tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

【解析】江苏省宿迁市沭阳县如东中学2016届高三上学期9月段考数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三(上)9 月段考数学试卷

一、填空题: 1.已知集合 A={1,2,3},B={1,2,5},则 A∩B=__________.

2.设复数 z1=2+2i,z2=2﹣2i,则

=__________.

3.在△ABC 中,若
<

br />=

=

,则△ABC 是__________三角形.

4. (实) 若函数

在区间 (0, 1]上是减函数, 则实数 a 的取值范围是__________.

5.已知函数 f(x)=sin(2ω x﹣ 值为__________.

) (ω >0)在区间(0,

)上单调递增,则 ω 的最大

6.曲线 y=2lnx 在点(e,2)处的切线(e 是自然对数的底)与 y 轴交点坐标为__________.

7.设方程 2lnx=10﹣3x 的解为 x0,则关于 x 的不等式 2x﹣3<x0 的最大整数解为__________.

8.若不等式 x ﹣logmx<0 在(0, )内恒成立,则实数 m 的取值范围为__________.

2

9.已知函数 f(x)=x +2x﹣3,集合 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合 N={(x,y)|f (x)﹣f(y)≥0},则集合 M∩N 的面积是__________.

2

10.设一次函数 f(x)为函数 F(x)的导数,若存在实数 x0∈(1,2) ,使得 f(﹣x0)=﹣f (x0)<0,则不等式 F(2x﹣1)<F(x)的解集为__________.

-1-

11.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足| {P| =x +y

|=|

|=

?

=2,则点集

,|x|+|y|≤1,x,y∈R}所表示的区域的面积是__________.

12.在△ABC 中,已知 AB=5,BC=3,∠B=2∠A,则边 AC 的长为__________.

13.设



为单位向量,非零向量 =x

+y

,x、y∈R.若



的夹角为

,则

的最大值等于__________.

14.已知 f(x)=2mx+m +2,m≠0,m∈R,x∈R.若|x1|+|x2|=1,则 __________.

2

的取值范围是

二、解答题: 15. (14 分)已知向量 =( sin2x+2,cosx) , =(1,2cosx) ,f(x)= .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及对称轴方程; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 若 f(A)=4,b=1,△ABC 的面积为 求 a 的值. ,

16. (14 分)设 f(x)=log2 (1)求 a 的值;

﹣x 为奇函数,a 为常数.

(2)判断并证明函数 f(x)在 x∈(1,+∞)时的单调性; (3)若对于区间上的每一个 x 值,不等式 f(x)>2 +m 恒成立,求实数 m 取值范围.
x

17. (14 分)如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边 AD 为半圆的直径,O 为半圆 的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形 PMN,其底边 MN⊥BC. (1)设∠MOD=30°,求三角形铁皮 PMN 的面积;
-2-

(2)求剪下的铁皮三角形 PMN 面积的最大值.

18. (16 分) 在△ABC 中, a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边, 的面积为 6,D 为△ABC 内任一点,点 D 到三边距离之和为 d. (1)求角 A 的正弦值; (2)求边 b、c; (3)求 d 的取值范围.

,a=3, △ABC

19. (16 分)已知函数 f(x)=ax ﹣x +bx(a,b∈R) ,f′(x)为其导函数,且 x=3 时 f(x) 有极小值﹣9. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 g(x)=2mf′(x)+(6m﹣8)x+6m+1,h(x)=mx,当 m>0 时,对于任意 x,g(x) 和 h(x)的值至少有一个是正数,求实数 m 的取值范围; (3)若不等式 f′(x)>k(xlnx﹣1)﹣6x﹣4(k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k 的最大值.

3

2

20. (16 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) ,a,b 是常数. (1)若 a≠b,求证:函数 f(x)存在极大值和极小值; (2)设(1)中 f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为 x1、x2,令点 A(x1,f(x1) ) , B(x2,f(x2) ) .如果直线 AB 的斜率为﹣ ,求函数 f(x)和 f′(x)的公共递减区间的长 度; (3)若 f(x)≥mxf′(x)对于一切 x∈R 恒成立,求实数 m,a,b 满足的条件.

2

-3-

三、附加题(共 4 小题,每小题 10 分共 40 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 21.求函数 y=sin (2x+
2

)的导数.

22.将水注入锥形容器中,其速度为 4m /min,设锥形容器的高为 8m,顶口直径为 6m,求当 水深为 5m 时,水面上升的速度.

3

23.证明下列命题: (1)若函数 f(x)可导且为周期函数,则 f′(x)也为周期函数; (2)可导的奇函数的导函数是偶函数.

24.已知 f(x)=lnx,g(x)= 于点(1,0)

+mx+n,直线 l 与函数 f(x) ,g(x)的图象都相切

(1)求直线 l 的方程及 g(x)的解析式; (2)若 h(x)=f(x)﹣g′(x) (其中 g′(x)是 g(x)的导函数) ,求函数 h(x)的值 域.

2015-2016 学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三(上)9 月段考数学试卷

一、填空题: 1.已知集合 A={1,2,3},B={1,2,5},则 A∩B={1,2}.

考点:交集及其运算.
-4-

专题:计算题. 分析:利用交集的定义找出 A,B 的所有的公共元素组成的集合即为 A∩B. 解答: 解:∵集合 A={1,2,3},B={1,2,5}, ∴A∩B={1,2} 故答案为:{1,2}. 点评:本题主要考查两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.

2.设复数 z1=2+2i,z2=2﹣2i,则

=i.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:把复数代入表达式,复数的分母、分子同乘分母的共轭复数,化简复数即可. 解答: 解:因为复数 z1=2+2i,z2=2﹣2i, 所以 = = = = =i.

故答案为:i. 点评:本题考查复数代数形式的混合运算,复数的分母实数化,是解题的关键,是基础题.

3.在△ABC 中,若

=

=

,则△ABC 是等腰直角三角形.

考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:由条件利用正弦定理可得 sinA=cosA,sinB=cosB,可得 A=B= 形为等腰直角. 解答: 解:△ABC 中,∵ = = ,再由正弦定理可得 , = = , ,故 C= ,可得三角

故有 sinA=cosA,sinB=cosB,∴A=B= 故三角形为等腰直角,

,∴C=

-5-

故答案为:等腰直角. 点评:本题主要考查正弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于基础题.

4. (实)若函数 0)∪(1,3].

在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,

考点:利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质. 专题:计算题. 分析:先求导函数,由函数 在区间(0,1]上是减函数,可得导函数小于等

于 0 在区间(0,1]上恒成立,从而可求实数 a 的取值范围. 解答: 解:显然 a≠0, 求导函数可得:

∵函数

在区间(0,1]上是减函数,



在区间(0,1]上恒成立

∴ ∴a≤0 或 1<a≤3 ∵a≠0 ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,0)∪(1,3] 故答案为: (﹣∞,0)∪(1,3] 点评:本题重点考查导数知识的运用,考查恒成立问题,解题的关键是利用导函数小于等于 0 在区间(0,1]上恒成立建立不等式.

-6-

5.已知函数 f(x)=sin(2ω x﹣ 值为 .

) (ω >0)在区间(0,

)上单调递增,则 ω 的最大

考点:正弦函数的图象. 专题:二项式定理. 分析:由条件利用正弦函数的增区间可得 2ω ? 解答: 解:由函数 f(x)=sin(2ω x﹣ 2ω ? ﹣ ≤ , ﹣ ≤ ,由此求得 ω 的最大值. )上单调递增,可得

) (ω >0)在区间(0,

求得 ω ≤ ,故 ω 的最大值为 , 故答案为: . 点评:本题主要考查正弦函数的增区间,属于基础题.

6.曲线 y=2lnx 在点(e,2)处的切线(e 是自然对数的底)与 y 轴交点坐标为(0,0) .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: 求出曲线方程的导函数, 把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率, 由切点坐标和斜率表示出切线方程,把 x=0 代入切线方程中即可求出 y 轴交点坐标. 解答: 解:对 y=2lnx 求导得:y′= ,∵切点坐标为(e,2) , 所以切线的斜率 k= ,则切线方程为:y﹣2= (x﹣e) , 把 x=0 代入切线方程得:y=0, 所以切线与 y 轴交点坐标为 (0,0) . 故答案为: (0,0) . 点评: 本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率, 进而写出 切线方程.

7.设方程 2lnx=10﹣3x 的解为 x0,则关于 x 的不等式 2x﹣3<x0 的最大整数解为 2.
-7-

考点:根的存在性及根的个数判断;函数图象的作法. 专题:数形结合. 分析:先画出 f(x)=2lnx 和 g(x)=10﹣3x 这两个函数的大致图象,因为是要求整数解, 所以比较下整数点 通过图象可先判断出,2<x0<3 再看不等式,2x﹣3<x0 因为要求整数解,所以 2x﹣3 也应为整数, 所以有 2x﹣3≤2 所以 x≤5/2 那么最大整数解为 2 解答: 解:先画出 f(x)=2lnx 和 g(x)=10﹣3x 这两个函数的大致图象如图:

通过图象可先判断出 2<x0<3 ∵2x﹣3<x0 ∴2x﹣3≤2 ∴x≤5/2 故最大整数解为 2 点评:考察了函数图象的画法和利用数学结合解决实际问题.

8.若不等式 x ﹣logmx<0 在(0, )内恒成立,则实数 m 的取值范围为 令 f(x)=2ax(a>0) , ∴F(x)=ax ,
2

2

-8-

∵F(2x﹣1)<F(x) ∴F(2x﹣1)﹣F(x)=a(2x﹣1) ﹣ax =a(3x﹣1) (x﹣1)<0 即(3x﹣1) (x﹣1)<0, 解得, 故答案为: 点评:本题主要考查了函数的奇偶性,以及不等式的解法,属于基础题. .
2 2

11.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足| {P| =x +y

|=|

|= .

?

=2,则点集

,|x|+|y|≤1,x,y∈R}所表示的区域的面积是 4

考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析: 由| 2m=2, 解得 m=1,n= x= , + ≤1,对 a,b 分类讨论,画出图形,可 .可得 =x +y = .令 a=2x+y,b= ,解得 , |=| |= ? =2, =x +y , 不妨设 = (2, 0) , = (m, n) , 利用 =2,

由|x|+|y|≤1,x,y∈R,可得

得(a,b)满足的区域为图中阴影部分.即可得出. 解答: 解:∵| 不妨设 ∴ |=| |= ? =2,

=(2,0) , =2,2m=2, .

=(m,n) ,

解得 m=1,n= ∵ =x +y

,=x(2,0)+y , ,

=



令 a=2x+y,b= 解得 ,x=

-9-

由|x|+|y|≤1,x,y∈R,可得

+

≤1,

对 a,b 分类讨论,画出图形,可得(a,b)满足的区域为图中阴影部分. 可得(a,b)满足的区域的面积为 故答案为:4 . =4 .

点评:本题考查了向量的运算性质、基本不等式的性质、线性规划的有关知识、的面积,考查 了推理能力和计算能力,属于难题.

12.在△ABC 中,已知 AB=5,BC=3,∠B=2∠A,则边 AC 的长为 2



考点:余弦定理. 专题:三角函数的求值. 分析:在三角形 ABC 中,利用正弦定理列出关系式,再利用二倍角的正弦函数公式化简,表示 出 cosA,再利用余弦定理列出关系式,将各自的值代入计算求出 b 的值,即为 AC 的长. 解答: 解:在△ABC 中,AB=c=5,BC=a=3,AC=b,∠B=2∠A, 由正弦定理 = 得: = ,即 = ,

整理得:b=6cosA,即 cosA= , 再由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 9=b +25﹣10b? , 解得:b=2 则 AC=b=2 故答案为:2 (负值舍去) , .
2 2 2 2

- 10 -

点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及二倍角的正弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本 题的关键.

13.设



为单位向量,非零向量 =x

+y

,x、y∈R.若



的夹角为

,则

的最大值等于 2.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出. 解答: 解: = 只考虑 x>0, 则 = = = ≤2, = = .

当且仅当 ∴

时取等号.

的最大值等于 2.

故答案为:2. 点评:本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题.

14.已知 f(x)=2mx+m +2,m≠0,m∈R,x∈R.若|x1|+|x2|=1,则

2

的取值范围是



- 11 -

考点:函数与方程的综合运用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (i)法一:目标函数法:①分类讨论去绝对值找 x1,x2 的关系.②将 个变量的函数 g(x2) . (ii)法二:数形结合:①“数”难时,要考虑“形”.②C:|x1|+|x2|=1 为正方形.③“分 式”联想到斜率. 解答: 解:解法一: 先考虑 0≤x1≤1,0≤x2≤1 的情形, 化为一

则 x1+x2=1

=

=

=

当 m>0,令函数 g(x)=

,x∈,

由单调性可得:g(1)≤g(x)≤g(0) .其中,



当 m<0,同理.x1、x2 在其他范围同理. 综上可得 解法二: .

=

=

, ∴

为点 P

与点 Q (x2,

x1)连线的斜率.P 点在直线 由图可得直线 PQ 斜率的范围,即

上. 的范围.

- 12 -

点评:熟练掌握分类讨论、数形结合的思想方法、函数的单调性、直线的斜率公式及意义是解 题的关键.

二、解答题: 15. (14 分)已知向量 =( sin2x+2,cosx) , =(1,2cosx) ,f(x)= .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及对称轴方程; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 若 f(A)=4,b=1,△ABC 的面积为 求 a 的值. ,

考点:余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求 法. 专题:三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (I)利用数量积得坐标运算和两角和的正弦公式及周期公式即可得出 f(x)的最小正 周期及对称轴方程; (II)利用三角函数的单调性、三角形的面积计算公式及其余弦定理即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)∵向量 =( ∴函数 f(x)= = ∴T= 由于 , ,则 x= (k∈N) (k∈N) . = sin2x+2,cosx) , =(1,2cosx) ,
2

sin2x+2+2cos x .

故函数 f(x)的最小正周期为 π ,对称轴方程为 x=

- 13 -

(Ⅱ)由 f(A)=4 得, 又∵A 为△ABC 的内角,∴ ∴ ∵ ∴
2

,∴ , .



,解得 ,b=1,

,解得 c=2.
2 2

由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bccosA=4+1﹣2× ∴a= .

=3.

点评:熟练掌握数量积得坐标运算和两角和的正弦公式及周期公式、三角函数的单调性、三角 形的面积计算公式及其余弦定理等是解题的关键.

16. (14 分)设 f(x)=log2 (1)求 a 的值;

﹣x 为奇函数,a 为常数.

(2)判断并证明函数 f(x)在 x∈(1,+∞)时的单调性; (3)若对于区间上的每一个 x 值,不等式 f(x)>2 +m 恒成立,求实数 m 取值范围.
x

考点:对数函数图象与性质的综合应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)=log2 ﹣x 为奇函数,满足 f(﹣x)+f(x)=0,代入可得 a 的值;

(2)设 1<x1<x2<+∞,结合对数运算性质,判断 f(x1)﹣f(x2)的符号,进而可得函数 f (x)在 x∈(1,+∞)时的单调性; (3)若对于区间上的每一个 x 值,不等式 f(x)>2 +m 恒成立,m<min,分析 f(x)﹣2 的 单调性并求出最值,可得实数 m 取值范围. 解答: 解: (1)由条件得:f(﹣x)+f(x)=0, ∴ 化简得(a ﹣1)x =0, 因此 a ﹣1=0,a=±1,
2 2 2 x x



- 14 -

当 a=1 时, 因此 a=﹣1. ?

,不符合题意,

(也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称,得出结果,同样给分) (2)判断函数 f(x)在 x∈(1,+∞)上为单调减函数; 证明如下:设 1<x1<x2<+∞,

, ∵1<x1<x2<+∞, ∴x2﹣x1>0,x1±1>0,x2±1>0, ∵(x1+1) (x2﹣1)﹣(x1﹣1) (x2+1)=x1x2﹣x1+x2﹣1﹣x1x2﹣x1+x2+1=2(x2﹣x1)>0, 又∵(x1+1) (x2﹣1)>0, (x1﹣1) (x2+1)>0, ∴ 又 x2﹣x1>0, ∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) , ∴函数 f(x)在 x∈(1,+∞)上为单调减函数; (也可以利用导数证明,对照给分) (3)不等式为 m<f(x)﹣2 恒成立, ∴m<min ∵f(x)在 x∈上单调递减,2 在 x∈上单调递增, ∴f(x)﹣2 在 x∈上单调递减, 当 x=3 时取得最小值为﹣10, ∴m∈(﹣∞,﹣10)?(14 分) 点评:本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,恒成立问题,奇函数,是函数图象和性质 的综合应用,难度中档.
x x x





?

17. (14 分)如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边 AD 为半圆的直径,O 为半圆 的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形 PMN,其底边 MN⊥BC.

- 15 -

(1)设∠MOD=30°,求三角形铁皮 PMN 的面积; (2)求剪下的铁皮三角形 PMN 面积的最大值.

考点:两角和与差的正弦函数. 专题:应用题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)设 MN 交 AD 交于 Q 点由∠MOD=30°,利用锐角三角函数可求 MQ,OQ,进而可求 MN, AQ,代入 S△PMN= MN?AQ 可求 (2)设∠MOQ=θ ,由 θ ∈,结合锐角三角函数的定义可求 MQ=sinθ ,OQ=cosθ ,代入三角形 的面积公式 S△PMN= MN?AQ= (1+sinθ ) (1+cosθ )展开利用换元法,转化为二次函数的最值 求解 解答: 解: (1)设 MN 交 AD 交于 Q 点 ∵∠MOD=30°, ∴MQ= ,OQ= (算出一个得 2 分) )= ?

S△PMN= MN?AQ= × ×(1+

(2)设∠MOQ=θ ,∴θ ∈,MQ=sinθ ,OQ=cosθ ∴S△PMN= MN?AQ= (1+sinθ ) (1+cosθ ) = (1+sinθ cosθ +sinθ +cosθ )?. 令 sinθ +cosθ =t∈, ∴S△PMN= (t+1+ θ = ,当 t= , .?..?(14 分) )

∴S△PMN 的最大值为

- 16 -

点评: 本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值, 换元法的应用 是求解的关键

18. (16 分) 在△ABC 中, a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边, 的面积为 6,D 为△ABC 内任一点,点 D 到三边距离之和为 d. (1)求角 A 的正弦值; (2)求边 b、c; (3)求 d 的取值范围.

,a=3, △ABC

考点:余弦定理;简单线性规划. 专题:综合题;数形结合. 分析: (1)把已知的条件 变形后,利用余弦定理得到 cosA 的值,然后根

据 A 的范围,利用同角三角函数间的基本关系即可求出 sinA 的值; (2)根据三角形的面积公式及 ,a=3,联立即可求出 b 与 c 的值;

(3) 设 D 到三边的距离分别为 x、 y、 z, 利用间接法求出三角形面积并让其等于 6 得到关于 x、 y 和 z 的等式,而 d 等于 x+y+z,两者联立消去 z 后表示出 y 的关系式,利用距离大于等于 0 得到一个不等式组, 画出此不等式组所表示的平面区域, 在平面区域内得到 d 的最小值和最大 值即可得到 d 的取值范围. 解答: 解: (1)由

变形得

,利用余弦定理得

因为 A∈(0,π ) ,所以 sinA=

=

= ;

(2)∵

,∴bc=20



及 bc=20 与 a=3

解得 b=4,c=5 或 b=5,c=4; (3)设 D 到三边的距离分别为 x、y、z,

- 17 -



又 x、y 满足

由 d=

+ (2x+y)得到 y=﹣2x+5d﹣12,画出不等式表示的平面区域得:y=﹣2x+5d﹣12 是

斜率为﹣2 的一组平行线, 当该直线过不等式表示的平面区域中的 O 点即原点时与 y 轴的截距最小,把(0,0)代入到 方程中求得 d= ;

当该直线过 A 点时,与 y 轴的截距最大,把 A(4,0)代入即可求得 d=4, 所以满足题意 d 的范围为:

点评: 此题考查学生灵活运用余弦定理、 三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简 求值,会进行简单的线性规划,是一道中档题.

19. (16 分)已知函数 f(x)=ax ﹣x +bx(a,b∈R) ,f′(x)为其导函数,且 x=3 时 f(x) 有极小值﹣9. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 g(x)=2mf′(x)+(6m﹣8)x+6m+1,h(x)=mx,当 m>0 时,对于任意 x,g(x) 和 h(x)的值至少有一个是正数,求实数 m 的取值范围; (3)若不等式 f′(x)>k(xlnx﹣1)﹣6x﹣4(k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k 的最大值.

3

2

- 18 -

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)根据函数的极小值,求出 a,b 的值,进而可求 f(x)的单调递减区间; (2)求出 g(x)=2mf′(x)+(6m﹣8)x+6m+1 的表达式,利用二次函数的图象和性质,建 立条件关系即可得到结论围; (3)利用参数分离法,将不等式转化为求参数的最值问题. 解答: 解: (1)由 f'(x)=3ax ﹣2x+b,因为函数在 x=3 时有极小值﹣9, 所以 ,从而解得 ,
2

所求的 由 f'(x)<0 解得﹣1<x<3,

,所以 f'(x)=x ﹣2x﹣3,

2

所以 f(x)的单调递减区间为(﹣1,3) , (2)由 f'(x)=x ﹣2x﹣3,故 g(x)=2mx +(2m﹣8)x+1, 当 m>0 时,若 x>0,则 h(x)=mx>0,满足条件; 若 x=0,则 g(0)=1>0,满足条件; 若 x<0,g(x)=2mx +(2m﹣8)x+1, ①如果对称轴 x0= ≥0,即 0<m≤4 时,g(x)的开口向上,
2 2 2

故在(﹣∞,x0]上单调递减,又 g(0)=1,所以当 x<0 时,g(x)>0 ②如果对称轴 x0= <0,即 4<m 时,△=(2m﹣8) ﹣8m<0
2

解得 2<m<8,故 4<m<8 时,g(x)>0; 所以 m 的取值范围为(0,8) ; (3)因为 f′(x)=x ﹣2x﹣3, 所以 f′ (x) >k (xlnx﹣1) ﹣6x﹣4 等价于 x +4x+1>k (xlnx﹣1) , 即
2 2





,则



由 φ ′(x)>0,得 x>k+1, 所以 φ (x)在(0,k+1)上单调递减,在(k+1,+∞)上单调递增, 所以 φ (x)≥φ (k+1)=k+6﹣kln(k+1) ,

- 19 -

φ (x)>0 对任意正实数 x 恒成立,等价于 k+6﹣kln(k+1)>0,即 记 ,则 , ,



所以 m(x)在(0,+∞)上单调递减,又 所以 k 的最大值为 6.

点评:本题主要考查函数的单调性,极值和导数的应用,考查学生的运算能力,综合性较强, 运算量较大.

20. (16 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) ,a,b 是常数. (1)若 a≠b,求证:函数 f(x)存在极大值和极小值; (2)设(1)中 f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为 x1、x2,令点 A(x1,f(x1) ) , B(x2,f(x2) ) .如果直线 AB 的斜率为﹣ ,求函数 f(x)和 f′(x)的公共递减区间的长 度; (3)若 f(x)≥mxf′(x)对于一切 x∈R 恒成立,求实数 m,a,b 满足的条件.

2

考点:函数在某点取得极值的条件;函数恒成立问题. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)由于 f′(x)=(x﹣b) ,可得一元二次方程 f′(x)=0 有两不等实数根,可得 f (x)存在极大值 和极小值. (2)分 a=b、a>b、a<b 三种情况,求得 f(x)的减区间,再求出 f′(x)减区间,可得 f (x)与′的公共减区间, 从而求得公共减区间的长度. (3)由条件可得, (x﹣b){(1﹣3m)x +x+ab}≥0 恒成立,可得 m= ,故 (x﹣b)≤0 恒成立.再利用二次函数的性质求得实数 m,a,b 满足的条件. 解答: 解: (1)由于 f′(x)=(x﹣b) ,? ∵a≠b,∴ , ,
2

∴一元二次方程 f′(x)=0 有两不等实数根 b 和

- 20 -

∴f(x)存在极大值和极小值. ? (2)①若 a=b,f(x)不存在减区间. ②若 a>b,由(1)知 x1=b,x2= ,∴A(b,0) ,B ,



,∴(a﹣b) = ,∴

2



③当 a<b 时,x1= 综上 a﹣b= ?..?. ∴f(x)的减区间为

,x2=b,同理可得 a﹣b= (舍) .

即(b,b+1) ,f′(x)减区间为



∴公共减区间为(b,b+ ) ,故公共减区间的长度为 . ? (3)∵f(x)≥mxf′(x) ,∴(x﹣a) (x﹣b) ≥m?x(x﹣b) , ∴(x﹣b){(1﹣3m)x +x+ab}≥0. 若 ,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次
2 2

因式的积,无论哪种 情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的符号不同,因此不可能恒 非负,不满足条件. ∴ ,?

∴(x﹣b)≤0 恒成立. 若 a+2b=0,则有 a=﹣2b,∴a=b=0. 若 a+2b≠0,则 x1=b, ,且 b= .

①当 b=0,则由二次函数的性质得 a<0, ②当 b≠0,则 综上可得, ,∴a=b,且 b<0. ,a=b≤0 或 a<0,b=0.?..(16 分)

点评:本题主要考查函数在某点取得极值的条件,函数的恒成立问题,体现了分类讨论的数学 思想,属于中档题.

- 21 -

三、附加题(共 4 小题,每小题 10 分共 40 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 21.求函数 y=sin (2x+
2

)的导数.

考点:简单复合函数的导数;导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:法一:利用复合函数的求导公式直接求导; 法二:先用二倍角公式降幂,再利用复合函数的导数公式求导. 解答: 解:法一:

=

?

法二:∵ ∴

? ?

点评:本题考查复合函数的导数及二倍角公式,属于基本计算题,对相应的运算规则要熟练掌 握

22.将水注入锥形容器中,其速度为 4m /min,设锥形容器的高为 8m,顶口直径为 6m,求当 水深为 5m 时,水面上升的速度.

3

考点:函数模型的选择与应用;导数的运算;利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析:由题,依据图形得出 V 关于高度 h 的函数及高度 h 关于 t 的函数,利用导数研究其变化 规律即可得出水面上升的速度. 解答: 解:设注入水 tmin 后,水深为 hm,由相似三角形对应边成比例可

- 22 -

得水面直径为 这时水的体积为

, ?

由于水面高度 h 随时间 t 而变化,因而 h 是 t 的函数 h=h(t) 由此可得水的体积关于时间 t 的导数为

由假设,注水速度为 4m /min, 所以当 h=5 时,ht'= 当水深为 5m 时,水面上升的速度 法(2)设 t 时刻水面的高度为 hm 则 ? ,

3





?

?



=5

?∴

?

点评: 本题考查建立函数模型及利用导数研究实际问题中事物变化的规律, 导数在实际问题中 有着广泛的运用

23.证明下列命题: (1)若函数 f(x)可导且为周期函数,则 f′(x)也为周期函数; (2)可导的奇函数的导函数是偶函数.

考点:简单复合函数的导数;导数的运算. 专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: (1)利用复合函数导数公式及周期性定义即可证明; (2)利用复合函数导数公式及奇偶性定义即可证明; 解答: 证明: (1)设 f(x)的周期为 T,则 f(x)=f(x+T) . ∴f′(x)=′=f′(x+T)?(x+T)′ =f′(x+T) ,即 f′(x)为周期函数且周期与 f(x)的周期相同.? (2)∵f(x)为奇函数,

- 23 -

∴f(﹣x)=﹣f(x) . ∴′=′. ∴f′(﹣x)?(﹣x)′=﹣f′(x) . ∴f′(﹣x)=f′(x) ,即 f′(x)为偶函数 ?

点评:本题考查复合函数的求导公式及周期性及奇偶性的证明,有一定的综合性

24.已知 f(x)=lnx,g(x)= 于点(1,0)

+mx+n,直线 l 与函数 f(x) ,g(x)的图象都相切

(1)求直线 l 的方程及 g(x)的解析式; (2)若 h(x)=f(x)﹣g′(x) (其中 g′(x)是 g(x)的导函数) ,求函数 h(x)的值 域.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:计算题. 分析: (1)根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=1 处的导数,从而求出切线的斜率,再 用点斜式写出切线方程,化成斜截式即可,再根据直线 l 与 g(x)的图象相切,所以 g(x) 在点(1,0)的导函数值为 1,建立方程组,解之即可求出 g(x)的解析式; (2)先利用导数研究出函数 h(x)在(0,+∞)的单调性,连续函数在区间(0,+∞)内只 有一个极值,那么极大值就是最大值. 解答: 解: (1)直线 l 是函数 f(x)=lnx 在点(1,0)处的切线,故其斜率 k=f′(1)=1, 所以直线 l 的方程为 y=x﹣1. 又因为直线 l 与 g(x)的图象相切, 所以 在点(1,0)的导函数值为 1.

所以

(2)因为 h(x)=f(x)﹣g′(x)=lnx﹣x ﹣x+1(x>0) 所以

2

- 24 -

当 因此,当

时,h′(x)>0;当 时,h(x)取得最大值

时,h′(x)<0

所以函数 h(x)的值域是

. (13 分)

点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及恒成立问题,同时考查了转化 与划归的思想,属于基础题.

- 25 -


推荐相关:

江苏省宿迁市沭阳县如东中学2016届高三上学期9月段考数学试卷 Word版含解析

江苏省宿迁市沭阳县如东中学2016届高三上学期9月段考数学试卷 Word版含解析_...的解为 x0,则关于 x 的不等式 2x﹣3<x0 的最大整数解为___. 8.若不...


江苏省沭阳县如东中学2016届高三上学期阶段检测(9月)语文试题 Word版含答案

江苏省沭阳县如东中学2016届高三上学期阶段检测(9月)语文试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。江苏省如东中学高三阶段检测语文试卷一、语言文字运用(15 分)...


江苏省沭阳县如东中学2016届高三上学期第二次阶段检测英语试题 Word版含答案

江苏省沭阳县如东中学2016届高三上学期第二次阶段检测英语试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。如东中学高三英语检测第一卷(选择题,共 85 分) 第一部分:...


江苏省沭阳县如东中学2016届高三上学期第二次阶段检测语文试题 Word版含答案

江苏省沭阳县如东中学2016届高三上学期第二次阶段检测语文试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。如东中学高三语文检测(11月7日)一、语言文字运用(15 分) 1...


江苏省沭阳县如东中学2016届高三上学期阶段考试语文试题 Word版含答案

江苏省沭阳县如东中学2016届高三上学期阶段考试语文试题 Word版含答案_语文_高中...(一点 1 分) 【解析】试题分析:本题考查人物心理变化过程,考生可找到相关...


江苏省如东中学2016届高三上学期阶段考试数学试题word版含答案

江苏省如东中学2016届高三上学期阶段考试数学试题word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2016 届如东中学高三数学阶段测试 一. 填空题: 1.已知集合 A ? ?1,3?...


江苏省南通市如东县掘港高中2014-2015学年高一上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析

江苏省南通市如东县掘港高中2014-2015学年高一上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年江苏省南通市如东县掘港高中高一(...


江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。最新的高三试卷,可以参考。一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5...


江苏省沭阳如东中学2016届高三上学期英语自主练习(一) Word版含答案

江苏省沭阳如东中学2016届高三上学期英语自主练习(一) Word版含答案_英语_高中...It is generally recognized, __9___, that the introduction of the ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com