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解三角形不等式


解三角形不等式
1.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 BC 边上的高为 取得最大值时,内角 A 的值为( A. ) D.

c b 3 a ,则 ? b c 6

? 2

B.

? 6

C.

2? 3

? 3

2. 已 知 函 数 f ( x) ? cos x , a, b, c 分 别 为 ?ABC 的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 , 且

3a 2 ? 3b 2 ? c 2 ? 4ab ,则下列不等式一定成立的是( )
A. f (sin A) ? f (cos B ) C. f (sin A) ? f (sin B ) B. f (sin A) ? f (cos B ) D. f (cos A) ? f (cos B )

3.若满足条件 AB= 3 ,C= A.(1, 2 )

? 的三角形 ABC 有两个,则边长 BC 的取值范围是( 3
C.( 3 ,2) D.( 2 ,2)

)

B.( 2 , 3 )

4.设 ?ABC 的三边是连续的三个正整数,且最大角是最小角的 2 倍,则 ?ABC 的最小的边 长是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 )

AC ? 7, AB ? AC ? 6 ,则 ?ABC 面积的最大值为( 5.在 ?ABC 中,若 AB·
A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 3

1 AB ? 5, AC ? 6, cos A ? , 5 O 是 ?ABC 的内心,若 6.在 ?ABC 中,

OP ? xOB ? yOC , 其 中 x, y ? [0,1] , 则 动 点 P 的 轨 迹 所 覆 盖 图 形 的 面 积 为
( )

A. B . C . 4 3 D. 6 2 7.在△ABC 中,∠C=90°,BC=2,AC=4,AB 边上点 P 到边 AC、BC 的距离乘积的取值范围是 ( ) B.[0,3] C.[0,4] D.[0, ]

10 6 3

14 6 3

A.[0,2]

8.已知 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcos2C, 则?C 的可能取值为( )
A.

5? 6

B.

? 2

C.

? 3

D.

? 6


9.△ ABC 各角的对应边分别为 a , b, c ,满足 A. (0,

b c ? ? 1 ,则角 A 的范围是( a?c a?b
D. [

?
3

]

B. (0,

?
6

]

C. [

?
3

,? )

?
6

,? )

10. 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 且 满 足 a s i n B ? b c o sA, 则

2 sin B ? cos C 的最大值是(
A. 1 B.



3

C.

7

D. 2 7 )

11.在 ?ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是( A. (0, ] 6

?

B. [ , ? ) 6

?

C. (0, ] 3

?

D. [ , ? ) 3

?

12. ?ABC 中,a=x,b=2, B ? 45? ,若三角形有两解,则 x 的取值范围是( ) A. x ? 2 B. x ? 2 C. 2 ? x ? 2 3 D. 2 ? x ? 2 2 )

13.在钝角三角形 ABC 中,若 B ? 45? , a ? A. 1 ,2

? ?

B. ?0, 1? ?

?

2, ??

?

2 ,则边长 的取值范围是(
C. ?1 , 2?

D. ?0, 1? ? ?2, ? ??

14.(原创)在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边,若 a ? 1, 且2 cosC ? c ? 2b ,则

?ABC 的周长的取值范围是(
A. ?1,3?

) C. ?2,3? D. [3,5]

B. [2, 4]

15. 在 ?ABC 中 , a , b, c 分 别 为 内 角 A, B, C 所 对 的 边 , b ? c , 且 满 足

sin B 1 ? cos B ? .若点 O 是 ?ABC 外一点, ?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) , OA ? 2OB ? 2 , sin A cos A
平面四边形 OACB 面积的最大值是( )

A.

8?5 3 4

B.

4?5 3 4

C.3

D.

4?5 3 2

2 2 2 16.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a,b,c,若 a ? b ? 3c ,则 cosC 的最小

值为( A.



1 2

B.

1 4

C.

3 2

D.

2 3

17.已知 ?ABC 的三边 a, b, c ,面积 S 满足 S ? c 2 ? (a ? b) 2 ,且 a ? b ? 2 ,则 S 的最大值 为( A. )

8 17

B.

6 17

C.

5 17

D.

4 17

18.在 ?ABC 中, A, B, C 是三角形的三内角,若

sin ? A ? B? cos B ? cos ? A ? B? sin B ? 1,则该三角形是(
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.不存在 )



19.在△ABC 中,若 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是(

A. 0 ? C ?

?
6

B. 0 ? C ?

?
2

C.

?
6

?C?

?
2

D.

?
6

?C?

?
2

20.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 9 , sin B ? cos A ? sin C , S ?ABC ? 6 ,P 为线段 AB 上的 一点,且 CP ? x
.

CA | CA |
7 12

? y?

CB | CB |

,则

1 1 ? 的最小值为( x y
D.

)

A.

7 6

B.

C.

7 3 ? 12 3

7 3 ? 6 3

21.设锐角 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对边的边长分别为 a 、 b 、 c , 且 a ? 1 , B ? 2 A , 则 b 的取值范围为 ………( ).

( A)

?

2 , 3 . ( B)

?

?1 , 3 ? . (C )
?


?

2 , 2 . ( D) ?0 , 2? .
BA ? t BC ? AC
恒成立,则

?

22. 在 ?ABC 中,

AB ? 3, BC ? 2, ? A ?

2 ,如果不等式

实数 t 的取值范围是(

A.

?1, ???

?1 ? ,1? ? 2 ? ? B.

1? ? ? ??, ? 2? C. ?

?1, ?? ?
D.

? ??,0? ?1, ???

23.在 ?ABC 中, ? A . ? B . ?C 所对的边长分别是 a . b . c .满足

2a cos C ? c cos A ? b .则 sin A ? sin B 的最大值是(
2 A. 2
B. 1 C . 2



1? 2 D. 2

24. 已知 O 为 ?ABC 内一点,若对任意 k ? R ,恒有 | OA ? OB ? k BC |?| AC |, 则 ?ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

25.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2?c cos B ? 2?a ? b ,若 ?ABC

3 c ,则 ab 的最小值为 2 26.锐角⊿ ABC 中:其中一定成立的有
的面积为
① sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C ③ sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ?

.
(填序号) ② tan A tan B ? 1

3 2


④ sin A ? sin B ?

2

27.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 a=2,3bsinC-5csinBcosA=0, 则△ABC 面积的最大值是 28.在 ?ABC 中, tan

1 A? B ? 2 sin C , 若 AB ? 1 ,则 AC ? BC 的最大值 2 2



29.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b=l,a= 2c,则当 C 取最大值时, △ABC 的面积为________. 30.在直角 ?ABC 中,两条直角边分别为 a、 b ,斜边和斜边上的高分别为 c、h ,则 的取值范围是 .
2 2 2

c?h a?b

31.已知 ?ABC 的三边 a, b, c 成等差数列,且 a ? b ? c ? 63 ,则 b 的最大值 是 .

32.在 ?ABC 中,已知 sin A ? sin B ? cos C ? sin A ? sin C ? cos B ? sin B ? sin C ? cos A ,若

c2 a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,则 的最小值为__ ab
33.已知 ?ABC 中, 34.设 F1 , F2 是椭圆

_.

2c 2 ? ab cos C ,则 cos C 的最小值为___________
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆上任意一点,当 a2 b2
1 ,则椭圆的离心率为 49


?F1PF2 取最大值时的余弦值为 ?

35.设 O 是 ?ABC 外接圆的圆心, a, b, c 分别为角 A, B, C 对应的边,已知

uuu r uuu r b2 ? 2b ? c 2 ? 0 ,则 BC ? AO 的范围是_________________.
2

36. ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a, b, c .若 b ? ac ,则 围是 .

sin A ? cos A tan C 的取值范 sin B ? cos B tan C

37.己知 a,b,c 分别是 ? ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,M 是 BC 的中点且 AM= 2 3

a sin A ? b sin B ? (a ? c)sin c ,则 BC+AB 的最大值是______.
38.如图,A 是两条平行直线 l1 , l2 之间的一个定点,且 A 到 l1 , l2 的距离分别为
AM ? 1, AN ? 2 ,设 ?ABC 的另两个顶点 B,C 分别在 l1 , l2 上运动,且 AB ? AC ,

AB AC ,则以下结论正确的序号是____________. ? cos ?ABC cos ?ACB
1 2 ① ?ABC 是直角三角形;② 的最大值为 2 ; ? AB AC
③ (S四边形MBCN )min ? (S?ABC )min ? (S?AMB ? S?ACN )min ;

N

C

l1

A l2 M B

④设 ?AMB 的周长为 y1 , ?ACN 的周长为 y2 ,则 ( y1 ? y2 )min ? 10 . 39.已知 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c ,外接圆半径是 1,且满足条件

2(sin 2 A ? sin 2 C) ? (sin A ? sin B) ? b ,则 ?ABC 的面积的最大值为 .
0 40.在 Rt △ABC 中,C= 90 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________。

c ,下列命题正确的是________(写出 41. ?ABC 中,角 A、B、 C 所对的边分别为 a、b、
正确命题的编号). ①总存在某内角 ? ,使 cos ? ?

1 ; ②若 A sin B ? B sin A ,则 B ? A ; 2

③存在某钝角 ?ABC ,有 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ; ④若 2a BC ? bCA ? c AB ? 0 ,则 ?ABC 的最小角小于 ⑤若 a ? tb?0 ? t

? ; 6

? 1? ,则 A ? tB .

42.在△ABC 中,点 D 在边 BC 上,且 DC=2BD,AB∶AD∶AC=3∶k∶1,则实数 k 的取值 范围为 .

43.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 a cos B ? b cos A ?

1 c ,当 2

tan(A ? B) 取最大值时,角 C 的值为
44.下列命题中:①函数 f ? x ? ? sin x ?

.

2 ? x ? ? 0, ? ? ? 的最小值是 2 2 ;②在 ?ABC sin x

中,若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 ?ABC 是等腰或直角三角形;③如果正实数 a, b, c 满足

a ? b ? c ,则

a b c ? ? ;④如果 y ? f ? x ? 是可导函数,则 f ' ? x0 ? ? 0 是函数 1? a 1? b 1? c

y ? f ? x ? 在 x ? x0 处取到极值的必要不充分条件.其中正确的命题是_____________

1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 7.A 8.D 9. A 10.A 11.C 12.D 13.D 14.C 15.A 16.D 17.D 18.B 19.A 20.C 21.A 22.C 23.C 24.A 25. 12 26.①②③ 27.2 28. 41.①④⑤ 42. ( , ) 43.

21 3 2 3 ] 29. . 30. (1, 3 4 6

31. 21 .

5 7 3 3

? 44.②③④ 2



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