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【全程复习方略】2014年北师版数学文(陕西用)课时作业:第七章 第四节垂直关系]


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课时提升作业(四十三)
一、选择题 1.(2013·沈阳模拟)已知直线 l,m,平面α ,β ,且 l⊥α ,m ? β ,则“α ∥β ”是 “l⊥m”的 ( (A)充要条件 (C)必要不充分条件 ) (B)充

分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

2.(2013 ·铜川模拟 ) 已知直线 m,n 与平角 α , β , 若 α ⊥ β , α ∩ β =m,n ? α ,要使 n⊥β ,则应增加的条件是 ( (A)m∥n (C)n∥α (B)n⊥m (D)n⊥α )

3.(2013· 西安模拟)已知 a,b,c 为三条不重合的直线,下面有三个结论: ①若 a⊥b,a⊥c,则 b∥c;②若 a⊥b,a⊥c,则 b⊥c;③若 a∥b,b⊥c,则 a⊥c. 其中正确的个数为 ( (A)0 个 (B)1 个 ) (C)2 个 (D)3 个

4.已知两条直线 m,n,两个平面α ,β ,给出下面四个命题: ①m∥n,m⊥α ?n⊥α ; ②α ∥β ,m ? α ,n ? β ?m∥n;

③m∥n,m∥α ?n∥α ; ④α ∥β ,m∥n,m⊥α ?n⊥β . 其中正确命题的序号是 ( (A)①③ (B)②④ ) (C)①④ (D)②③

5.已知α ,β ,γ 是三个不同的平面,命题“α ∥β ,且α ⊥γ ?β ⊥γ ” 是真命题,如果把α ,β ,γ 中的任意两个换成直线 ,另一个保持不变 , 在所得的所有新命题中,真命题有 ( (A)0 个 (B)1 个 ) (D)3 个 )

(C)2 个

6.已知直线 m,n 和平面α ,β 满足 m⊥n,m⊥α ,α ⊥β ,则 ( (A)n⊥β (C)n⊥α (B)n∥β (D)n∥α 或 n ? α

7. 设 α , β , γ 为平 面 ,l,m,n 为直线 , 则 m ⊥ β 的一个 充分条 件为 ( )

(A)α ⊥β ,α ∩β =l,m⊥l (B)n⊥α ,n⊥β ,m⊥α (C)α ∩γ =m,α ⊥γ ,β ⊥γ (D)α ⊥γ ,β ⊥γ ,m⊥α 8.如图,PA⊥正方形 ABCD,下列结论中不正确的是 ( )

(A)PB⊥CB

(B)PD⊥CD

(C)PD⊥BD 二、填空题

(D)PA⊥BD

9.P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA,PB,PC 两两垂直,则下列命题:①PA ⊥BC; ②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正确的个数是 .

10.(2013· 汉中模拟)如图,PA⊥☉O 所在的平面,AB 是☉O 的直 径,C 是☉O 上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论: ①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC,其中真命题的 序号是 .

11.(2012 · 安 徽 高 考 ) 若 四 面 体 ABCD 的 三 组 对 棱 分 别 相 等 , 即 AB=CD,AC=BD,AD=BC,则 (写出所有正确结论的编号).

①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直; ②四面体 ABCD 每个面的面积相等; ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°而小 于 180°; ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分; ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边 长. 12.(2013·安庆模拟)如图,正方形 BCDE 的边长为 a,已知 AB= BC, 将直角△ABE 沿 BE 边折起,A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点,则对 翻折后的几何体有如下描述:

(1)AB 与 DE 所成角的正切值是 . (2)三棱锥 B-ACE 的体积是 a3. (3)AB∥CD. (4)平面 EAB⊥平面 ADE. 其中正确的叙述有 (写出所有正确结论的编号).

三、解答题 13.在如图所示的几何体中,四边形 ACC1A1 是矩形,FC1∥BC,EF∥A1C1,∠ BCC1=90°,点 A,B,E,A1 在一个平面内,AB=BC=CC1=2,AC=2 .

证明:(1)A1E∥AB. (2)平面 CC1FB⊥平面 AA1EB. 14.(2013·延安模拟)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底 面 ABCD 为菱形,其中 PA=PD=AD=2,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点. (1)求证:AD⊥平面 PQB. (2)若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PM= PC,求四棱锥 M-ABCD 的体积. 15.( 能力挑战题 ) 如图 , 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 , 底面 A1B1C1D1 是正方 形,O 是 BD 的中点,E 是棱 AA1 上任意一点.

(1)证明:BD⊥EC1. (2)如果 AB=2,AE= ,OE⊥EC1,求 AA1 的长.

答案解析
1.【解析】选 B.当α∥β,l⊥α时,有 l⊥β, 又 m ? β,故 l⊥m. 反之,当 l⊥m,m ? β时,不一定有 l⊥β, 故α∥β不一定成立. 因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件. 2.【解析】选 B.由面面垂直的性质定理可知,当 n⊥m 时,有 n⊥β. 3.【解析】选 B.①不对,b,c 可能异面;②不对,b,c 可能平行或异面; ③对,选 B. 4. 【解析】 选 C.对于①,由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直, 则另一条直线也与该平面垂直 ,因此①是正确的 ;对于② ,分别位于两 个平行平面内的两条直线必没有公共点 ,但它们不一定平行,因此②是

错误的;对于③,直线 n 可能位于平面α内,此时结论显然不成立,因此 ③是错误的;对于④,由 m⊥α且 α∥β得 m⊥β,又 m∥n,故 n⊥β,因此④是正确的. 5.【解析】选 C.若α,β换为直线 a,b,则命题化为“a∥b,且 a⊥γ?b ⊥γ”,此命题为真命题;若α,γ换为直线 a,b,则命题化为“a∥β, 且 a⊥b?b⊥β”,此命题为假命题.若β,γ换为直线 a,b,则命题化为 “a∥α,且 b⊥α?a⊥b”,此命题为真命题,故选 C. 6.【解析】选 D.如图所示,

图①中 n 与β相交,②中 n ? β,③中 n∥β,n∥α,∴排除 A,B,C,故选 D. 7.【解析】选 B.如图①知 A 错;如图②知 C 错;如图③在正方体中,两侧 面α与β相交于 l,都与底面γ垂直,γ内的直线 m⊥α,但 m 与β不垂直, 故 D 错.由 n⊥α,n⊥β知α∥β.又 m⊥α,故 m⊥β,因此 B 正确.

8.【解析】选 C.由 CB⊥BA,CB⊥PA,PA∩BA=A,知 CB⊥平面 PAB,故 CB ⊥PB,即 A 正确;同理 B 正确;由条件易知 D 正确.

9.【解析】如图所示.

∵PA⊥PC,PA⊥PB,PC∩PB=P, ∴PA⊥平面 PBC. 又∵BC ? 平面 PBC,∴PA⊥BC. 同理 PB⊥AC,PC⊥AB.但 AB 不一定垂直于 BC. 答案:3 10.【解析】①AE ? 平面 PAC,BC⊥AC,BC⊥PA?AE⊥BC,故①正确;②易 知 AE⊥PB,又 AF⊥PB?EF⊥PB,故②正确;③若 AF⊥BC?AF⊥平面 PBC, 则 AF∥AE,与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确. 答案:①②④ 11.【解析】①错误,当 AB=4,AC=3,AD=3 时,AC 与 BD 不垂直; ②正确,在△ABC 与△CDA 中,AB=CD,AD=BC,AC=AC,故△ABC 与△CDA 全 等;同理四面体的四个面都全等,故四面体 ABCD 每个面的面积相等; ③错误,根据四面体的四个面都全等可得从四面体 ABCD 每个顶点出发 的三条棱两两夹角为一个三角形的三个内角,故其和为 180°;④正确, 如图所示,E,F,G,H 是所在边的中点时,四边形 EFGH 为菱形,故 EG 与 FH 互相垂直平分,同理可得连接四面体 ABCD 的每组对棱中点 的线段相互垂直平分;⑤正确,因为 AD=BC,AB=CD,AC=BD,所以从

四面体 ABCD 的顶点 A 出发的三条棱的长可组成△BCD,同理可得从四面 体 ABCD 的每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长. 答案:②④⑤ 12.【解析】翻折后得到的直观图如图所示. AB 与 DE 所成的角也就是 AB 与 BC 所成的角,即为∠ABC. 因为 AD⊥平面 BCDE, 所以平面 ADC⊥平面 BCDE. 又因为四边形 BCDE 为正方形, 所以 BC⊥CD. 可得 BC⊥平面 ACD. 所以 BC⊥AC. 因为 BC=a,AB= BC= a, 则 AC= = a.

在 Rt△ABC 中,tan∠ABC= = .故(1)正确; 由 AD= =a,可得

VB-ACE=VA-BCE= × a2〃a= ,故(2)正确; 因为 AB 与 CD 异面,故(3)错; 因为 AD⊥平面 BCDE,所以平面 ADE⊥平面 BCDE. 又 BE⊥ED,所以 BE⊥平面 ADE,故平面 EAB⊥平面 ADE,故(4)正确. 答案:(1)(2)(4) 13.【证明】(1)∵四边形 ACC1A1 是矩形, ∴A1C1∥AC.又 AC ? 平面 ABC,A1C1?平面 ABC,

∴A1C1∥平面 ABC. ∵FC1∥BC,BC ? 平面 ABC,∴FC1∥平面 ABC. 又∵A1C1,FC1 ? 平面 A1EFC1, ∴平面 A1EFC1∥平面 ABC. 又∵平面 ABEA1 与平面 A1EFC1、平面 ABC 的交线分别是 A1E,AB,∴A1E∥ AB. (2)∵四边形 ACC1A1 是矩形,∴AA1∥CC1. ∵∠BCC1=90°,即 CC1⊥BC,∴AA1⊥BC. 又∵AB=BC=2,AC=2 ,∴AB2+BC2=AC2. ∴∠ABC=90°,即 BC⊥AB. ∵AB,AA1 ? 平面 AA1EB,且 AB∩AA1=A, ∴BC⊥平面 AA1EB.而 BC ? 平面 CC1FB, ∴平面 CC1FB⊥平面 AA1EB. 14.【解析】(1)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴AD ⊥PQ,又 ∵∠BAD=60°,底面 ABCD 为菱形,Q 为 AD 的中 点, ∴AD⊥BQ, ∵PQ∩BQ=Q, 所以 AD⊥平面 PQB. (2)连接 QC,作 MH⊥QC 于 H. ∵PA=PD=AD=2,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD,

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD,∴PQ⊥QC, 又 MH⊥QC,∴PQ∥MH.于是 MH⊥平面 ABCD, 又 PM= PC,∴MH= PQ= × ×2= , 所以,VM-ABCD= × AC×BD×MH = ×2 ×2× =1. 15.【解析】(1)连接 AC,A1C1.

由底面是正方形知,BD⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD, 所以 AA1⊥BD. 又由 AA1∩AC=A,所以 BD⊥平面 AA1C1C. 再由 EC1 ? 平面 AA1C1C 知,BD⊥EC1. (2)设 AA1 的长为 h,连接 OC1. 在 Rt△OAE 中,AE= ,AO= , 故 OE2=( )2+( )2=4.

在 Rt△EA1C1 中,A1E=h- ,A1C1=2 , 故 E =(h- )2+(2 )2. 在 Rt△OCC1 中,OC= ,CC1=h,O =h2+( )2. 因为 OE⊥EC1,所以 OE2+E =O , 即 4+(h- )2+(2 )2=h2+( )2, 解得 h=3 ,所以 AA1 的长为 3 .

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