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江西省宜春中学2015-2016学年高二上学期入学数学试卷(文科)


2015-2016 学年江西省宜春中学高二(上)入学数学试卷(文科)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|0<2 <1},B={x|log3x>0},则 A∩(?UB)=( A.{x|x>1} B.{x|x>0} C.{x|0<x<1} D.{x|x<0}
x

/>)

2.已知 m=0.9 ,n=5.1 ,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是( A.m<n<p B.m<p<n C.p<m<n D.p<n<m

5.1

0.9

)

3.函数 y=log A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣∞,﹣1] C. (﹣∞,2) D. (5,+∞)

(x ﹣4x﹣5)的单调递增区间为(

2

)

4.将圆 x +y ﹣2x﹣4y+1=0 平分的直线是( A.x+y﹣1=0 B.x+y+3=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y+3=0

2

2

)

5.下列说法正确的是(

)

A.若 a>b,则 < B.函数 f(x)=e ﹣2 的零点落在区间(0,1)内 C.函数 f(x)=x+ 的最小值为 2 D.若 m=4,则直线 2x+my+1=0 与直线 mx+8y+2=0 互相平行
x

6.定义在 R 上的偶函数 f(x) ,对任意 x1,x2∈ 10.设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=﹣f(x) ,且当 x∈时,f(x)= ,则 f(107) = ( A.10 B.﹣10 C. D.﹣ )

11.函数 y=

(0<φ <

)的图象如图,则

(

)

A.k= ,ω = ,φ = B.k= ,ω = ,φ = C.k=﹣ ,ω =2,φ = D.k=﹣2,ω =2,φ =

12. 曲线 y=1+

(x∈) 与直线 y=k (x﹣2) +4 有两个公共点时, k 的取值范围是(

)

A. (0, B.



二、填空题(每题 5 分,满分 20 分) 13.集合 M、N 分别是 f(x)= ∪N=__________. 和 g(x)=log3(﹣x +2x+8)的定义域.则(?RM)
2

14.直线 l 的方向向量为 __________.

且过点(﹣1,2) ,则直线 l 的一般式方程为

15. 设 x, y∈R, 向量 = (x, 1) ,= (1, y) ,= (2, ﹣4) 且 ⊥ ,∥ , 则| + |=__________.

16. 在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 距离大于 1 的概率为__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知向量 =( cosx,0) , =(0,sinx) .记函数 f(x)=( + ) 十
2

sin2x.

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小值及取最小值时 x 的集合; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调递增区间.

18.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图 如图: 分组 频数 频率

上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

21.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点 E、F 分 别为棱 AB、PD 的中点. (Ⅰ)求证:AF∥平面 PCE; (Ⅱ)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (Ⅲ)求三棱锥 C﹣BEP 的体积.

22.若定义在 R 上的函数 f(x)满足:①对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+1; ②当 x<0 时,f(x)>﹣1. (1)试判断函数 f(x)+1 的奇偶性; (2)试判断函数 f(x)的单调性; (3)若不等式 的解集为{a|﹣3<a<2},求 f(4)的值.

2015-2016 学年江西省宜春中学高二(上)入学数学试卷(文科)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|0<2 <1},B={x|log3x>0},则 A∩(?UB)=( A.{x|x>1} B.{x|x>0} C.{x|0<x<1} D.{x|x<0} 考点:交、并、补集的混合运算.
x

)

专题:计算题. 分析:解指数不等式可以求出集合 A,解对数不等式可以求出集合 B,进而求出?UB,根据集合 并集运算的定义,代入可得答案. 解答: 解:∵A={x|0<2 <1}{x|x<0}, B={x|log3x>0}={x|x>1}, 所以 CUB={x|x≤1}, ∴A∩(CUB)={x|x<0}. 故选 D 点评: 本题考查的知识点是集合的交并补集的混合运算, 其中解指数不等式和对数不等式分别 求出集合 A,B,是解答本题的关键.
x

2.已知 m=0.9 ,n=5.1 ,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是( A.m<n<p B.m<p<n C.p<m<n D.p<n<m 考点:对数值大小的比较;指数函数的单调性与特殊点. 专题:计算题. 分析:可从三个数的范围上比较大小 解答: 解:设函数 f(x)=0.9 ,g(x)=5.1 ,h(x)=log0.9x 则 f(x)单调递减,g(x)单调递增,h(x)单调递减 ∴0<f(5.1)=0.9 <0.9 =1,即 0<m<1 g(0.9)=5.1 >5.1 =1,即 n>1 h(5.1)=log0.95.1<log0.91=0,即 p<0 ∴p<m<n 故选 C
0.9 0 5.1 0 x x

5.1

0.9

)

点评:本题考查对数值比较大小,可先从范围上比较大小,当从范围上不能比较大小时,可借 助函数的单调性数形结合比较大小.属简单题

3.函数 y=log A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣∞,﹣1] C. (﹣∞,2) D. (5,+∞)

(x ﹣4x﹣5)的单调递增区间为(

2

)

考点:复合函数的单调性. 专题:函数的性质及应用. 分析:令 t=x ﹣4x﹣5>0,求得函数的定义域,y=log
2

t,本题即求函数 t 在定义域内的减

区间,再利用二次函数的性质可得 t 在定义域的减区间. 解答: 解:令 t=x ﹣4x﹣5>0,求得 x<﹣1 或 x>5,故函数的定义域为{x|x<﹣1 或 x >5},y=log t,
2

故本题即求函数 t 在定义域内的减区间. 再利用二次函数的性质可得 t 在定义域{x|x<﹣1 或 x>5}内的减区间为(﹣∞,﹣1) , 故选:A. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性, 对数函数、 二次函数的性质, 体现了转化的数学思想, 属于基础题.

4.将圆 x +y ﹣2x﹣4y+1=0 平分的直线是( A.x+y﹣1=0 B.x+y+3=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y+3=0 考点:直线与圆相交的性质. 专题:计算题.

2

2

)

分析:将圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,由所求直线要将圆平分,得到所求直线过圆 心,故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验,即可得到满足题意的直线方程. 解答: 解:将圆的方程化为标准方程得: (x﹣1) +(y﹣2) =4, 可得出圆心坐标为(1,2) , 将 x=1,y=2 代入 A 选项得:x+y﹣1=1+2﹣1=2≠0,故圆心不在此直线上;
2 2

将 x=1,y=2 代入 B 选项得:x+y+3=1+2+3=6≠0,故圆心不在此直线上; 将 x=1,y=2 代入 C 选项得:x﹣y+1=1﹣2+1=0,故圆心在此直线上; 将 x=1,y=2 代入 D 选项得:x﹣y+3=1﹣2+3=2≠0,故圆心不在此直线上, 则直线 x﹣y+1=0 将圆平分. 故选 C 点评:此题考查了直线与圆相交的性质,以及圆的标准方程,其中根据题意得出将圆 x +y ﹣ 2x﹣4y+1=0 平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键.
2 2

5.下列说法正确的是( A.若 a>b,则 <

)

B.函数 f(x)=e ﹣2 的零点落在区间(0,1)内 C.函数 f(x)=x+ 的最小值为 2 D.若 m=4,则直线 2x+my+1=0 与直线 mx+8y+2=0 互相平行 考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题. 分析:A 中取特值,a 正 b 负即可判断;B 中由根的存在性定理只需判断 f(0)f(1)的符号; C 中注意检验基本不等式求最值时等号成立的条件;D 中可先求出“直线 2x+my+1=0 与直线 mx+8y+2=0 互相平行”的充要条件. 解答: 解:若 a=1,b=﹣1,不等式不成立,排除 A; f(0)?f(1)=﹣2(e﹣2)<0,而且函数 f(x)在区间(0,1)内单增,所以 f(x)在区 间(0,1)内存在唯一零点,B 正确; 令 x=﹣1,则 f(x)=﹣2,不满足题意,C 错; 若 m=4,则直线重合,D 错; 故选:B. 点评:本题考查不等式性质、基本不等式求最值、函数的零点问题、充要条件的判断等知识, 考查知识点较多,属于中档题.

x

6.定义在 R 上的偶函数 f(x) ,对任意 x1,x2∈+

= 故选:B. 点评: 本题主要考查分段函数函数值的求法. 解决这类问题的关键在于先判断出变量所在范围, 再代入对应的解析式即可.

8.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为(

)

A. B. C. D. 考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知: 该几何体是一个棱长和底面边长都是 2 的正三棱锥砍去一个三棱锥得到 的几何体.据此即可得到体积. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个棱长和底面边长都是 2 的正三棱锥砍去一个三 棱锥得到的几何体. = = = . ﹣

故选 B.

点评:由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.

9.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是( A.16π B.20π C.24π D.32π 考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;综合题. 分析:先求正四棱柱的底面边长,然后求其对角线,就是球的直径,再求其表面积. 解答: 解:正四棱柱高为 4,体积为 16,底面积为 4,正方形边长为 2, 正四棱柱的对角线长即球的直径为 2 ∴球的半径为 故选 C. ,

)

,球的表面积是 24π ,

点评:本题考查学生空间想象能力,四棱柱的体积,球的表面积,容易疏忽的地方是几何体的 体对角线是外接球的直径,导致出错.

10.设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=﹣f(x) ,且当 x∈时,f(x)= ,则 f(107) = ( A.10 B.﹣10 C. )

D.﹣ 考点:抽象函数及其应用. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:由题设条件知 f(x+6)=f(x) ,由此结合函数的周期性,偶函数,利用当 x∈时,f(x) = ,能求出 f(107) . 解答: 解:∵对任意 x∈R,都有 f(x+3)=﹣f(x) , ∴f(x+6)=﹣f(x+3)=f(x) , ∴函数 f(x)的周期是 6, ∴f(107)=f(18×6﹣1)=f(﹣1)=f(1)= 故选:C. 点评:本题主要考查了函数周期性,以及赋值法的应用,同时考查了等价转化的能力,属于基 础题.

11.函数 y=

(0<φ <

)的图象如图,则

(

)

A.k= ,ω = ,φ = B.k= ,ω = ,φ = C.k=﹣ ,ω =2,φ = D.k=﹣2,ω =2,φ = 考点:由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:用待定系数法求出 k 的值,由周期求出 ω ,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数的解 析式.

解答: 解:把(﹣2,0)代入 y=kx+1,求得 k= . 再根据 ? = ﹣ =π ,可得 ω = . +φ =π ,求得 φ = ,

再根据五点法作图可得 × 故选:A.

点评:本题主要考查由函数 y=Asin(ω x+φ )的部分图象求解析式,属于基础题.

12. 曲线 y=1+ A. (0, B. )

(x∈) 与直线 y=k (x﹣2) +4 有两个公共点时, k 的取值范围是(

)

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:如图所示,曲线 y=1+ (x∈) ,化为 x +(y﹣1) =4(1≤y≤3) .直线 y=k(x
2 2

﹣2)+4 经过定点(2,4) .当经过点 P 的直线斜率存在时,设直线方程为 y﹣4=k(x﹣2) ,由 点到直线的距离公式可得:圆心(0,1)到直线的距离 d<2,当直线经过点(﹣2,1)时, k= .即可得出. 解答: 解:如图所示, 曲线 y=1+
2 2

(x∈) ,

化为 x +(y﹣1) =4(1≤y≤3) . 直线 y=k(x﹣2)+4 经过定点(2,4) . 直线 x=2 与半圆 y=1+ 相切于一点(2,1) ;

当经过点 P 的直线斜率存在时,设直线方程为 y﹣4=k(x﹣2) , 则圆心(0,1)到直线的距离 d= <2,

解得

. = .

当直线经过点(﹣2,1)时,k=

综上可得:k 的取值范围是 故选:D.



点评:本题考查了直线与圆相交相切问题、斜率计算公式,考查了数形结合思想方法与计算能 力,属于中档题.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分) 13.集合 M、N 分别是 f(x)= ∪N=(﹣2,5) . 和 g(x)=log3(﹣x +2x+8)的定义域.则(?RM)
2

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:求出 f(x)与 g(x)的定义域确定出 M 与 N,找出 M 补集与 N 的并集即可. 解答: 解:由 f(x)= ,得到 x ﹣4x﹣5≥0,即(x﹣5) (x+1)≥0,
2

解得:x≤﹣1 或 x≥5,即 M=(﹣∞,﹣1]∪,其中 k∈Z. 点评:本题以向量为载体,求三角函数的最值并讨论单调区间,着重考查了平面向量的坐标运 算、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.

18.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图 如图: 分组 频数 频率

(Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组

点评:本题考查频率分步直方图,考查用样本估计总体,考查等可能事件的概率,考查频率, 频数和样本容量之间的关系,本题是一个基础题.

19.已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =4, (Ⅰ)若直线 l1 过定点 A(1,0) ,且与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ)若圆 D 的半径为 3,圆心在直线 l2:x+y﹣2=0 上,且与圆 C 外切,求圆 D 的方程.

2

2

考点:圆的标准方程;圆的切线方程. 专题:计算题. 分析: (I)由直线 l1 过定点 A(1,0) ,故可以设出直线的点斜式方程,然后根据直线与圆相 切,圆心到直线的距离等于半径,求出 k 值即可,但要注意先讨论斜率不存在的情况,以免 漏解. (II)圆 D 的半径为 3,圆心在直线 l2:x+y﹣2=0 上,且与圆 C 外切,则设圆心 D(a,2﹣a) , 进而根据两圆外切,则圆心距等于半径和,构造出关于 a 的方程,解方程即可得到答案. 解答: 解: (Ⅰ)①若直线 l1 的斜率不存在,即直线是 x=1,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k=0. 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即

解之得



所求直线方程是 x=1,3x﹣4y﹣3=0. (Ⅱ)依题意设 D(a,2﹣a) ,又已知圆的圆心 C(3,4) ,r=2, 由两圆外切,可知 CD=5

∴可知 解得 a=3,或 a=﹣2, ∴D(3,﹣1)或 D(﹣2,4) ,

=5,

∴所求圆的方程为(x﹣3) +(y+1) =9 或(x+2) +(y﹣4) =9. 点评:本题考查的知识点是圆的方程,直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系,其中(1) 的关键是根据直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,构造出关于 k 的方程, (2)的关 键是根据两圆外切,则圆心距等于半径和,构造出关于 a 的方程.

2

2

2

2

20.若二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2

考点:函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)由二次函数可设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,由 f(0)=1 求得 c 的值,由 f(x+1) ﹣f(x)=2x 可得 a,b 的值,即可得 f(x)的解析式; (2)欲使在区间上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,只须 x ﹣3x+1﹣m>0 在区间上恒成立,也 就是要 x ﹣3x+1﹣m 的最小值大于 0,即可得 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意可知,f(0)=1,解得,c=1, 由 f(x+1)﹣f(x)=2x.可知,﹣(ax +bx+1)=2x, 化简得,2ax+a+b=2x, ∴ ,
2 2 2 2

∴a=1,b=﹣1. ∴f(x)=x ﹣x+1; (2)不等式 f(x)>2x+m,可化简为 x ﹣x+1>2x+m, 即 x ﹣3x+1﹣m>0 在区间上恒成立, 设 g(x)=x ﹣3x+1﹣m,则其对称轴为 ∴g(x)在上是单调递减函数. 因此只需 g(x)的最小值大于零即可,
2 2 2 2



g(x)min=g(1) , ∴g(1)>0, 即 1﹣3+1﹣m>0,解得,m<﹣1, ∴实数 m 的取值范围是 m<﹣1. 点评: 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式, 以及函数的恒成立与函数的最 值求解的相互转化,主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用.属于中档题.

21.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点 E、F 分 别为棱 AB、PD 的中点. (Ⅰ)求证:AF∥平面 PCE; (Ⅱ)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (Ⅲ)求三棱锥 C﹣BEP 的体积.

考点:直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质;平面与平 面垂直的判定. 专题:证明题. 分析: (Ⅰ)欲证 AF∥平面 PCE,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 AF 与平面 PCE 内一直线平行,取 PC 的中点 G,连接 FG、EG,AF∥EG 又 EG? 平面 PCE,AF?平面 PCE,满足 定理条件; (Ⅱ) 欲证平面 PCE⊥平面 PCD, 根据面面垂直的判定定理可知在平面 PCE 内一直线与平面 PCD 垂直,而根据题意可得 EG⊥平面 PCD; (Ⅲ)三棱锥 C﹣BEP 的体积可转化成三棱锥 P﹣BCE 的体积,而 PA⊥底面 ABCD,从而 PA 即为 三棱锥 P﹣BCE 的高,根据三棱锥的体积公式进行求解即可. 解答: 解:证明: (Ⅰ)取 PC 的中点 G,

连接 FG、EG ∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG CD

∵四边形 ABCD 为矩形, E 为 AB 的中点 ∴AE ∴FG CD AE

∴四边形 AEGF 是平行四边形 ∴AF∥EG 又 EG? 平面 PCE,AF?平面 PCE ∴AF∥平面 PCE (Ⅱ)∵PA⊥底面 ABCD ∴PA⊥AD,PA⊥CD, 又 AD⊥CD,PA∩AD=A ∴CD⊥平面 ADP 又 AF? 平面 ADP, ∴CD⊥AF 在 RT△PAD 中,∠PDA=45° ∴△PAD 为等腰直角三角形, ∴PA=AD=2 ∵F 是 PD 的中点,∴AF⊥PD,又 CD∩PD=D ∴AF⊥平面 PCD ∵AF∥EG, ∴EG⊥平面 PCD,又 EG? 平面 PCE ∴平面 PCE⊥平面 PCD (Ⅲ)PA⊥底面 ABCD 在 Rt△BCE 中,BE=1,BC=2, ∴三棱锥 C﹣BEP 的体积 VC﹣BEP=VP﹣BCE= =

点评:本题主要考查了直线与平面平行的判定,以及平面与平面垂直的判定和三棱锥的体积, 属于中档题.

22.若定义在 R 上的函数 f(x)满足:①对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+1; ②当 x<0 时,f(x)>﹣1. (1)试判断函数 f(x)+1 的奇偶性; (2)试判断函数 f(x)的单调性; (3)若不等式 的解集为{a|﹣3<a<2},求 f(4)的值.

考点:抽象函数及其应用;函数单调性的性质;奇偶性与单调性的综合. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)令 x=y=0 得 f(0)=﹣1,再令 y=﹣x? f(0)=f(x)+f(﹣x)+1=﹣1? f(﹣x) +1=﹣,从而可判断 f(x)+1 的奇偶性; (2)任取 x1,x2∈(﹣∞,+∞)且 x1<x2,作差可求得 f(x2)﹣f(x1)=﹣,利用已知“当 x<0 时,f(x)>﹣1”即可判断函数 f(x)的单调性; (3)依题意,f(a +a﹣5)>﹣ =f (m)的解集为(﹣3,2) ,可求得 m 的值,继而可求得 f(4)的值. 解答: 解: (1)令 x=y=0 得 f(0)=﹣1, 再令 y=﹣x,f(0)=f(x)+f(﹣x)+1=﹣1, ∴f(﹣x)+1=﹣, ∴y=f(x)+1 是奇函数; (2)任取 x1,x2∈(﹣∞,+∞)且 x1<x2, 则 f(x2)﹣f(x1)=f﹣f(x1) =f(x2﹣x1)+f(x1)+1﹣f(x1) =f(x2﹣x1)+1
2

=﹣, ∵x1﹣x2<0 时,f(x1﹣x2)>﹣1, ∴f(x1﹣x2)+1>0, ∴f(x2)﹣f(x1)<0, 即:f(x2)<f(x1) , ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递减; (3)∵f(a +a﹣5)>﹣ =f(m) , 由(2)知:a +a﹣5<m 的解集为(﹣3,2) , ∴m=1,即 f(1)=﹣ , ∴f(2)=﹣2,f(4)=﹣3. 点评:本题考查抽象函数及其应用,着重考查函数的奇偶性与单调性的判断及综合应用,属于 难题.
2 2


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