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2.1曲线的参数方程


第二讲 参数方程

1.参数方程的概念

一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投 放时机呢? 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时,开始 投放物资?
如图,建立平面直角坐标系。 x表示物资的水平位移量, y表示物资距地面

的高度,

投放点

由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动,
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。



救援点

物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成: (1)沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动; (2)沿oy反方向作自由落体运动。 在这个运动中涉及到哪几个变量?这些变量之间有 什么关系? y t时刻,水平位移为x=100t, 500 2 离地面高度y,即:y=500-gt /2, ? x ? 100t , ? ? 1 2 y ? 500 ? gt . ? ? 2 物资落地时,应有y=0, o x 即500-gt2/2=0,解得,t≈10.10s,得x≈10.10m;
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资,可以使其准确落在指定位置。

参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果 曲线C上任意一点P的坐标x,y都可以表示 为某个变量t的函数 ? x ? f (t ),

??? ? ? y ? g (t ),

反过来,对于t的每一个允许值,由函 数式 ??? 所确定的点P(x,y)都在曲线C上,
那么方程 ??? 叫做曲线C的参数方程, 变量t是参变数,简称参数。

?

x ? 100 t
1 2 y ? 500 - gt 2
( 0 ? t ? 10 )

x,y的间接联系

参数方程

x2 y?? 500 , 2000 ( 0 ? x ? 1000 )

普通方程
x,y的直接联系

?x ? 3t 例1: 已知曲线C的参数方程是 ? y ? 2 t 2 ? 1 (为参数) ?

(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系;

(2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。
解:(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组,解得t=0,所 以M1在曲线上.
? 5 ? 3t 把点M2的坐标(5,4)代入方程组,得到 ?4 ? 2t 2 ? 1 ?

这个方程无解,所以点M2不在曲线C上.
?6 ? 3t (2)因为点M3(6,a)在曲线C上,所以 ? 2 a ? 2 t ?1 ?

解得t=2, a=9 所以,a=9.

练习

?x ? 1 ? t 2 与x轴的交点坐标是( 1、曲线 ? y ? 4t ? 3(t为参数) ?

B)

A(1,4); B (25/16, 0)

C(1, -3)

D(±25/16, 0)

? x ? sin? (?为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( 2、方程? ? y ? cos?

D)

A(2,7); B(1/3, 2/3) 3

C(1/2, 1/2)

D(1,0)

? x ? 1 ? 2t 已知曲线C的参数方程是? y ? at 2 (t为参数,a ? R)点M(5,4) ?

该曲线上. (1)求常数a; (2)求曲线C的普通方程 (1)由题意可知: 1+2t=5,at2=4;a=1,t=2; x ?1 ( 2 )t ? 代入第二个方程得: y=(x-1)2/4 2

4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速 度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹 参数方程. 解:设动点M (x,y) 运动时间为t,依题意,得
? x ? 1 ? 5t ? ? y ? 2 ? 12t

5、由方程x ? y ? 4tx ? 2ty ? 5t ? 4 ? 0( t为
2 2 2

参数)所表示的一族圆的圆心 轨迹是
A 一个定点 C 一条抛物线 B 一个椭圆 D 一条直线

D

圆的参数方程

圆周运动中,当物体绕定轴作匀速 运动时,物体上的各个点都作匀速圆周 运动, y

怎样刻画运 动中点的位置 呢?

M(x, y) r

?
o

M0

x

如果在时刻t,点M转过的角度是θ,坐标是M(x, y),
那么θ=ωt. 设|OM|=r,那么由三角函数定义,有

x y cos ?t ? ,sin ?t ? r r x ? r cos ?t ? 即 ? (t为参数) ? y ? r sin ?t
这就是圆心在原点O,半径为r 的圆的参数方程 参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻) 考虑到θ=ωt,也可以取θ为参数,于是有
? x ? r cos ? (? 为参数) ? ? y ? r sin ?

圆心为原点半径为r 的圆的参数方程. ? x ? r cos ? (? 为参数) ? ? y ? r sin ?
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时,OM0转过的角度
y

圆心为O1 (a, b) , 半径为r 的圆的参数方程
? x ? a ? r cos? (?为参数) ? ? y ? b ? r sin?
b
v O

P r ?y
a

x

x

一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数, 另外,要注明参数及参数的取值范围。

例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。 解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,为

(x+1)2+(y-3)2=1
? x ? ?1 ? cos? ∴参数方程为 ? ? y ? 3 ? sin?

(θ为参数)

3 2 练习: 判断点A( 2,0), B( 2 ,? ), C (1,3)是否在曲线 2 ? x ? 2 cos? (?为参数,0 ? ? ? 2? )上, 若在曲线上, 求 ? ? y ? 3 sin? 出它对应的参数值.

例2 如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0) 是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O作匀速圆周 运动时,求点M的轨迹的参数方程。 y P 解:设点M的坐标是(x, y), M ? ?xOP ? ? Q o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
2 cos ? ? 6 2sin ? x? ? 3 ? cos ? , y ? ? sin ? 2 2

因此,点M的轨迹的参数方程是
? x ? 3 ? cos ? , (? 为参数) ? ? y ? sin ? .

例3 已知x、y满足( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,求 S ? 3 x ? y 的最大值和最小值.
? x ? 1 ? 2cos ? , (? 为参数) 解:由已知圆的参数方程为 ? ? y ? ?2 ? 2sin ? .

所以S ? 3x ? y ? 3(1 ? 2cos ? ) ? (?2 ? 2sin ? ) ? 5 ? 6cos ? ? 2sin ? ? 5 ? 2 10 cos(? ? ? ) 1 (tan ? ? ) 3

Smax ? 5 ? 2 10, Smin ? 5 ? 2 10

? x ? 2 ? cos ? 1 P(x, y)是曲线 ? y ? sin ? (α为参数)上任意一点,则 ?

练习

( x ? 5) ? ( y ? 4) 的最大值为( A )
2 2

A.36

B.6

C.26

D.25

y ? x ? cos ? ? 2 2 点P(x, y)是曲线? y ? sin ? (? 为参数)上任意一点,则 x ?

的最大值为( A 1
2 2

D)
B 2 C 3 D
3 3
2

3 圆 x ? y ? 4Rx cos ? ? 4Ry sin ? ? 3R ? 0( R ? 0) 的圆心的轨迹是( A ) A.圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线

? x ? 2cos ? ? 1 (? 为参数)上任意一点,则 4 点P(x, y)是曲线? ? y ? 2sin ? ? 1
x 2 ? y 2 的最大值为

2? 2 .

2 2 x ? y ? 16 上一个动点,定点A(12, 0), 5 已知点P是圆

点M在线段PA上,且2|PM|=|MA|,当点P在圆上运动 时,求点M的轨迹. 解:设点M的坐标是(x, y), ?xOP ? ? 则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ). ∵2|PM|=|MA|, ∴由题设
???? ? 2 ??? ? 2 AM ? AP ∴(x-12, y)= (4 cos ? ? 12, 4sin ? ) 3 3

.

8 ? x ? 4 ? cos ? , ? ? 3 (? 为参数) ? 8 ? 因此,点M的轨迹的参数方程是 y ? sin ? . ? 3 ?

8 8 x ? 4 ? cos ? , y ? sin ? 3 3

参数方程和 普通方程的互化

思考:参数方程 ? x ? cos ? ? 3 ? y ? sin ? ? 表示什么曲线?

? x ? cos? ? 3, 由参数方程 ? (? 为参数)直接判断点M 的轨迹的 ? y ? sin ? 曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程,则比较简单。

由参数方程得: ?cos? ? x ? 3 2 2 2 2 ,sin ? ? cos ? ? ( x ? 3) ? y ? 1 ? ?sin ? ? y 所以点M 的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。

例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们 各表示什么曲线?
? ?x= sin ? ? cos? ?x= t ? 1 (1)? (t为参数) (2)? (? 为参数). ? y ? 1 ? sin 2? ? ? y ? 1? 2 t

解: (1)由 x ? t ? 1 ? 1 得 t ? x ? 1 代入 y ? 1 ? 2 t 得到 y ? ?2 x ? 3( x ? 1)
这是以(1,1)为端点的一条射线;

? ( 2) x ? sin? ? cos? ? 2 sin( ?? ) 所以x ? ?? 2 , 2 ? 4 把 x ? sin? ? cos?平方后减去y ? 1 ? sin2?
2 x 得到 ? y

x ? ? 2, 2

?

?

这是以(- 2, 2),( 2,为端点的一段抛物线 2)

练习、将下列参数方程化为普通方程: ? x ? 2 ? 3 cos? ? x ? sin ? (2) ? (1) ? y ? 3 sin ? ? ? y ? cos2?

x=t+1/t (3)
y=t2+1/t2

步骤: (1)消参; (2)求定义域。 (2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1)

(1)(x-2)2+y2=9

(3)x2- y=2(x≥2或x≤- 2)
注意:在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致。否则,互化就是不等价的.

x2 y2 ? 1 的参数方程: 例2 求椭圆 ? 9 4

解:(1)设 x ? 3cos? ,? 为参数;

(2)设 y ? 2t , t 为参数.

为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程?

练习: 1、曲线y=x2的一种参数方程是( D ).
2 ? x ? t ? A、 ? 4 y ? t ? ?

? x ? sin t B、 ? 2 y ? sin t ?

?x ? t ? C、 ? ? ?y ? t

?x ? t D、 ? 2 y ? t ?

分析: 在y=x2中,x∈R, y≥0, 在A、B、C中,x,y的范围都发生了变化, 因而与 y=x2不等价; 而在D中, x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,

? ?x ? t 2后满足该方程, 代入 y=x 且以 ? 2 ? ?y ? t
从而D是曲线y=x2的一种参数方程.

2、求参数方程
? ? ? x ? | cos ? sin |, ? ? 2 2 (0 ? ? ? 2? ) 表示 ( B ) ? ? y ? 1 (1 ? sin ? ) ? ? 2
1 (B)抛物线的一部分,这部分过( 1, ); 2 1 (C)双曲线的一支,这支过点(–1, ); 2
1 (A)双曲线的一支,这支过点(1, ): 2

1 (D)抛物线的一部分,这部分过(–1, ) 2

分析 一般思路是:化参数方程为普通方程 求出范围、判断。
解 ?x2= (cos
?
? sin ) 2 =1+sin?=2y, 2 2

?

?普通方程是x2=2y,为抛物线。

? x ?| cos ? sin |? 2 sin( ? )
2 2 2 4

?

?

?

?

又0<?<2?,?0<x ? 2

故应选 (B)

说明: 这里切不可轻易去绝对值讨论, 平方法是最好的方法。

练习 把下列普通方程化为参数方程:
(1) y ? x ? y ?1 ? 0 ,设 y ? t ? 1,t为参数;
2

(2) x ? y ? a

1 2

1 2

1 2

,设

? 为参数。 x ? a cos ? ,
4

练习 把下列参数方程化为普通方程
1 ? x ? 2 ( t ? ) ? ? t (1)? ? y ? 3( t 2 ? 1 ) ? t2 ?
1 ? x ? t ? , ? ? t ( 2)? (t为参数) ?y ? t ? 1 . ? t ?

? ? x ? 1 ? 2 t (t是参数) ? x ? 5cos ? (3) ? (?为参数) (4)? ? ?y ? 3? 4 t ? y ? 3sin ?

? x ? 4 sin? 练习 P是双曲线 ? (t是参数)上任一点, ? y ? 3 tan?
F1, F2是该焦点:求△PF1F2的重心G的轨迹的普通方程。

小结
1. 参数方程的概念; 2. 圆的参数方程; 3. 参数方程与普通方程的互化.


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