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数学高二(上)沪教版(等差等比数列综合练习(一))学生版


年 课

级: 高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

等差等比数列综合练习 1、 熟练掌握等差等比数列的定义、通项公式,求和公式; 2、 掌握一些常用的等差等比数列做题的方法,并且能够灵活应用,解决一些综合性题目。 教学内容

教学目的

【知识梳理】<

br />1、等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 等差数列 定义 等比数列

{an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数) {an }为G ? P ?
(n-1) d= ak + (n-k) d= dn + a1 -d an = a1 +

an?1 an

? q(常数)

通项公式

an ? a1q n?1 ? ak q n?k
(q ? 1) ?na1 ? n s n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?

求和公式

中项公式

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 a?b A= 推广:2 an = an?m ? an?m 2 sn ?
1 若 m+n=p+q 则 am ? an ? a p ? aq

G 2 ? ab 。推广: an ? an?m ? an?m
若 m+n=p+q,则 am an ? a p aq 。 若 {k n } 成等差数列 (其中 k n ? N ) ,则

2

2

若 {k n } 成 A.P(其中 k n ? N )则 {a kn } 也为 A.P。

性 质
3

{a kn } 成等比数列。
sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列。
q n?1 ? an , a1 q n?m ? an (m ? n) am

. sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等差数列。

4

d?

a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?n

2、判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 a n ? a n ?1 ( (2)通项公式法; (3)中项公式法:验证 2an?1 ? an ? an?2 (an?1 ? an an?2 )n ? N 都成立;
2

an ) 为同一常数; an?1

(4) 若{an}为等差数列,则{ a a n }为等比数列(a>0 且 a≠1) ; 若{an}为正数等比数列,则{logaan}为等差数列(a>0 且 a≠1) 。

3、在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题: (1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使得 s m 取最大值. ?a m ?1 ? 0 ?a m ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想应用 ?a m ?1 ? 0

(2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

【典型例题分析】
例 1、设 a ? 0, b ? 0, a, x1 , x2 , b 成等差数列, a, y1 , y2 , b 成等比数列,判断 x1 ? x2与y1 ? y2 的大小关系。 说明:本题为理解等差(比)数列定义,由定义知:首项与公差(比)是确定等差(比)数列的两个基本量。

例 2、数列 ?an ? 满足: an?1 ? 2an ? 3(n ? N ? ) , (1)若数列 ?an ? c? 成等比数列,求常数 c 的值; (2)数列 ?an ? 中是否存在三项。它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说 明理由。 说明:通过本例说明,有些非等差(比)数列的递推公式,经过适当变形后可得出成等差(比)的新数列。

例 3、 数列 ?an ?与?bn ? 的通项公式分别是 an ? 3n ? 2, bn ? 2n , 它们的共同项由小到大排成的数列为 ?cn ? , 求 ?cn ? 的 通项公式。 说明:本题为掌握等差数列和等比数列公共项的性质。

例 4、设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,…) (1)求 q 的取值范围; (2)设 bn ? a n ? 2 ?

3 a n ?1 , 记 {bn } 的前 n 项和为 Tn,试比较 Sn 和 Tn 的大小. 2

? 1 a ? 1 ? 2 n 例 5、设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 n ? ? 4
记 bn ? a2 n ?1 ?

n为偶数
,

n为奇数

1 ,n==l,2,3,…· . 4

(I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;

例 6、如图,△OBC 的三个顶点坐标分别为 ? 0,0?、 ?1,0?、 ?0,2? ,设 P1 线段 BC 的中点, P2 为线段 CO 的中点, P3 为线

a ? 段 OP nP n?1 的中点,令 P 1 的中点,对于每一个正整数 n, P n ?3 为线段 P n ? xn , yn ? , n
⑴ 求 a1 , a2 , a3 及 an ;⑵求证: yn ? 4 ? 1 ?
?

1 yn ? yn ?1 ? yn ? 2 . 2

yn ,n? N? ; 4

⑶ 若记 bn ? y4n?4 ? y4n , n ? N ,证明: ?bn ? 是等比数列.

变题:如图,直线 l1 : y ? kx ? 1 ? k (k ? 0, k ? ? )与l 2 : y ?

1 2

1 1 x ? 相交于点 P.直线 l1 与 x 轴交于点 P1,过点 P1 作 2 2

x 轴的垂线交直线 l2 于点 Q1,过点 Q1 作 y 轴的垂线交直线 l1 于点 P2,过点 P2 作 x 轴的垂线交直线 l2 于点 Q2,…, 这样一直作下去,可得到一系列点 P1、Q1、P2、Q2,…,点 Pn(n=1,2,…)的横坐标构成数列 ?xn ? .

1 ( x n ? 1), n ? N * ; (Ⅱ)求数列 ?xn ? 的通项公式; 2k 2 2 2 (Ⅲ)比较 2 | PP n | 与4k | PP 1 | ?5 的大小.
(Ⅰ)证明 x n ?1 ? 1 ? P2

y

P1

O

x

思考题:已知有穷数列 { an } 共有 2 k 项(整数 k ≥2) ,首项 a1 =2.设该数列的前 n 项和为 S n ,且 a n ?1 = (a ? 1) S n +2( n =1,2,┅,2 k -1) ,其中常数 a >1. (1)求证:数列 { an } 是等比数列;

1 log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅,2 k ) ,求数列 { bn } 的通项公式; n 3 3 3 3 (3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - |+| b2 - |+┅+| b2 k ?1 - |+| b2 k - |≤4,求 k 的值. 2 2 2 2
(2)若 a =2 2 k ?1 ,数列 { bn } 满足 bn =

2

【课堂小练】
1、 (1)在等比数列 ?an ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, 求首项和公比。 (2)在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 5, a9 a10 ? 100 ,求 a18 。 (3)在等比数列 ?bn ? 中, b4 ? 3 ,求该数列前七项之积。 (4)在等比数列 ?an ? 中, a2 ? ?2, a5 ? ?54, 求a8 . (5)有三个数成等比数列,若将第三个数减去 32,则成等差数列,若再将这个等差数列的第二个数减去 4,则又成 等比数列,求原来三个数。 说明:本题为说明方程的思想在数列计算中的应用。

2、 (1)求数列 ?1.4, ?7,10, …, ? ?1? (2)求数列 ?

n

? 3n ? 2 ? ,…前 n 项之和。

? 2n ? 3 ? 前 n 项之和。 n ?3 ? ? 2 ?

2 2 2 2 2 2 (3)求和: 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? … ? 2 ? 1

?

? ?

?

?

?

5 ? 3?6 ? … ?n? (4)求和: 1?4 ? 2? ? n ? 3?
2 2 n ?1 (5)求数列 1, ?1 ? a ? , 1 ? a ? a , … , 1 ? a ? a ? … ? a ,…前 n 项之和。

?

?

?

?

(6)求和: 1 ? 11 ? 111 ? … 11 ?1 。 ?
n个

(7)求和:

1 1 1 ? ? …? 。 1? 3 2?4 n ? n ? 2?

(8)将正整数列如下规则分组: 1, ? 2 ? 3? , ? 4 ? 5 ? 6? , ?7 ? 8 ? 9 ?10? , 求前 n 组中所有数的和。

3、已知数列 ?an ? 中, S n 是它的前 n 项和,并且 S n?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 1 (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,求证数列 ?bn ? 是等比数列; (2)设 c n ?

an ,求证数列 ?cn ? 是等差数列。 2n

【课堂总结】
今天主要讲了哪些内容? 你能说出等差等比数列都有哪些性质?能够把每一个性质证明出来吗?

【课后练习】
1、下列命题中,不正确的是 [ ]

( A ) 若对一切 n?N *,点 ( n,a n ) 都在直线 y = kx + b 上,则数列 { a n } 是等差数列 ( B ) 若对一切 n?N *,点 ( n,a n ) 都在曲线 y = a ( a > 0 ) 上,则数列 { a n } 是等比数列 ( C ) 若对一切 n?N *,点 ( n,S n ) 都在直线 y = kx 上,且 S n 是数列 { a n } 的前 n 项的和, 则数列 { a n } 是等差数列 ( D ) 若对一切 n?N *,点 ( n,S n ) 在曲线 y = a ( a > 0 ) 上,且 S n 是数列 { a n } 的前 n 项的 和,则数列 { a n } 是等比数列 2、已知 a,b,c 成等比数列,且 1 < a < b < c,若 x > 1,则 [ ( A ) log 1 x,log 1 x,log 1 x 是等差数列
a b c
x x

]

( B ) log 1 x,log 1 x,log 1 x 是等比数列
a b c

(C)

1 1 1 , , 是等差数列 log 1 x log 1 x log 1 x
a b c

(D)

1 1 1 , , 是等比数列 log 1 x log 1 x log 1 x
a b c

3、已知数列 { a n } 是公差为 0 的等差数列,数列 { b n } 是公比为 1 的等比数列,则下列判断 中,正确的序号是 ① 对一切 n?N *,a n = b n ③ 数列 { b n } 是等差数列 ② 数列 { a n } 是等比数列 ④ 数列 { a n + b n } 是公差为 0 等差数列 ]
2 2008 2009 2010 2008 2009 2009 2010 2008 2010 0 2009 1 4 5 8 9 3 6 7 10

4、观察右图中规律,下列各图中,正确的是 [

2010

2008

(A)

(B)

(C)

(D)

5、已知数列 { a n } 的通项公式是 a n = 2n +

3 ( n?N * ),则其前 n 项和 S n = 2

6、已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 2n +

2

3 n ( n?N * ),则其通项公式是 2

7、数列 { a n } 中,a n + 1 = a n + 3 ( n?N * ),则 a 2 - a 4 + a 6 - a 8 + a 10 - a 12 + ??? + a 2006 - a 2008 = 8、设数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 2n + 3n ( n?N * ),则数列 { a 2n } 的前 2n 项和 T n =
2

9、已知数列 { a n } 中,a 1 = 2,3a n + 1 - a n = 0 ( n?N * ),又 b n 是 a n 与 a n + 1 的等差中项 ( n?N * ), 则数列 { b n } 的前 n 项和 S n = 10、已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n =

5 n ( 3 - 1 ) ( n?N * ),则通项公式 a n = 2
n

11、已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 2 - 1 ( 1 ) a 1 + a 3 + a 5 + ??? + a 2n - 1 = ( 2 ) a 1 + a 2 + a 3 + ??? + a n = 12、一个凸 n 边形的各内角的度数成等差数列,公差为 10 ?,最小内角为 100 ?,则这个凸 n 边形的边数 n = 13、数列 1,
2 2 2 2

2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 , , , , , , , , , , , , , ,??? 中,第 n 项的 1 2 2 2 3 4 1 2 5 1 3 1 3 4
0.5 1.5 2 3 a

值为 2008,则正整数 n 的最小值为 14、如图,在表格的每一个空格内填写一个正数,使每一行成等 比数列,每一列成等差数列,则 a + b + c =

b c

15、设数列 { a n } 的前 n 项的和为 S n,称

S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn 为数列 a 1,a 2,a 3,??? ,a n 的 n

凯森和.若数列 b 1,b 2,b 3,??? ,b 99 的凯森和为 1000,则数列 1,b 1,b 2,b 3,??? ,b 99 的凯森和为 [ ( A ) 1001 ] ( B ) 991 ( C ) 999 ( D ) 990

16、我们把使 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ??? ? a n?Z 的正整数 n 叫做劣数. 设 a n = log n + 1 ( n + 2 ) ( n?N * ),则在区间 [ 1,2008 ] 内,所有劣数之和为 17、在等差数列 { a n } 中,若 a 12 = 0,则 a 1 + a 2 + ??? + a n = a 1 + a 2 + ??? + a 23 - n ( n < 23,n?N * ).类似 的,在等比数列 { b n } 中,若 b 9 = 1,则 18、已知等比数列 { a n } 的前 n 项的和为 S n = 3 ? 5 + p
n

( 1 ) 求 p 的值

( 2 ) 求数列 { a n } 的通项公式

19、已知数列 { a n } 满足 a 1 + 2a 2 + 4a 3 + ??? + 2 ( 1 ) 求数列 { a n } 的通项公式

n-1

? a n = 4 - 1 ( n?N * )
n

( 2 ) 求数列 { a n } 的前 n 项和 S n

20、等差数列 { a n } 中,a 1 = 2,公差不为零,且 a 1,a 3,a 11 恰好是一等比数列的前三项, 则此等比数列的公比 q 的值是

21、已知数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数列,数列 { a b n } 是等比数列,b 1 = 1,b 2 = 5,b 3 = 17 ( 1 ) 求等比数列 { a b n } 的公比 q ( 2 ) 求数列 { b n } 的通项公式 ( 3 ) 求数列 { b n } 的前 n 项和 S n


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