 假 否命题 逆否命题 由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系: ①两个命题互为逆否命题,它们有______的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性____关系. 知识点三 逆否证法与反证法 1.逆否证法 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性, 所以在直接证明某一命题为真命题有困难时, 可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题. 2.反证法 (1)反证法的步骤: ①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; ②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; ③由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题的结论成立. (2)反证法导出结果的几种情况: ①导出命题 p 的否定为真,即与原命题的条件矛盾; ②导出 q 为真,即与假设“命题 q 的否定为真”矛盾; ③导出一个恒假命题,即与定义、公理、定理矛盾; ④导出自相矛盾的命题. 3.反证法与逆否证法的联系 (1)依据相同:都是利用原命题与其逆否命题的等价性. (2)起步相同:都是从否定结论出发(入手); (3)思想相同:都是“正难则反”思想的具体体现. 4.反证法与逆否证法的区别 2 (1)目的不同: 反证法否定结论的目的是推出矛盾, 而逆否证法否定结论的目的是推出否定条 件; (2)本质不同: 逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立, 而反证法是把否定的结论作 为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理,直至推出矛盾,从而肯定原命题的结论. 类型一 四种命题的关系及真假判断 命题角度 1 四种命题的写法 例 1 把下列命题写成“若 p,则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题. (1)正数的平方根不等于 0; (2)当 x=2 时,x +x-6=0; (3)对顶角相等. 2 反思与感悟 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论,根据其他三种 命题的定义,确定所写命题的条件和结论. 跟踪训练 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题. (1)实数的平方是非负数; (2)等底等高的两个三角形是全等三角形. 命题角度 2 四种命题的真假判断 例 2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. (1)若 a>b,则 ac >bc ; (2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形. 2 2 3 反思与感悟 若原命题为真命题,则它的逆命题、否命题可能为真命题,也可能为假命题. 原命题与逆否命题互为逆否命题, 否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的 真假性相同. 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数要么是 0,要么是 2,要么是 4. 跟踪训练 2 下列命题中为真命题的是( 2 2 ) ①“若 x +y ≠0,则 x,y 不全为零”的否命题; ②“正三角形都相似”的逆命题; ③“若 m>0,则 x +x-m=0 有实根”的逆否命题; ④“若 x- 2是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题. A.①②③④ C.②③④ 类型二 等价命题的应用 例 3 证明:已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增加的,a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a) +f(-b),则 a+b≥0. B.①③④ D.①④ 2 反思与感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的,可以证明一个命题的逆否命题成立,从而 证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键, 同时注意这种证明方法与 反证法的区别. 跟踪训练 3 证明:若 a -4b -2a+1≠0,则 a≠2b+1. 2 2 类型三 反证法的应用 π π π 2 2 2 例 4 若 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+ ,b=y -2z+ ,c=z -2x+ .求证:a,b, 2 3 6 c 中至少有一个大于 0. 4 反思与感悟 (1)求解此类含有“至少”“至多”等命题,常利用反证法来证明.用反证法证 明命题的一般步骤:①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;②从这个假设出发, 经过推理论证,得出矛盾;③由矛盾得出假设不正确,从而肯定命题的结论正确. (2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下: 原词 等于 (=) 大于 (>) 不大 于 (≤) 小于(<) 是 都是 至多有 一个 至多 有n个 至少 不小于 (≥) 不是 不都是 至少有 两个 有 (n +1) 个 一个也 没有 至少有 一个 否定词语 不等于 (≠) 跟踪训练 4 设 a,b,c∈Z,且 a +b =c ,求证:a,b,c 不可能都是奇数. 2 2 2 1.命题“

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