tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

第十二章 概率与统计


【数学精品】2013 版《6 年高考 4 年模拟》 第十二章 概率与统计

第一部分 六年高考荟萃 2012 年高考题
1 . (2012 辽宁理)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,领边长分别等于 线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm2 的概率为 ( ) A.

1 6

>B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5

【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为

x cm, 则线段 CB 的长为 ( 12 ? x )cm, 那么矩形的面积为

x(12 ? x) cm2,
由 x(12 ? x) ? 32 ,解得 x ? 4或x ? 8 .又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm2 的概率为

2 , 3

故选 C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的 能力,属于中档题. 2 . (2012 湖北理)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部 分的概率是 ( ) A. 1 ? C.

2 π

B.

1 1 ? 2 π

2 1 D. π π 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.

解析:令 OA ? 1 ,扇形 OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为 S1 ,围成 OC 为

S2 ,作对称轴 OD,则过 C 点. S2 即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形
S 1 ?1? 1 1 1 ? ?2 OAC 的面积, S2 ? ? ? ? ? ? ? ? .在扇形 OAD 中 1 为扇 2 2 ? 2? 2 2 2 8
形 面 积 减 去 三 角 形 OAC 面 积 和
2

S 2 S1 1 ? ?2 1 1 S ? ?2 2 ? ? ?1? ? ? 2 ? , , S1 ? S 2 ? ,扇形 OAB 面积 S ? ? ,选 A. 2 2 8 4 4 8 2 16
3 . (2012 广东理) (概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 ( ) A.

4 9

B.

1 3

C.

2 9

D.

1 9

解析:D.两位数共有 90 个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有 45 个,个位数为 0 的有 5 个,所以概率为

5 1 ? . 45 9

4 . (2012 北京理)设不等式组 ?

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个 ?0 ? y ? 2
( )

点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 A.

? 4

B.

? ?2
2

C.

? 6

D.

4 ?? 4

【答案】D 【解析】 题目中 ?

? ?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 2

表示的区域表示正方形区域,而动点 D 可以存在的位置为正方形

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 面积减去四分之一的圆的面积部分,因此 p ? ,故选 D ? 2? 2 4
【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、 概率. 5 . (2012 上海理) 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 104 , x5 ? 105 . 随机变量 ? 1 取值 x1 、x2 、x3 、
x ?x x ?x x ?x x ?x x2 、 2 2 3 、 3 2 4 、 4 2 5 、 5 2 1 的概率 x4 、 x5 的概率均为 0.2,随机变量 ?2 取值 x1 ? 2

也为 0.2. 若记 D?1 、 D?2 分别为 ? 1 、 ?2 的方差,则( A. D?1 > D?2 . B. D?1 = D?2 . ) C. D?1 < D?2 .

D. D?1 与 D?2 的大小关系与 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的取值有关. [ 析 ] E?1 ? 0.2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) =t, E?2 ? 0.2( =t,
x1 ? x2 2

解 +
x 2 ? x3 2

+

x3 ? x 4 2

+

x 4 ? x5 2

+

x5 ? x1 2

)

D?1 ? 0.2[(x1 ? t )2 + ( x2 ? t )2 + ( x3 ? t )2 + ( x4 ? t )2 + ( x5 ? t )2 ]
2 2 2 2 ? 0.2[(x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? 2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )t ? 5t 2 ] ;



x1 ? x 2 2

x3 ? x1 ? , x2 ? ? ,, x5 2 ? ,同理得 ? x1 ? x2 ? x5 2

?2 ? x2 ?2 ? x3 ?2 ? x4 ?2 ? x5 ?2 ) ? 2( x1 ? ? x2 ? ? x3 ? ? x4 ? ? x5 ? )t ? 5t 2 ] , D?2 ? 0.2[(x1 ? ? x2 ? ? x3 ? ? x4 ? ? x5 ? 与 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 有大小, 只要比较 x1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?2 ? x2 ?2 ? x3 ?2 ? x4 ?2 ? x5 ?2 ? 1 x1 [(x1 ? x2 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ? ? ( x1 ? x2 )2 ] 4
2 2 2 2 ?1 [2( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? (2x1x2 ? 2x2 x3 ? 2x3 x4 ? 2x4 x5 ? 2x5 x1)] 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?1 [2( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? ( x12 ? x2 ) ? ( x2 ? x3 ) ? ( x3 ? x4 ) ? ( x4 ? x5 ) ? ( x5 ? x12 )] 4 2 2 2 2 ,所以 D? 2 ? D?1 ,选 A. ? x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5

[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项 D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招! 稍加计算,考生会发现 E?1 和 E?2 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两 两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得 D?1 > D?2 而迅即攻下此 题. 6 . (2012 上海理)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项 目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示).
2 2 2 [解析] 设概率 p= k ,则 n ? C3 ? C3 ? C3 ? 27 ,求 k,分三步:①选二人,让他们选择的项目相 n 2 1 同,有 C3 种;②确定上述二人所选择的相同的项目 ,有 C3 种;③确定另一人所选的项目, 2 1 1 有 C2 种. 所以 k ? C3 . ?2 ? C3 ? C2 ? 18,故 p= 18 27 3
1

7 . (2012 上海春)某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工 作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).

14 15
8 . (2012 江苏)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是____. 【答案】

3 . 5

【考点】等比数列,概率. 【解析】∵以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列的 10 个数为 1,-3,9,-27,· · · 其中有 5 个负数,1 个 正数 1 计 6 个数小于 8, ∴从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的概率是

6 3 = . 10 5
元件1 元件3 元件2

9 . (2012 新课标理)某个部件由三个元件按下图方式 连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工 作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单 位 : 小时 ) 均服从正态分布 N (1000, 50 ), 且各个元
2

件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_________

【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为

3 8

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,502 ) 得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p ?

1 2
2

超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P 1 ? 1 ? (1 ? p ) ? 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2 ? p1 ? p ?

3 4

3 8

10. (2012 天津理)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选 择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏 ,掷 出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这 4 个人 中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙 游戏的人数的概率 : (Ⅲ) 用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数 , 记

? =|X ? Y | ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .
【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散 型随机变量的分布列与数学期望等基础知识 .考查运用概率知识解决简单实际问题的 能力.

1 2 ,去参加乙游戏的概率为 .设“这 4 个 3 3 i 1 i 2 4 ?i 人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai (i ? 0,1, 2,3, 4) ,则 P( Ai ) ? C4 ( ) ( ) . 3 3 8 2 1 2 2 2 (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P( A2 ) ? C4 ( ) ( ) ? . 3 3 27
依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 (2)设“这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件 B ,则 B ? A3 ? A4 , 由于 A3 与 A4 互斥,故

1 3 1 3 2 4 1 4 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ? 3 3 3 9
所以这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 (3) ? 的所有可能的取值为 0, 2, 4 ,由于 A 1与 A 3 互斥, A0 与 A4 互斥,故

1 . 9

P(? ? 0) ? P( A2 ) ?
所以 ? 的分布列为

8 40 17 , P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? 27 81 81

?

0

2

4

p

8 27

40 81

17 81
8 40 17 148 ? 2? ? 4? ? . 27 81 81 81

随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ?

【点评】 应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新, 对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功 转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基 础,转化是关键.. 11. (2012 新课标理)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进 16 枝 玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式. (2) 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以 100 天记录的各需求量的 频率作为各需求量发生的概率.

(i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列, 数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 【解析】(1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 得: y ? ?

?10n ? 80(n ? 15) (n ? N ) (n ? 16) ?80

(2)(i) X 可取 60 , 70 , 80

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7
X 的分布列为

X
P

60

70

80

0.1

0.2

0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76

DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
76.4 ? 76 得:应购进 17 枝

12. (2012 浙江理)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出 一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和.(Ⅰ)求 X 的分布列;(Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X). 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P ( X ? 3) ?
P( X ? 5) ?
3 C5 5 ? ; 3 42 C9
1 2 C5 C4 15 ? ; 3 42 C9

P( X ? 4) ?

1 C52 C4 20 ? ; 3 42 C9
3 C4 2 ? . 3 42 C9

P ( X ? 6) ?

故,所求 X 的分布列为 X P 3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为: 6 13 E(X)= ? i ? P( X ? i) ? . 3 i?4 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
13 . 3

13. (2012 重庆理)(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人 都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各 3 2

次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望 【考点定位】 本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率 知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响 ,注意应用相 互独立事件同时发生的概率公式. 解:设 Ak , Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则

1 1 P ? Ak ? ? , P ? Bk ? ? , 3 2

k ? ?1, 2,3?

(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计 算公式知, P ? C ? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 A3

?

? ?

?

? P ? A1 ? ? P A1 P B1 P ? A2 ? ? P A1 P B1 P A2 P B2 P ? A3 ?

? ? ? ?
2

? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 1 1 ?2? ?1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 3 2 3 ?3? ?2? 3
1 1 1 13 ? ? ? ? 3 9 27 27
(2) ? 的所有可能为: 1, 2,3

2

由独立性知: P ?? ? 1? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 ?

?

?

1 2 1 2 ? ? ? 3 3 2 3
2 2

2 1 1 ?2? ?1? 2 P ?? ? 2? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 ?3? ?2? 9 ?2? ?1? 1 P ?? ? 3? ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 2? 9
综上知, ? 有分布列

?

? ? ?

?
2

?

2

?
P

1

2

3

1 9 2 2 1 13 从而, E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? (次) 3 9 9 9
14. (2012 四川理)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 发生故障的概率为

2 3

2 9

1 和 p .(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不 10

49 ,求 p 的值;(Ⅱ)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的 50

次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分布列及数学期望 E? . [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么

1 4 分 5 1 0 1 3 )? (2)由题意,P( ? =0)= C( 3 10 1000 1 27 1 1 2 ) ( 1? ) ? P( ? =1)= C( 3 10 10 1000 1 2 243 2 1 ) ( 1? ) ? P( ? =2)= C( 3 10 10 1000 1 1 729 3 0 3 ) ( 1? ) ? P( ? =3)= C( 3 10 10 1000
1-P(C)=1,解得 P= 所以,随机变量 ? 的概率分布列为:

1 49 P= 10 50

?
P

0

1

2

3

1 1000

27 1000

243 1000

729 1000

故随机变量 X 的数学期望为:

E ? =0 0 ?

1 27 243 729 27 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 1000 1000 1000 1000 10

[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学 期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 15. (2012 陕西理)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立, 且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概 率;(2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 解析:设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下:

Y P

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

(1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分 钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分 钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P( A) ? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2)

? 0.1? 0.3 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.22
(2)解法一

X 所有可能的取值为 0,1, 2

X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5

X ? 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超
过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟. 所以 P( X ? 1) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2)

? 0.1? 0.9 ? 0.4 ? 0.49 X ? 2 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟,
所以 P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01 所以 X 的分布列为

X
P

0 0.5

1 0.49

2 0.01

EX ? 0 ? 0.5 ? 1? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51
解法二

X 所有可能的取值为 0,1, 2

X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5

X ? 2 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟,
所以 P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01

P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? 0.49
所以 X 的分布列为

X
P

0 0.5

1 0.49

2 0.01

EX ? 0 ? 0.5 ? 1? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51
16. (2012 山东理)先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为

3 ,命中得 1 4

2 ,每命中一次得 2 分,没有命中 3

得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(Ⅰ)求该射手 恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX . 解析:(Ⅰ) P ?

3 1 2 1 1 1 2 7 ? ( ) ? ? C2 ? ? ? ; 4 3 4 3 3 36

(Ⅱ) X ? 0,1,2,3,4,5

1 1 2 1 3 1 1 1 11 2 1 ? ( ) ? .P( X ? 1) ? ? ( ) 2 ? , P( X ? 2) ? C 2 ? ? , 4 3 36 4 3 12 4 3 3 9 3 11 2 1 1 2 1 3 2 1 P( X ? 3) ? C 2 ? ? , P( X ? 4) ? ? ( ) 2 ? , P( X ? 5) ? ? ( ) 2 ? 4 3 3 3 4 3 9 4 3 3 P( X ? 0) ?
X P 0 1 2 3 4 5

1 1 1 1 9 3 36 12 1 1 1 1 41 1 1 5 ?3 . EX=0× +1× +2× +3× +4× +5× = 9 3 9 3 12 36 12 12

1 9

1 3

17. (2012 辽宁理)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随 机抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时 间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取 的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E ( X ) 和方差 D( X ) .

附: ? 2 ?

n(n11n22 ? n12 n21 )2 , n1? n2? n?1n?2

【答案及解析】 (I)由频率颁布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2× 2 列联表如下:

由 2× 2 列联表中数据代入公式计算,得:

因为 3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关. (II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名 “体育迷”的概率为

1 ,由题意, 4

,从而 X 的分布列为:

【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列, 期望 E ( X ) 和方差 D( X ) ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频 率分布直方图中的数据是解题的关键. 18. (2012 江西理)如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个 点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积 为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V=0).

(1)求 V=0 的概率;(2)求 V 的分布列及数学期望. 【解析】
3 解:(1)从 6 个点中随机地选取 3 个点共有 C6 ? 20 种选法,选取的 3 个点与原点 O 在同一个 1 3 平面上的选法有 C3 C4 ? 12 种,因此 V=0 的概率 P(V ? 0) ?

12 3 ? 20 5

(2)V 的所有可能值为 0, , , , V 0

1 1 2 4 ,因此 V 的分布列为 6 3 3 3 1 1 2 4 6 3 3 3
1 20 3 20 3 20 1 20

P

3 5

由 V 的分布列可得: EV= 0 ?

3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 6 20 3 20 3 20 3 20 40

【点评】 本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、 期望等. 高考中,概率 解答题一般有两大方向的考查.一、 以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特征: 如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概率,独立事件的 概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查. 19. (2012 江苏)设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交 时, ? ? 0 ;当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离 ;当两条棱异面时, ? ? 1 .(1)求概 率 P(? ? 0) ;(2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) . 【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰有 3 条棱, ∴共有 8C32 对相交棱.

∴ P(? ? 0)=

8C32 8 ? 3 4 ? ? . 2 C12 66 11

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对, ∴ P(? ? 2)=

6 6 1 4 1 6 ? ? , P(? ? 1)=1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 2)=1 ? ? = . 2 C12 66 11 11 11 11

∴随机变量 ? 的分布列是:

?
P (? )

0

1

2

4 6 11 11 6 1 6? 2 ∴其数学期望 E (? )=1 ? ? 2 ? = . 11 11 11

1 11

【考点】概率分布、数学期望等基础知识. 【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率 P(? ? 0) . (2)求出两条棱平行且距离为 2 的共有 6 对,即可求出 P(? ? 2) ,从而求出 P(? ? 1) (两条棱 平行且距离为 1 和两条棱异面),因此得到随机变量 ? 的分布列,求出其数学期望.

20. (2012 湖南理)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集 了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次 购物的结算时间 X 的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结 算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过 ... 2 钟的概率.(注:将频率视 为概率) 1. 【解析】(1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算 时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得

15 3 30 3 25 1 ? , p( X ? 1.5) ? ? , p( X ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4 20 1 10 1 p( X ? 2.5) ? ? , p( X ? 3) ? ? . 100 5 100 10 X 的分布为 p( X ? 1) ?
X P X 的数学期望为 1 1.5 2 2.5 3

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

E ( X ) ? 1?

3 3 1 1 1 ? 1.5 ? ? 2 ? ? 2.5 ? ? 3 ? ? 1.9 . 20 10 4 5 10

(Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟”, X i (i ? 1, 2) 为该顾客前面第 i 位顾 客的结算时间,则

P( A) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5且X 2 ? 1) .
由于顾客的结算相互独立,且 X1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

P( A) ? P( X1 ? 1) ? P(X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1)
? 3 3 3 3 3 3 9 ? ? ? ? ? ? . 20 20 20 10 10 20 80 9 . 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率为

【点评】 本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、 分析 问题能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知

25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%, x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,计算每一个变量对应的概率,从而求得
分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 ...2 钟的概率. 21. (2012 湖北理)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如 下表: 降水量 X 工期延误天数 Y
X ? 300 300 ? X ? 700 700 ? X ? 900 X ? 900

0

2

6

10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9. 求:(Ⅰ)工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超 过 6 天的概率. 考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差. 解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有: P( X ? 300) ? 0.3, P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 , P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 . P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 . 所以 Y 的分布列为:

Y
P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

于是, E (Y ) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3 ;

D(Y ) ? (0 ? 3)2 ? 0.3 ? (2 ? 3)2 ? 0.4 ? (6 ? 3)2 ? 0.2 ? (10 ? 3)2 ? 0.1 ? 9.8 .

故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 . (Ⅱ)由概率的加法公式, P( X ? 300) ? 1 ? P( X ? 300) ? 0.7, 又 P(300 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 300) ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 . 由条件概率,得 P(Y ? 6 X ? 300) ? P( X ? 900 X ? 300) ?
P(300 ? X ? 900) 0.6 6 ? ? . P( X ? 300) 0.7 7

故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是

6 . 7

22. (2012 广东理)(概率统计)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所 示 , 其 中 成 绩 分组 区 间是 : ? 40,50 ? 、 ?50,60 ? 、 ?60,70 ? 、

?70,80? 、 ?80,90? 、 ?90,100? .
(Ⅰ)求图中 x 的值;(Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望. 解析:(Ⅰ)由 ? 0.006 ? 3 ? 0.01 ? 0.054 ? x ? ?10 ? 1 ,解得 x ? 0.018 . (Ⅱ)分数在 ?80,90 ? 、 ?90,100? 的人数分别是 50 ? 0.018 ? 10 ? 9 人、 50 ? 0.006 ? 10 ? 3 人.所 以 ? 的取值为 0、1、2.

P ?? ? 0 ? ?

0 2 1 1 0 C3 C9 36 6 C3 C9 27 9 C32C9 3 1 ? ? P ? ? 1 ? ? ? P ? ? 2 ? ? ? , , , 所以 ? ? ? ? 2 2 2 C12 66 11 C12 66 22 C12 66 22

? 的数学期望是 E? ? 0 ?

6 9 1 11 1 ? 1? ? 2 ? ? ? . 11 22 22 22 2

23. (2012 福建理)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该 轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车 ,保修期均为 2 年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计书数据如下: 品牌 甲 乙 0 ? x ? 1 1 ? x ? 2 x ? 2 0? x?2 x?2 首次出现故障时间 x 年 轿车数量(辆) 每辆利润(万元) 2 1 3 2 45 3 5 45

1.8

2.9

将频率视为概率,解答下列问题:(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故 障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润 为 X 1 ,生产一辆乙品牌轿车的利润为 X 2 ,分别求 X1 , X 2 的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若 从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由. 【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学 期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想. 解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件 A ,则 P( A) ? (2)依题意 X1 , X 2 的分布列分别如下:

2?3 1 ? . 50 10

X1
p

1

2

3

1 25

3 50

9 10

X2

1.8

2.9

p
(3)由(2)得

1 10

9 10

E ( X 1 ) ? 1?

1 3 9 ? 2 ? ? 3 ? ? 2.86 25 50 10 1 9 E ( X 2 ) ? 1.8 ? ? 2.9 ? ? 2.79 10 10

E( X1 ) ? E( X 2 ) ,所以应生产甲品牌的轿车.
24. (2012 大纲理)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次 后,对方再连续发球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、 乙的比赛 中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局 比赛中,甲先发球.(1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (2) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望. 【命题意图】 本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题.首先 要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、 讨论,并结合独立事件的概率求解结 论. 解:记

Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜”,i=1,2,3,则 P( A1 ) ? 0.6, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.4 .
A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3
,由互斥

(Ⅰ)事件“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 ”为 事件有一个发生的概率加法公式得

P ( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.352
. 即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 0.352 (Ⅱ)由题意 ? ? 0,1, 2,3 .

P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.144 ;
P (? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 )

? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 =0.408;

P(? ? 2) ? 0.352 ;
P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.096
所以 E? ? 0.408 ? 2 ? 0.352 ? 3? 0.096 ? 1.4

【点评】 首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解 进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较 亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况. 25. (2012 年高考(北京理) )近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨 余垃圾、 可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分 类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单 位:吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 100 100 厨余垃圾 400 240 30 可回收物 30 20 60 其他垃圾 20 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c ,其
2 中 a ? 0 , a ? b ? c ? 600 . 当数据 a, b, c 的方差 S 最大时 , 写出 a, b, c 的值 ( 结论不要求证

明),并求此时 S 的值. (注:方差 s 2 ? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ?

2

1 n

? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,

xn 的平均数)

【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求 证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻. (1)由题意可知: (2)由题意可知:
400 2 = 600 3
200+60+40 3 = 1000 10

1 (3) 由题意可知 : s 2 ? (a 2 ? b2 ? c 2 ? 120000) , 因此有当 a ? 600 , 3

b?0

, c ? 0 时,有

s 2 ? 80000 .

26. (2012 安徽理)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试 题,则使用后该试题回库 ,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库,此次调题工作 结束;若调用的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束 .试题库中现共 有 n ? m 道试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作 完成后,试题库中 A 类试题的数量.(Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率;(Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布 列和均值(数学期望). 【解析】(I) X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为 (Ⅱ) m ? n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 p ? 随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2

n n ?1 ? m?n m?n?2

1 2

P( X ? n) ? (1 ? p) 2 ?
X
P

1 1 1 2 , P( X ? n ? 1) ? 2 p(1 ? p) ? , P ( X ? n ? 2) ? p ? 4 2 4 n n ?1 n?2
1 4 1 2 1 4

1 1 1 EX ? n ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? n ? 1 4 2 4 n n ?1 ? 答:(Ⅰ) X ? n ? 2 的概率为 m?n m?n?2 (Ⅱ)求 X 的均值为 n ? 1

2011 年高考题
1.(2011 年高考浙江卷理科 9)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率 (A)

1 5

(B)

2 5

( C)

3 5

(D )

4 5

【答案】B
2 2 2 3 2 2 2 A2 A2 A3 ? A3 A2 A2 2 【解析】由古典概型的概率公式得 P ? 1 ? ? . 5 5 A5

2. (2011 年高考辽宁卷理科 5)从 1,2,3,4,5 中任取 2 各不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B︱A)= (A)

1 8

(B)

1 4

(C)

2 5

(D)

1 2

3. (2011 年高考全国新课标卷理科 4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一 个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率 为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

解析:因为甲乙两位同学参加同一个小组有 3 种方法,两位同学个参加一个小组共有

3 ? 3 ? 9 种方法;所以,甲乙两位同学参加同一个小组的概率为

3 1 ? 9 3

点评:本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。

【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况,第一局胜或第一局输第二局胜,所以甲队获 得冠军的概率 P ?

1 1 1 3 ? ? ? . 所以选 D. 2 2 2 4

5.(2011 年高考湖北卷理科 7)如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连成一个系统.当 K 正 常工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知 K、A1、A2 正常工作的概率 依次为 0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为 A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576

答案:B
1 解析:系统正常工作概率为 C2 ? 0.9 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.9 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.864 ,所以选 B.

6.(2011 年高考陕西卷理科 10)甲乙两人一起去“2011 西安世园会” ,他们约定,各自独 立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在 一个景点的概率是 (A)

1 36

(B)

1 9

(C)

5 36

(D)

1 6

【答案】D
1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 :各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览有 C6 C6C5C5C4C4C3C3 种,且 1 1 1 1 1 1 1 等可能,最后一小时他们同在一个景点有 C6 C5C5C4C4C3C3 种,则最后一小时他们同在一
1 1 1 1 1 1 1 C6 C5C5C4C4C3C3 1 ? ,故选 D 1 1 1 1 1 1 1 1 C6C6C5C5C4C4C3C3 6

个景点的概率是 p ?

7. (2011 年高考四川卷理科 12)在集合 ?1,2,3,4,5? 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以 原点为起点的向量 a=(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作 平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 n ,其中面积不超过 ...4 的平行四边形的个数

为 m ,则 (A)

m ?( n

) (B)

4 15

1 3

(C)

2 5

(D)

2 3

答案:B
2 解析:基本事件: 从(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)选取2个,n ? C6 ? 3 ? 5 ? 15 .

其中面积为 2 的平行四边形的个数 (2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) ; 其中面积为 4 的平行 四边形的为 (2,3)(2,5);(2,1)(2,3) ; m=3+2=5 故

m 5 1 ? ? . n 15 3

8. (2011 年高考福建卷理科 4)如图, 矩形 ABCD 中, 点 E 为边 CD 的中点, 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于

1 4 1 C. 2
A. 【答案】C 二、填空题:

1 3 2 D. 3
B.

1.(2011 年高考浙江卷理科 15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投 递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为

2 ,得到乙、丙两公司面试的概率 3

为 p ,且三个公司是否让其面试是相互独立的。记 ? 为该毕业生得到面试得公司个数。若

P (? ? 0) ?
【答案】

1 ,则随机变量 ? 的数学期望 E? ? 12

5 3 2 3
2

1 1 ? p ? , ? 的取值为 0,1,2,3 12 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 4 P (? ? 0) ? , P(? ? 1) ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? 12 3 2 3 2 2 3 2 2 12 21 1 2 1 1 2 11 5 2 1 1 2 P(? ? 2) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? , P(? ? 3) ? ? ? ? 32 2 3 2 2 3 2 2 12 3 2 2 12 1 4 5 2 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 故 E? ? 0 ? 12 12 12 12 3
【解析】 : P (? ? 0) ? (1 ? )(1 ? p) ? 2. (2011 年高考江西卷理科 12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位 圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于

1 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 2

1 ,则去打篮球;否则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为 4

【答案】

13 16

【解析】 小波周末不在家看书包含两种情况:一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不

1?
在家看书的概率为

?

4 16 ? 13 . 16 ?

?

?

3. (2011 年高考湖南卷理科 15)如图 4,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆 内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ,则(1)

P ? A? ?
答案: P ? A? ?

;(2) P

?B A? ?
1 4

.

2 ; ?

P?B A? ?

解析: (1)是几何概型: P

? A? ?

S正 2 P? AB? 1 ? ; ? . (2)是条件概率: P?B A? ? P ? A? 4 S圆 ?

评析:本小题主要考查几何概型与条件概率的计算. 4. (2011 年高考湖北卷理科 12)在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶饮料中 任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过保质期的概率为 答案: (结果用最简分数表示)

28 145
2 C27 28 ? . 2 C30 145

解析:因为 30 瓶饮料中未过期饮料有 30-3=27 瓶,故其概率为 P ? 1 ?

5.(2011 年高考重庆卷理科 13)将一枚均匀的硬币投掷 6 次,则正面出现的次数比反面出 现的次数多的概率为 解析:

11 。硬币投掷 6 次,有三类情况,①正面次数比反面次数多;②反面次数比正面 32
3 3 3 6

5 ?1? ?1? 次数多;③正面次数而后反面次数一样多; ,③概率为 C ? ? ? ? ? ? ,①②的概率 ? 2 ? ? 2 ? 16
1?
显然相同,故①的概率为

5 16 ? 11 2 32

6.(2011 年高考安徽卷江苏 5)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数 是另一个的两倍的概率是______ 【答案】

1 3

【解析】从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,所有可能的取法有 6 种, 满足“其 中一个数是另一个的两倍” 的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共 2 种取法,所以其中一个数是另 一个的两倍的概率是

2 1 ? . 6 3

7.(2011 年高考福建卷理科 13)盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个, 黄色球 2 个。 若从中随机取出 2 个球, 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_______。 【答案】

3 5
x P(ε=x) 1 ? 2 ! 3 ?

8.(2011 年高考上海卷理科 9)马老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布律如下表

请小牛同学计算 ? 的数学期望,尽管“! ”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊, 但能肯 定这两个“?”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案 E? ? 【答案】 2 9.(2011 年高考上海卷理科 12)随机抽取 9 个同学中,至少有 2 个同学在同一月出生的概 率是 (默认每月天数相同,结果精确到 0.001 ) 。 【答案】 0.985 三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 18)(本小题满分 12 分) 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一 盘, 已知甲胜 A, 乙胜 B, 丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5, 假设各盘比赛结果相互独立。 (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? . 【解析】 (Ⅰ)红队至少两名队员获胜的概率为 。

0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 2 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 =0.55.
(Ⅱ) ? 取的可能结果为 0,1,2,3,则

P(? ? 0) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 =0.1; P(? ? 1) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 + 0.4 ? 0.5 ? 0.5 + 0.4 ? 0.5 ? 0.5 =0.35;

P(? ? 2) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 2 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 =0.4; P(? ? 3) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 =0.15.
所以 ? 的分布列为

?
P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15

数学期望 E? =0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6. 2. (2011 年高考辽宁卷理科 19)(本小题满分 12 分) 某农场计划种植某种新作物, 为此对这种作物的两个品种 (分别称为品种甲和品种乙) 进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小 块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列 和数学期望; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块 地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应 该种植哪一品种? 附:样本数据 x1,x2,?,xa 的样本方差 s ?
2 2 2 2 1? x1 ? x ? x1 ? x ? ??? ? xn ? x ? , ? ? ? n?

?

? ?

?

?

?

其中 x 为样本平均数. (I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且

P ( X ? 0) ? P ( X ? 1) ?

1 1 ? , 4 C8 70
1 3 C4 C4 8 ? , 4 35 C8

2 2 C4 C4 18 P ( X ? 2) ? ? , 35 C84

P ( X ? 3) ? P ( X ? 4) ?
即 X 的分布列为 X P 0

3 1 C4 C4 8 ? , 4 35 C8

1 1 ? . 4 C8 70

1

2

3

4

1 70

8 35

18 35

8 35

1 70

X 的数学期望是:

E ? X ? ? 0?

1 8 18 8 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2. 70 35 35 35 70

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 ? (403 ? 397 ? 390 ? 404 ? 388 ? 400 ? 412 ? 406) ? 400, 8 1 S甲 ? (32 ? (?3) 2 ? (?10) 2 ? 42 ? (?12) 2 ? 02 ? 122 ? 62 ) ? 57.25. 8
………………8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 ? (419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413) ? 412, 8 1 2 S乙 ? (7 2 ? (?9) 2 ? 02 ? 62 ? (?4) 2 ? 112 ? (?12) 2 ? 12 ) ? 56. 8
………………10 分 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样 本方差差异不大,故应该选择种植品种乙. 3.(2011 年高考安徽卷理科 20)(本小题满分 13 分) 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务, 每次只派一个人进去, 且每个 人只派一次,工作时间不超过 10 分钟,如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出,再 派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别

p? , p? , p? ,假设 p? , p? , p? 互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

(Ⅰ)如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三 个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化? (Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为 q? , q? , q? ,其中

q? , q? , q? 是 p? , p? , p? 的一个排列,求所需派出人员数目 X 的分布列和均值(数字期望)

EX ;
(Ⅲ)假定 ? ? p? ? p? ? p? ,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员 数目的均值(数字期望)达到最小。 【命题意图】 :本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分布列,均值 等基本知识, 考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、 合情推理与演绎推理, 分类讨论思想,应用意识与创新意识。 【解析】 : (Ⅰ)无论怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是

(?? p? ) ? (?? p? ) ? (?? p? ) ,所以任务能被完成的概率为 ?? (?? p? ) ? (?? p? ) ? (?? p? ) = p? ? p? ? p? ? p? p? ? p? p? ? p? p? ? p? p? p?
(Ⅱ) 当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 q? , q? , q? 时, 所需派出人员 数目 X 的分布列为

X

1

2

3

P

q?

(?? q? ) ? q?

(?? q? ) ? (?? q? )

所需派出人员数目 X 的均值(数字期望) EX 是 (Ⅲ ) (方法一) 由( 2 )的结 论知,当一甲最先、乙 次之、丙最后的顺序派 人时 , EX = 3 ? 2 p1 ? p2 ? p1 p2 , 依据常理,优先派出完成任务概率最大的人,可减少派出人员数目的均值. 下 面 证 明 : 对 与 p1 , p2 , p3 的 任 意 排 列 q1 , q2 , q3 , 都 有 3 ? 2q1 ? q 2 ? q 1 q 2≥

3 ? 2 p1 ? p2 ? p1 p2 . 事实上, (3 ? 2q1 ? q2 ? q1q2 ) ? (3 ? 2 p1 ? p2 ? p1 p2 ) = 2( p1 ? q1 ) ? ( p2 ? q2 ) ? p1 p2 ? q1q2 = 2( p1 ? q1 ) ? ( p2 ? q2 ) ? ( p1 ? q1 ) p2 ? q1 ( p2 ? q2 )

= (2 ? q1 )( p1 ? q1 )+( 1 ? q1 )( p2 ? q2 ) ≥ (1 ? q1 )[( p1 ? p2 ) ? (q1 ? q2 )] ≥0, 即 3 ? 2q1 ? q2 ? q1q2 ≥ 3 ? 2 p1 ? p2 ? p1 p2 成立. (方法二) :①可将(Ⅱ)中所求的 EX 改写为 3 ? (q1 ? q2 ) ? q1q2 ? q1 ,若交换前两人的派 出顺序,则变为 3 ? (q1 ? q2 ) ? q1q2 ? q2 ,可见,当 q2 ? q1 时,交换前两人的派出顺序可减 少均值; ②也可将(Ⅱ)中所求的 EX 改写为 2 ? 2q1 ?) ? (1 ? q1 )q2 ,交换后两人的派出顺序,则变 为 2 ? 2q1 ?) ? (1 ? q1 )q3 ,由此可见,若保持派出的人选不变,当 q3 ? q2 时,交换后两人的 派出顺序也可减少均值. 综合①②可知,当( q1 , q2 , q3 )=( p1 , p2 , p3 )时, EX 达到最小, 即完成任务概率最大的人优先派出, 可减少所需派出人员数目的均值, 这一结论是合乎常理 的. 【解题指导】 :当问题的情境很复杂时,静下心来读懂题意是第一要务,在读懂题意的前提 下抽象概括出数学模型。第三问需用合情推理与演绎推理相结合的办法解决,同时运用分 类讨论思想,难度非常大。但这一问很好地体现了《考试说明》的要求“能从大量数据中 抽取对研究问题有用的信息,并作出判断。 ” “创新意识是理性思维的高层次表现,对数学 问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明” ,是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知 识的迁移、组合、融会的程度越高,显示出的创新意识也就越强。 ” 4. (2011 年高考全国新课标卷理科 19)(本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于 或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生 产了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方 的频数分布表 指标值分组 频数

?90,94?
8

?94,98?
20

?98,102?
42

?102,106?
22

?106,110?
8

B 配方的频数分布表 指标值分组 频数

?90,94?
4

?94,98?
12

?98,102?
42

?102,106?
32

?106,110?
8

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

?? 2 (t ? 94) ? y ? ?2 (94 ? t ? 102 ?4 (t ? 102) ?

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学 期望. (以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的 概率) 解析: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 ( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

22 ? 8 =0.3 ,所以 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配 100

?4 ?9 0 , 9 ?

, 94 1 0 2 , 1 1 0 0.04,,054,0.42,因此 X 的可能值为-2,2,4 ? ,? 1 0 2 ,? 的频率分别为
P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, X P -2 0.04 2 0.54 4 0.42

P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 5. (2011 年高考天津卷理科 16)(本小题满分 13 分) 学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个 球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ )求在一次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ )求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事 件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力. (Ⅰ ) (i)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai (i ? 0,1, 2,3) ,则

P( A3 ) ?

1 C32C2 1 ? . 2 2 C5 C3 5

(ii)设“在一次游戏中获奖”为事件 B,则 B= A2 ? A3 ,又

P( A2 ) ?

1 1 1 2 1 1 7 C3 C2C2 ? C32C2 1 ? ,且 A2 , A3 互斥,所以 P( B) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? . 2 2 2 5 10 C5 C3 2

(Ⅱ )由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,,2,

7 2 9 ) ? , 10 100 7 21 1 7 P( X =1)= C2 ? (1 ? ) ? , 10 10 50 7 2 49 P( X =2) = ( ) ? , 10 100
P( X =0)= (1 ? 所以 X 的分布列是

X
P

0

1

2

21 50 9 21 49 7 X 的数学期望 E ( X ) = 0 ? ? 1? + 2 ? = . 100 50 100 5

9 100

49 100

6.(2011 年高考江西卷理科 16)(本小题满分 12 分) 某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种 不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对, 则月工资定为 3500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元,否则月工资定为 2100 元,令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数,假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 解析:(1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,
i 4 ?i C4 C4 则 P( x ? i ) ? (i ? 0,1, 2,3, 4) ,所以所求的分布列为 C84

X P

0

1

2

3

4

1 70

16 70

36 70

16 70

1 70

(2)设 Y 表示该员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 3500,2800,2100,

1 16 53 , , , 70 70 70 1 16 53 ? 2800 ? ? 2100 ? ? 2280 . 所以 E (Y ) ? 3500 ? 70 70 70
相对的概率分别为 所以此员工工资的期望为 2280 元. 本题考查排列、组合的基础知识及概率分布、数学期望. 7. (2011 年高考湖南卷理科 18)(本小题满分 12 分) 某商店试销某种商品 20 天,获得

如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变).设某天开始营业时由该商品 3 件, 当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 . ...3 件,否则不进货 ... 将频率视为概率.

?? ? 求当天商店不进货的 概率; .... ??? ? 记 X 为第二天开始营业时该商品视为件数,求 X 的分布列和数学期望.
解:

? ?+ ? ? = P“当天商品销售量为 ?? ? P“当天商店不进货” 0件” ? ? P“当天销售量为 1件”
? 1 5 3 ? ? 20 20 10

??? ? 由题意知, X 的可能取值为 2,3.

? ?? 1件” P? X ? 2? ? P“当天销售量为

5 1 ? 20 4

? ? + P“当天销售量为 ? ? 0件” 2件” P? X ? 3? ? P“当天商品销售量为
“当天销售量为 3件”? +P
故 X 的分布列为

?

?

1 9 5 3 ? ? ? 20 20 20 4

X
P

2

3

1 4
1 3 11 ? 2 ? ? 3? ? . 4 4 4

3 4

所以 X 的数学期望为 EX

评析: 本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期 望的方法,以及互斥事件概率的求法.

8. (2011年高考广东卷理科17)(本小题满分13分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别 抽取14件和5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的 测量数据:

(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足≥175且y≥75,该产品为优等品,用上述样本数据估计 乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随即抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的 分布列及其均值(即数学期望). 【解析】解: (1)

98 ? 7,5 ? 7 ? 35 ,即乙厂生产的产品数量为 35 件。 14 2 , 5

(2)易见只有编号为 2,5 的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品 故乙厂生产有大约 35 ?

2 ? 14 (件)优等品, 5

(3) ? 的取值为 0,1,2。

P(? ? 0) ?

1 1 C32 C3 ? C2 C32 3 3 1 ? , P ( ? ? 1) ? ? , P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 5 C5 10 C5 C5 10

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3 10
故 ?的均值为E? ? 0 ?

6 10 3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? ? . 10 5 10 5

1 10

9.(2011 年高考陕西卷理科 20)(本小题满分 13 分) 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2 响,所用时间落在各时间段内的频率如下表: 时间(分钟) 10 ,据统计,通过两条路径所用的时间互不影

20

20 30

30

40

40 50

50

60

L1 的频率 0.1 L2 的频率 0

0.2 0.1

0.3 0.4

0.2 0.4

0.2 0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (Ⅱ)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(Ⅰ)的选择方 案,求 X 的分布列和数学期望。 【解析】 : (Ⅰ) Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站” ,

Bi 表示事件

“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站” , i ? 1, 2 用频率估计相应的概率可得

P( A1 ) ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.6 , P( A2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.5 。 P( A1 ) ? P( A2 ) ?甲应选择 L1 P( B1 ) ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.8 , P( B2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.9
应选择 L2 (Ⅱ)A、B 分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站, 由(Ⅰ)知 P( A) ? 0.6 P( B) ? 0.9 又由题意知,A,B 独立,

P( B1 ) ? P( B2 ) ?乙

? P( X ? 0) ? P( AB) ? P( A)P(B) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.04

P( X ? 1) ? P( AB ? AB) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.4 ? 0.9 ? 0.6 ? 0.1 ? 0.42
P( X ?) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54 ? X 的分布列为
X P 0 0.04 1 0.42 2 0.54
[来源:学_科_网]

? EX ? 0 ? 0.04 ? 1? 0.42 ? 2 ? 0.54 ? 1.5
10.(2011 年高考重庆卷理科 17)(本小题满分 13 分。 (Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 8 分.) 某市公租房房屋位于 A.B.C 三个地区,设每位申请人只申请其中一个片区的房屋,且申请 其中任一个片区的房屋是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)若有 2 人申请 A 片区房屋的概率; (Ⅱ)申请的房屋在片区的个数的 ? 分布列与期望。 解析: (Ⅰ) 所有可能的申请方式有 3 种, 恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式有 C4 2
4

2

2

种,从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 (Ⅱ) ? 的所有可能值为 1,2,3.又

2 C4 22 8 ? 4 3 27

p ?? ? 1? ?

2 3 C32 24 ? 2 14 C4 A3 4 3 1 ? p ? ? 3 ? ? , , p ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 4 4 4 3 27 3 9 3 27

?

?

综上知, ? 的分布列为:

?

1

2

3

1 14 27 27 1 14 4 65 ? 2 ? ? 3? ? 从而有 E? ? 1? 27 27 9 27

p

4 9

11.(2011 年高考四川卷理科 18)本着健康、 低碳的生活理念, 租自行车骑游的人越来越多。 某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设 甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 为

1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别 4 2

1 1 , ;两人租车时间都不会超过四小时。 2 4

(Ⅰ)求出甲、乙所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? ; 解析: (1)所付费用相同即为 0, 2, 4 元。设付 0 元为 P 1 ? 付 4 元为 P3 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ,付 2 元为 P2 ? ? ? , 4 2 8 2 4 8

1 1 1 ? ? 4 4 16 5 16

则所付费用相同的概率为 P ? P 1?P 2 ?P 3 ?

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可为 0, 2, 4,6,8

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 8 1 1 1 1 5 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? 8) ? ? ? 4 4 16

分布列

?
P

0

2

4

6

8

1 5 8 16 5 5 9 1 7 E? ? ? ? ? ? . 8 4 8 2 2

5 16

3 16

1 16

12. (2011 年高考全国卷理科 18) (本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲 种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 ? 的期望。 【解析】 :设该车主购买乙种保险的概率为 p ,由题: p ? (1 ? 0.5) ? 0.3 ,解得 p ? 0.6 (Ⅰ)设所求概率为 P1 ,则 P 1 =1 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.8. 故该地 1 位车主至少购买甲、 乙两种保险中的 l 种的概率为 0.8. (Ⅱ) 甲乙两种保险都不购买的概率为 1-0.8=0.2.设甲乙两种保险都不购买的车主数为 ? , 则?

02 0 .? 2 0? B(100,0.2) , E? ? 1

答:该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率为 0.8, ? 的期望值是 20。 13.(2011 年高考北京卷理科 17)本小题共 13 分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊, 无法确认,在图中以 X 表示。

(Ⅰ )如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ )如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵 树 Y 的分布列和数学期望。 (注:方差 s ?
2 2 2 1? x1 ? x ? x2 ? x ? ? n?

?

? ?

?

2 ? xn ? x ? ,其中 x 为 x1 , x2 ,…… ? ?

?

?

xn 的平均数)
【命题意图】本题考查运用茎叶图给出统计数据求平均值和方差、利用统计数据 求概率和随机变量的分布和期望的计算,考查数据处理能力和运算求解能力,是中 档题. 【解析】 (1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为 x ? 方差为 s ?
2

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

1 35 35 35 35 11 [(8 ? ) 2 ? (8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 4 16

(Ⅱ )当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组 同学的植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4× 4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20, 21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”所以 该事件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17)= 同理可得 P (Y ? 18) ?

2 1 ? . 16 8

1 1 1 1 ; P (Y ? 19) ? ; P(Y ? 20) ? ; P(Y ? 21) ? . 4 4 4 8

所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17 18 19 20 21

1 8 1 4 1 4 1 4

1 4 1 8

1 4

1 4

1 8

EY=17× P(Y=17)+18× P(Y=18)+19× P(Y=19)+20× P(Y=20)+21× P(Y=21) =17× +18× +19× +20× +21× =19 14.(2011 年高考福建卷理科 19)(本小题满分 13 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,??,8,其中 X ≥5 为标准 A,X≥为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂得产 品都符合相应的执行标准

1 8

(I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

x1
P

5 0.4

6 a

7 b

8 0.1

且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等 级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布, 将频率视为概率, 求等级系数 X2 的数学期 望. (III)在(I) 、 (II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可 购买性?说明理由. 注: (1)产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学 期望 ; 产品的零售价

(2) “性价比”大的产品更具可购买性. 解析:本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用 意识,考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想,满分 13 分。 解: (I)因为 EX1 ? 6, 所以5 ? 0.4 ? 6a ? 7b ? 8 ? 0.1 ? 6,即6a ? 7b ? 3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4 ? a ? b ? 0.1 ? 1,即a ? b ? 0.5. 由?

?6a ? 7b ? 3.2, ?a ? 0.3, 解得 ? ?a ? b ? 0.5. ?b ? 0.2.

(II)由已知得,样本的频率分布表如下:

X2
f

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布, 将频率视为概率, 可得等级系数 X2 的概率分布 列如下:

X2
P 所以

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

EX 2 ? 3P( X 2 ? 3) ? 4P( X 2 ? 4) ? 5P( X 2 ? 5) ? 6P( X 2 ? 6) ? 7 P( X 2 ? 7) ? 8P( X 2 ? 8)

? 3 ? 0.3 ? 4 ? 0.2 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.1 ? 7 ? 0.1 ? 8 ? 0.1 ? 4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下: 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4.8, 价格为 4 元/件, 所以其性价比为 据此,乙厂的产品更具可购买性。

6 ? 1. 6

4.8 ? 1.2. 4

2010 年高考题
一、选择题 1. (2010 辽宁理) (3) 两个实习生每人加工一个零件. 加工为一等品的概率分别为 两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 (A)

2 3 和 , 3 4

1 2

(B)

5 12

(C)

1 4

(D)

1 6

【答案】B 【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率,考查了有关概率的计算问题 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A,则 P(A)=P(A1)+ P(A2)=

2 1 1 3 5 ? + ? = 3 4 3 4 12

2.(2010 江西理)11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国 王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测。方法一:在 10 箱子中各任意抽查一枚;方法二: 在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 p1 和 p2 , 则

A. p1 = p2 【答案】B

B. p1 < p2

C. p1 > p2

D。以上三种情况都有可能

【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作 业,作为旧大纲的最后一年高考,本题给出一个强烈的导向信号。方法一:每箱的选中的 概率为

1 10

0 ,总概率为 1 ? C10 (0.1)0 (0.9)10 ;同理,方法二:每箱的选中的概率为

1 ,总事件的概率 5

为 1 ? C5 ( ) ( ) ,作差得 p1 < p2 。
0 0 5

1 5

4 5

3.(2010 安徽文) (10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方 形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 (A)

3 18

(A)

4 18

(A)

5 18

(A)

6 18

【答案】C 【解析】正方形四个顶点可以确定 6 条直线,甲乙各自任选一条共有 36 个基本事件。两条 直线相互垂直的情况有 5 种(4 组邻边和对角线)包括 10 个基本事件,所以概率等于. 【方法技巧】对于几何中的概率问题,关键是正确作出几何图形,分类得出基本事件数, 然后得所求事件保护的基本事件数,进而利用概率公式求概率. 4.(2010 北京文)⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数 为 b,则 b>a 的概率是 (A)

4 5

(B)

3 5

(C)

2 5

(D)

1 5

【答案】D 5.(2010 广东理)8.为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装 5 个彩灯,它们闪亮的顺 序不固定,每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所 闪亮的颜色各不相同.记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟 有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒。如果要实现所有不同的闪 烁,那么需要的时间至少是( A、 1205 秒 【答案】C 每次闪烁时间 5 秒, 共 5×120=600s, 每两次闪烁之间的间隔为 5s, 共 5× (120-1) =595s. 总 共就有 600+595=1195s. B.1200 秒 ) C.1195 秒 D.1190 秒

6.(2010 湖北理)4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事 件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是 A

5 12

B

1 2

C

7 12

D

3 4

二、填空题 1.(2010 上海文)10. 从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 2 张,则“抽出的 2 张 均为红桃”的概率为 【答案】
3 51
2 C13 3 ? 2 C52 51

(结果用最简分数表示) 。

解析:考查等可能事件概率“抽出的 2 张均为红桃”的概率为

2. ( 2010 湖 南 文 ) 11. 在 区 间 [-1,2] 上 随 即 取 一 个 数 x , 则 x ∈ [0,1] 的 概 率 为 【答案】 。

1 3

【命题意图】本题考察几何概率,属容易题。 3.(2010 辽宁文) (13)三张卡片上分别写上字母 E、E、B,将三张卡片随机地排成一行, 恰好排成英文单词 BEE 的概率为 【答案】 。

1 3

解析: 题中三张卡片随机地排成一行,共有三种情况: BEE , EBE , EEB ,

1 ?概率为: . 3
4.(2010 重庆文) (14)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率 分别为

1 1 1 、 、 , 且各道工序互不影响, 则加工出来的零件的次品率为____________ . 70 69 68 69 68 67 3 ? ? ? 70 69 68 70

解析:加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 p ? 1 ?

5.(2010 重庆理) (13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至

16 ,则该队员每次罚球的命中率为____________. 25 16 3 2 解析:由 1 ? p ? 得p? 25 5
多命中一次的概率为 6.(2010 湖北文)13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9.则服用这咱新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为_______(用数字作答) 。 【答案】0.9744
3 3 【解析】分情况讨论:若共有 3 人被治愈,则 P 1 ? C4 (0.9) ? (1 ? 0.9) ? 0.2916 ;

若共有 4 人被治愈,则 P2 ? (0.9)4 ? 0.6561 ,故至少有 3 人被治愈概率 P ? P 1 ? P 2 ? 0.9744 7.(2010 湖南理)11.在区间 上随机取一个数 x,则 的概率为

8.(2010 湖南理)9.已知一种材料的最佳入量在 110g 到 210g 之间。若用 0.618 法安排 实验,则第一次试点的加入量可以是 g

9.(2010 安徽理)15、甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A 1, A 2和A 3 表示由甲罐取 出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球 是红球的事件,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号) 。 ① P ? B? ?

2 ; 5

② P ? B | A1 ? ?

5 ; 11

③事件 B 与事件 A 1 相互独立;

④ A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件;

⑤ P ? B ? 的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中哪一个

发生有关 【答案】②④ 【解析】易见 A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件,而

P( B) ? P ? B | A1 ? ? P ? B | A2 ? ? P ? B | A3 ? ?

5 5 2 4 3 4 9 ? ? ? ? ? ? 。 10 11 10 11 10 11 22

【方法总结】本题是概率的综合问题,掌握基本概念,及条件概率的基本运算是解决问题 的 关 键 . 本 题 在 A1 , A2 , A3 是 两 两 互 斥 的 事 件 , 把 事 件 B 的 概 率 进 行 转 化

P(B) ? P ? B | A1 ? ? P ? B | A2 ? ? P ? B | A3 ? ,可知事件 B 的概率是确定的.
10.(2010 湖北理)14.某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?
P

7 x

8 0.1

9 0.3

10 y

已知 ? 的期望 E ? =8.9,则 y 的值为 【答案】0.4 【解析】由表格可知: x ? 0.1 ? 0.3 ? y ? 9, 联合解得 y ? 0.4 .

.

7 x ? 8 ? 0.1 ? 9 ? 0.3 ? 10 ? y ? 8.9

11.(2010 福建理)13.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连 续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率 都是 0.8 ,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮 的概率等于 【答案】0.128
4 【解析】由题意知,所求概率为 C5 ? 0.82 ? 0.2 =0.128 。
2



【命题意图】本题考查独立重复试验的概率,考查基础知识的同时,进一步考查同学们的 分析问题、解决问题的能力。 12.(2010 江苏卷)3、盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只 球,两只球颜色不同的概率是_ __. 【解析】考查古典概型知识。 p ? 3 ? 1
6 2

三、解答题 1.(2010 浙江理)19.(本题满分 l4 分)如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落

A 或 B 或 C。 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球
方式进行促销活动, 若投入的小球落到 A, B, C, 则分别设为 l, 2,3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%, 90%.记随变量 ? 为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求 随机变量 ? 的分布列及期望 E? ; (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随 机变量? 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求 P(? ? 2) . 解析:本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念, 同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。 (Ⅰ)解:由题意得ξ 的分布列为 ξ p 50% 70% 90%

3 16 3 3 7 3 则Ε ξ = ×50%+ ×70%+ 90%= . 16 8 16 4
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,获得 1 等奖或 2 等奖的概率为

3 8

7 16

3 3 9 + = . 16 8 16

9 ) 16 9 2 9 1701 2 则 P(η =2)= C3 ( ) (1- )= . 16 16 4096
由题意得η ~(3, 2.(2010 全国卷 2 理) (20) (本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2,

T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知 T1, T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999.
(Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ? 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的元件个数,求 ? 的期望.

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学 期望,考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】

【点评】概率与统计也是每年的必考题,但对考试难度有逐年加强的趋势,已经由原来解 答题的前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置, 对考生分析问题的能力要求有所加强, 这 应引起高度重视. 3.(2010 全国卷 2 文) (20) (本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T 1 ,T 2 ,T 3 ,T 4 ,电源能通过 T 1 , T 2 ,T 3 的概率都是 P,电源能通过 T 4 的概率是 0.9,电源能否通过各元件相互独立。已知 T 1 ,T 2 ,T 3 中至少有一个能通

过电流的概率为 0.999。 (Ⅰ)求 P; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率。

【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率, (1)设出基本事件,将要求事件用基本事件的来表示,将 T1,T2,T3 至少有一个能通过 电流用基本事件表示并求出概率即可求得 P。 (2)将 MN 之间能通过电流用基本事件表示出来,由互斥事件与独立事件的概率求得。 4.(2010 江西理)18. (本小题满分 12 分) 某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随机 (即等可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一 个你未到过 的通道,直至走完迷宫为止。令 ? 表示走出迷宫所需的时间。 ... (1) 求 ? 的分布列; (2) 求 ? 的数学期望。 【解析】考查数学知识的实际背景,重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概 率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 (1) 必须要走到 1 号门才能走出, ? 可能的取值为 1,3,4,6

P (? ? 1) ?

1 3



1 1 1 P(? ? 3) ? ? ? 3 2 6



1 1 1 P(? ? 4) ? ? ? 3 2 6



1 1 2 1 P(? ? 6) ? A2 ( ? ) ?1 ? 3 2 3
分 布 列

?
P

1

3

4

6

为:

1 3

1 6

1 6

1 3

(2) E? ? 1?

1 1 1 1 7 ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 小时 3 6 6 3 2

5.(2010 重庆文) (17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排 在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2,??,6) ,求: (Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率; (Ⅱ)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

6.(2010 北京理)(17)(本小题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试。 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4 , 第二、 5

第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是否取得优秀成绩相 互独立。记ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 3

p

6 125

a

d

24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的值; (Ⅲ)求数学期望 E ξ 。 解:事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩” , i =1,2,3,由题意知

P ( A1 ) ?

4 , P( A2 ) ? p , P( A3 ) ? q 5

(I)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ ? ? 0 ”是对立的,所

以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是

1 ? P(? ? 0) ? 1 ?
(II)由题意知

6 119 ? , 125 125

1 6 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? (1 ? p)(1 ? q) ? 5 125 4 24 P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? pq ? 5 125
6 , p ? q ?1 125 3 2 由 p ? q ,可得 p ? , q ? . 5 5
整理得

pq ?

(III)由题意知 a ? P(? ? 1) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3) =

4 1 1 (1 ? p)(1 ? q) ? p(1 ? q) ? (1 ? p)q 5 5 5 37 ? 125

b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3)
=

58 125

E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2P(? ? 2) ? 3P(? ? 3)
=

9 5

7.(2010 四川理) (17) (本小题满分 12 分)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一 瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概 率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 (Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (Ⅱ)求中奖人数ξ 的分布列及数学期望 Eξ . 解: (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么
1 6

P(A)=P(B)=P(C)=

1 6
1 5 2 25 ( ) ? 6 6 216 25 ??????????????6 分 216

P( A B C )=P(A)P( B )P( C )=

答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为

(2)ξ 的可能值为 0,1,2,3

P(ξ =k)= C3k ( ) k ( )3? k (k=0,1,2,3)
所以中奖人数ξ 的分布列为 ξ 0
125 216

1 6

5 6

1
25 72

2
5 72

3
1 216

P Eξ =0×

1 125 25 5 1 +1× +2× +3× = ??????????????????12 分 216 72 72 216 2 2 ,且各次射击的结果互不影响。 3

8.(2010 天津理) (18).(本小题满分 12 分) 某射手每次射击击中目标的概率是

(Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率 (Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率; (Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次 射击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外 加 3 分,记 ? 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ? 的分布列。 【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事 件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力,满分 12 分。 (1)解:设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ B ? 5, 有 2 次击中目标的概率

? ?

2? ? .在 5 次射击中,恰 3?

40 ? 2? ? 2? P( X ? 2) ? C5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 243
2

2

2

(Ⅱ)解:设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) ; “射手在 5 次射击中, 有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A ,则

P( A) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 )
? 2? ?1? 1 ? 2? 1 ?1? ? 2? = ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3? ? 3? 3 ? 3? 3 ? 3? ? 3?
=
3 2 3 2 3

8 81

(Ⅲ)解:由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3,6

1 ?1? P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27

3

P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A 2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )
2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 = ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? 3 3 3 ?3? 3 9
2 1 2 4 P(? ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? 3 3 3 27
2 2

8 ? 2? 1 1 ?1? P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 27 8 ?2? P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27
所以 ? 的分布列是
3

2

2

9.(2010 广东文)17.(本小题满分 12 分) 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观 众,相关的数据如下表所示: 文艺节目 20 至 40 岁 大于 40 岁 总计 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100

10.(2010 福建文)18. (本小题满分 12 分) 设平顶向量 am = ( m , 1), bn = ( 2 , n ),其中 m, n ? {1,2,3,4}. (I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果; (II)记“使得 am ? ( am - bn )成立的( m,n ) ”为事件 A,求事件 A 发生的概率。

11.(2010 全国卷 1 理)(18)(本小题满分 12 分) 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录

用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3. 各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

12.(2010 四川文) (17) (本小题满分 12 分) 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖 内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该 饮料。 (Ⅰ)求三位同学都没有中奖的概率;
1 6

(Ⅱ)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

13.(2010 山东理)

P(? =4)=

3 1 2 1 1 2 3 1 1 11 ? ? + ? ? ? ? = , 4 2 3 4 2 3 4 2 3 24

所以 ? 的分布列为

?
P (? )

2

3

4

1 8 1 10 11 10 数学期望 E? = 2 ? + 3 ? +4 ? = 。 8 24 3 24

10 24

11 24

【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列 以及数学期望的知识,考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。

14.(2010 福建理)

?
P 所以 E? = 0 ?

0

1

4

9

1 6

1 3

1 3

1 6

1 1 1 1 19 ? 1? ? 4 ? ? 9 ? ? 。 6 3 3 6 6

15.(2010 江苏卷)22.本小题满分 10 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;乙产品的一等品 率为 90%,二等品率为 10%。生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若是二等品 则亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏损 2 万 元。设生产各种产品相互独立。 (1)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列; (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 [解析] 本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解能力。满分 10 分。 解: (1)由题设知,X 的可能取值为 10,5,2,-3,且 P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=2)=0.8×0.1=0.08, P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02。

由此得 X 的分布列为: X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02

(2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 ? n 件。 由题设知 4n ? (4 ? n) ? 10 ,解得 n ? 又 n ? N ,得 n ? 3 ,或 n ? 4 。
3 所求概率为 P ? C4 ? 0.83 ? 0.2 ? 0.84 ? 0.8192

14 , 5

答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。

2009 年高考题 一、选择题 1.(09 山东 11)在区间 ??1,1? 上随机取一个数 x , cos 为 A.

?x 1 的值介于 0 到 之间的概率 2 2
( )

1 3

B.

2

?

C.

1 2

D.

2 3

【解析】 在区间[-1, 1]上随机取一个数 x,即 x ?[?1,1] 时,要使 cos 之间,需使 ?

2 2 或 ? x ? 1 ,区间长度为 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 ?x 1 1 ,由几何概型知 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 3 ? .故选 A. 3 2 2 2 3 ? ??


?

?x

?

?

?

?x

?

?

?x 1 的值介于 0 到 2 2

∴ ?1 ? x ? ?

答案 A

2.(09 山东文)在区间 [ ? 率为 A.

? ?

1 , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概 2 2 2
( ).

1 3

B.

2

?

C.

【解析】在区间 [ ? 到

? ?

1 2

D.

2 3

1 ? ? ? ? ? 之间,需使 ? ? x ? ? 或 ? x ? ,区间长度为 ,由几何概型知 cos x 的 2 2 3 3 2 3

, ] 上随机取一个数 x,即 x ? [ ? , ] 时,要使 cos x 的值介于 0 2 2 2 2

? ?

?
1 1 值介于 0 到 之间的概率为 3 ? .故选 A. 2 ? 3
答案 A 3.(09 安徽卷理)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙 也从这 6 个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等 于 A. ( )

1 75

B.

2 75

C.

3 75

D.

4 75

?B ?
C

【解析】如图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这
2 2 6 个点中任意选两个点连成直线,共有 C6 ? C6 ? 15 ?15 ? 225

?F

?E ?A

?D

种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有

AC // DB, AD // CB, AE // BF , AF // BE, CE // FD, CF // ED
共 12 对,所以所求概率为 p ? 答案 D

12 4 ? ,选 D 225 75

4.(2009 安徽卷文)考察正方体 6 个面的中心,从中任意选 3 个点连成三角形,再把剩 下的 3 个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于 A.1 B. C. D. 0 ( )

3 【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有 C6 个.由正方体各中心的对称

性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为 1,选 A。 答案 A

5、 (2009 江西卷文)甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率 相等,现任意将这 4 个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相 遇的概率为 ( )

A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

【解析】所有可能的比赛分组情况共有 4 ? 种,故选 D . 答案 D

2 2 C4 C2 ? 12 种,甲乙相遇的分组情况恰好有 6 2!

6.(2009 江西卷理)为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片,每袋食 品随机装入一张卡片,集齐 3 种卡片可获奖,现购买该种食品 5 袋,能获奖的概率为 ( A. )

33 48 C. 81 81 5 5 3 ? (3 ? 2 ? 3) 50 ? 故选 D 【解析】 P ? 35 81
B. 答案 D

31 81

D.

50 81

7.(2009 四川卷文)设矩形的长为 a ,宽为 b ,其比满足 b ∶ a =

5 ?1 ? 0.618 ,这种 2

矩形给人以美感,称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂 随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次:0.598 乙批次:0.618 0.625 0.613 0.628 0.592 0.595 0.622 0.639 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论 是 ( )

A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 【解析】甲批次的平均数为 0.617,乙批次的平均数为 0.613 答案 A

8.(2009 辽宁卷文)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随 机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为

( A.



? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

D. 1 ?

? 8
? 2

【解析】 长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为

因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1 ? 答案 B

? ? ÷2= 2 4

? 4
1 ,则 P ?E I F ? 的 4
( )

9. (2009 年上海卷理)若事件 E 与 F 相互独立, 且 P?E? ? P?F ? ? 值等于 A. 0 B.

1 16

C.

1 4

D.

1 2

【解析】 P ? E I F ? = P ? E ? ? P ? F ? ? 答案 B 二、填空题

1 1 1 ? = 4 4 16

10.( 20 09 广 东 卷 理 )已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX ? 0 , DX ? 1 , 则a ? ,b ? .

【解析】由题知 a ? b ? c ?

11 1 1 2 2 2 ? 1 ,解得 , ? a ? c ? ? 0 ,1 ? a ? 1 ? c ? 2 ? 12 6 12

a?

5 1 ,b ? . 12 4

答案
2 11.(2009 安徽卷理)若随机变量 X ~ N (? , ? ) ,则 P( X ? ? ) =________.

答案

1 2

12.(2009 安徽卷文)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条 线 段为边可以构成三角形的概率是________。 【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4 或 3、4、5 或 2、4、 5,故 P ?

3 3 ? =0.75. 3 C4 4

答案 0.75 13.(2009 江苏卷)现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8, 2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 【解析】 考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10, 它们的长度恰好相差 0.3m 的 事件数为 2,分别是:2.5 和 2.8,2.6 和 2.9,所求概率为 0.2。 答案 0.2 14.(2009 江苏卷)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮 练习,每人投 10 次,投中的次数如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2

.

3号 7 6 .

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s = 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。 甲班的方差较小,数据的平均值为 7, 故方差 s ?
2

(6 ? 7)2 ? 02 ? 02 ? (8 ? 7) 2 ? 02 2 ? 5 5

答案 15.(2009 湖北卷文)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8、 0.6、 0.5, 则三人都达标的概率是 , 三人中至少有一人达标的概率是 。

【解析】三人均达标为 0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为 1-0.24=0.76 答案 0.24 0.76

16.(2009 福建卷文)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 。

【解析】如图可设 AB ? 1 ,则 AB ? 1 ,根据几何概率可知其整体事 件是其周长 3 ,则其概率是 答案

2 。 3

2 3
123 127 则该样本标准差 s ?

17. (2009 重庆卷文)从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量如下(单位:克)125 124 121 (克) (用数字作答) .

【解析】因为样本平均数 x ?

1 (125 ? 124 ? 121 ? 123 ? 127) ? 124 , 则 样 本 方 差 5

1 s 2 ? (12 ? O 2 ? 32 ? 12 ? 32 ) ? 4, 所以 s ? 2 5
答案 2 三、解答题 18、 (2009 浙江卷理) (本题满分 14 分)在 1, 2, 3, (I)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率; (II)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1, 2,3 ,则有两组相邻的 数 1, 2 和 2, 3 ,此时 ? 的值是 2 ) .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? . 解(I)记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A,则 P( A) ? (II)随机变量 ? 的取值为 0,1, 2, ? 的分布列为
1 C4 C52 10 ? ; 3 C9 21

, 9 这 9 个自然数中,任取 3 个数.

?
P

0

1

2

5 12

1 2 5 1 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 12 2 12 3

1 12

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

19、 (2009 北京卷文) (本小题共 13 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红 灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率. 解(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等 于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所以事 件 A 的概率为 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 . ? 3 ? 3 27

(Ⅱ)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B,这名 学 生在上学路上遇到 k 次红灯的事件 Bk ? k ? 0,1, 2? .

则由题意,得 P ? B0 ? ? ?
1?1? P ? B1 ? ? C4 ? ? ? 3? 1 3

? 2 ? 16 ? ? , ? 3 ? 81
2 2

4

24 ? 2 ? 32 2 ?1? ? 2? ? ? ? , P ? B2 ? ? C4 ? ? ? ? ? . 81 ? 3 ? 81 ? 3? ? 3?
8 . 9

由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” , ∴事件 B 的概率为 P ? B ? ? P ? B0 ? ? P ? B1 ? ? P ? B2 ? ? 20、 (2009 北京卷理) (本小题共 13 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的, 遇到 红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望. 解 (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所 以事件 A 的概率为 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 . ? 3 ? 3 27

(Ⅱ)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯” ( k ? 0,1,2,3,4) ,

?1? ? 2? ∴ P ?? ? 2k ? ? C ? ? ? ? ? 3? ? 3?
4 k

k

4? k

? k ? 0,1, 2,3, 4? ,

∴即 ? 的分布列是

?
P

0

2

4

6

8

32 8 8 27 81 81 16 32 8 8 1 8 ? 2? ? 4? ? 6? ? 8? ? . ∴ ? 的期望是 E? ? 0 ? 81 81 27 81 81 3

16 81

1 81

21、(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球得

3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第 三次,某同学在 A 处的命中率 q 1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q 2 ,该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列 为

?

0 0.03

2 P1

3 P2

4 P3

5 P4

p (1)求 q 2 的值; (2)求随机变量 ? 的数学期望 E ? ; (3) 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概 率的大小。 解 (1)设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25, P( A) ? 0.75 , P(B)= q 2 , P(B) ? 1 ? q2 . 根据分布列知: ? =0 时 P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75(1 ? q2 )2 =0.03,所以

1 ? q2 ? 0.2 ,q 2 =0.8.
(2)当 ? =2 时, P1= P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB)

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) =0.75 q 2 ( 1 ? q2 )×2=1.5 q 2 ( 1 ? q2 )=0.24
当 ? =3 时, P2 = P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.25(1 ? q2 )2 =0.01, 当 ? =4 时, P3= P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75q22 =0.48, 当 ? =5 时, P4= P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB)

? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 =0.24
所以随机变量 ? 的分布列为

?

0

2

3

4

5

p

0.03

0.24

0.01

0.48

0.24

随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( BBB ? BBB ? BB)

? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 ;
该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. 22、 (2009 安徽卷理) (本小题满分 12 分) 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区.B 肯定是受 A 感染的.对于 C,因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的,于是假定他受 A 和受 B 感染的 概率都是

1 1 .同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 .在这种假定之下,B、C、D 2 3

中直接 受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并 .. 求 X 的均值(即数学期望). 本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列 和均值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意 识。体现数学的科学价值。本小题满分 12 分。 解 随机变量 X 的分布列是 X P X 的均值为 EX ? 1? 1 2 3

1 3
1 1 1 11 ? 2 ? ? 3? ? 3 2 6 6

1 2

1 6

附:X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是 ① A—B—C—D ② A—B—C └D ③ A—B—C └D ④ A—B—D └C

1 : 6
⑤ A—C—D └B ⑥

在情形①和②之下,A 直接感染了一个人;在情形③、 ④、 ⑤之下,A 直接感染了两个人; 在情形⑥之下,A 直接感染了三个人。 23、 (2009 江西卷理) (本小题满分 12 分)

某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案 进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

1 .若某人获得两个“支 2

持” ,则给予 10 万元的创业资助;若只获得一个“支持” ,则给予 5 万元的资助;若未获 得“支持” ,则不予资助,令 ? 表示该公司的资助总额. (1) 写出 ? 的分布列; (2) 求数学期望 E? . 解(1) ? 的所有取值为 0,5,10,15, 20, 25,30

1 3 15 5 P (? ? 5) ? P(? ? 10) ? P(? ? 15) ? 64 32 64 16 15 3 1 P (? ? 20) ? P (? ? 25) ? P (? ? 30) ? 64 32 64 3 15 5 15 3 1 ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 15 . (2) E? ? 5 ? 32 64 16 64 32 64 P (? ? 0) ?
24、(2009 湖北卷理)(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2,3,4,5;另一个盒子 也装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 3,4,5,6。现从一个盒子中任取 一张卡片,其上面的数记为 x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为 y,记 随机变量?=x+y ,求? 的分布列和数学期望。 解 依题意,可分别取? ? 5 、6、 ???? 11 取,则有

1 1 2 3 ? , p (? ? 6) ? , p(? ? 7) ? 4 ? 4 16 16 16 4 3 2 1 p (? ? 8) ? , p (? ? 9) ? , p (? ? 10) ? , p (? ? 11) ? 16 16 16 16 p (? ? 5) ?
? ? 的分布列为

?
p

5

6

7

8

9

10

11

3 4 3 2 16 16 16 16 1 2 3 4 3 2 1 E? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 10 ? ? 11? ? 8 . 16 16 16 16 16 16 16
25、 (2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分)

1 16

2 16

1 16

某人向一目射击 4 次, 每次击中目标的概率为。 该目标分为 3 个不同的部分, 第一、 二、 三部分面积之比为 1:3:6。击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比。

(Ⅰ)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (Ⅱ)若目标被击中 2 次,A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” ,求 P(A) 解(Ⅰ)依题意 X 的分列为

(Ⅱ)设 A1 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. B1 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,

A ? A1 B1 ? A1 B1 ? A1 B1 ? A2 B2 ,
所求的概率为

P( A) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P (A1 B1) ? P( A2 B2 ) P( A1 B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P (A1 )P(B1 ) ? P( A2 ) P( B2 )
0.1? 0.9 ? 0.9 ? 0.1 ? 0.1? 0.1 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.28
26、 (2009 湖南卷文) (本小题满分 12 分) 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产 业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的 人独立地从中任选一个项目参与建设.求: (I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (II)至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率. 解 件 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事 ??

1 1 1 、 、 .现有 3 名工 2 3 6

Ai , Bi , Ci , i=1,2,3.由题意知 A1 , A2 , A3 相互独立, B1 , B2 , B3 相互独立,

C1, C2 , C3
相互独立, Ai , Bj , Ck (i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 互不相同)相互独立, 且 P( Ai ) ?

1 1 1 , P( Bi ) ? , P(Ci ) ? . 2 3 6

(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P= 3! P( A 1 ) P( B2 ) P(C3 ) ? 6 ? 1B2C3 ) ? 6P( A

1 1 1 1 ? ? ? . 2 3 6 6 1 3 19 . 27

(Ⅱ)至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率 P= 1 ? P( B1 B2 B3 ) ? 1 ? P( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) ? 1 ? (1 ? ) ?
3

27、 (2009 全国卷Ⅰ文) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假 设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已 知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (Ⅰ)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率,综合 题。 解 记 “第 i 局甲获胜” 为事件 Ai (i ? 3,4,5) , “第 j 局甲获胜” 为事件 Bi ( j ? 3,4,5) 。

(Ⅰ)设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A,则

A ? A3 ? A4 ? B3 ? B4 ,由于各局比赛结果相互独立,故 P( A) ? P( A3 ? A4 ? B3 ? B4 ) ? P( A3 ? A4 ) ? P( B3 ? B4 ) ? P( A3 ) P( A4 ) ? P( B3 ) P( B4 )
? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.52 。
(Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B,因前两局中,甲、乙各胜 1 局,故甲获得 这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜 2 局,从而

B ? A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5 ,由于各局比赛结果相互独立,故
P( B) ? P( A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5 )
? P ( A3 ? A4 ) ? P ( B3 ? A4 ? A5 ) ? P ( A3 ? B4 ? A5 ) ? P ( A3 ) P ( A4 ) ? P ( B3 ) P ( A4 ) P ( A5 ) ? P ( A3 ) P ( B4 ) P ( A5 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.648
28、 (2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分) 椐统计, 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0,1,2 的概率分别为 0.4,0.5,0.1 (Ⅰ) 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率; (Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被

消费者投诉 2 次的概率。 解 解答 1(Ⅰ)设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”事件 B 表示“一个月内 被投诉的次数为 1” 所以 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.9 (Ⅱ)设事件 Ai 表示“第 i 个月被投诉的次数为 0”事件 Bi 表示“第 i 个月被投诉的次 数为 1”事件 Ci 表示“第 i 个月被投诉的次数为 2”事件 D 表示“两个月内被投诉 2 次” 所以 P( Ai ) ? 0.4, P( Bi ) ? 0.5, P(Ci ) ? 0.1(i ? 1, 2) 所以两个月中,一个月被投诉 2 次,另一个月被投诉 0 次的概率为 P( AC 1 2 ? A2C1 ) 一、二月份均被投诉 1 次的概率为 P( B1B2 ) 所以 P( D) ? P( AC 1 2 ?A 2C1 ) ? P( B 1B2 ) ? P( AC 1 2 ) ? P( A 2C1 ) ? P( B 1B2 ) 由事件的独立性的

p( D) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.1? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.33
解答 2(Ⅰ)设事件 A 表示“一个月内被投诉 2 次”设事件 B 表示“一个月内被投诉 的次数不超过 1 次” 所以 p( A) ? 0.1,? P( B) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.1 ? 0.9 (Ⅱ)同解答 1(Ⅱ) 29、(2009 湖南卷理)(本小题满分 12 分) 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业 建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 独立地从中任选一个项目参与建设。 (I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (II)记 ? 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数, 求 ? 的分布列及数学期望。 解:记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

1 1 1 、 、 ,现在 3 名工人 2 3 6

A1 , B1 , C1 ,i=1,2,3.由题意知 A1 A2 A3 相互独立, B1 B2 B3 相互独立, C1 C2C3 相互
独立, A 1, B 1 , C1 (i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 互不相同)相互独立,且 P( A 1 )=, P( B1 )=

1 1 ,P( C1 )= 3 6

(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3!P( A 1 B2 C3 )=6P( A 1 )P( B2 )P( C3 )=6 ?

1 1 1 1 ? ? = 2 3 6 6 1 3

? -B (2) 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为? , 由己已知, (3, ) ,
且 ? =3? 。

1 , 27 2 2 2 1 3 ( ) ( ) = P( ? =1)=P(? =2)= C3 3 3 9 2 4 1 1 ( ) ( )2 = P( ? =2)=P(? =1)= C3 3 3 9 2 8 0 ( )3 = P( ? =3)=P(? =0)= C3 3 27
1 ( ) = 所以 P( ? =0)=P(? =3)= C3
3

1 3

故 ? 的分布是

?
P

0

1

2

3

2 9 1 2 4 8 ? 的数学期望 E ? =0 ? +1 ? +2 ? +3 ? =2 27 9 9 27

1 27

4 9

8 27

解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 D1 , i=1,2,3 ,由此已知, D1 ·D, D1 相互独立,且 P( D1 )-( A 1 , C1 )= P( A 1 )+P( C1 )=

1 1 2 + = 2 6 3
3? K

所以 ? -- B(3, ) ,既 P (? ? K ) ? C3 ( ) ( )
K K

2 3

2 3

1 3

, k ? 0,1, 2,3.

故 ? 的分布列是

?
p

0

1

2

3

1 27

2 9

4 9

8 27

30、 (2009 四川卷理) (本小题满分 12 分) 为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省外人 士发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) 。某旅游 公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中 内游客。 在省外游客中有

3 是省外游客,其余是省 4

1 2 持金卡,在省内游客中有 持银卡。 3 3

(I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (II)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ? ,求 ? 的 分布列及数学期望 E? 。 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算, 考 察运用概率只是解决实际问题的能力。 解: (Ⅰ)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人 持 银卡。设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” , 事件 A , 1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡” 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡” 。

P( B) ? P( A1 ) ? P( A2 )

?
?

1 2 1 1 1 C9 C21 C9 C6C21 ? 3 3 C36 C36

9 27 ? 34 170 36 ? 85
所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是

36 。 85

??????????????????????6 分 (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3

P(? ? 0) ?

3 C3 1 ? , 3 C9 84

P(? ? 1) ?

1 2 C6 C3 3 ? 3 C9 14

P(? ? 2) ?

2 1 3 C6 C3 15 C6 15 , ? P ( ? ? 3) ? ? , 3 3 C9 28 C9 21

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 3 15 5 14 84 28 21 1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 , ????????12 分 所以 E? ? 0 ? 84 14 28 21
31、 (2009 重庆卷理) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率 分别为

2 1 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 3 2

(Ⅰ)两种大树各成活 1 株的概率; (Ⅱ)成活的株数 ? 的分布列与期望. 解 设 Ak 表示甲种大树成活 k 株,k=0,1,2

Bl 表示乙种大树成活 l 株,l=0,1,2
则 Ak , Bl 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

2 1 1 1 P ( Ak ) ? C k 2 ( ) k ( ) 2? k , P( Bl ) ? C l 2 ( )l ( ) 2?l . 3 3 2 2
据此算得

1 , 9 1 P ( B0 ) ? , 4 P ( A0 ) ?

4 , P ( A2 ) ? 9 1 P ( B1 ) ? , P ( B2 ) ? 2 P ( A1 ) ?

4 . 9 1 . 4

(Ⅰ) 所求概率为

4 1 2 P( A2 ? B1 ) ? P( A1 ) ? P( B1 ) ? ? ? 9 2 9
(Ⅱ) 解法一:

.

? 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且
1 1 1 P(? ? 0) ? P( A0 ? B0 ) ? P( A0 ) ? P( B0 ) ? ? ? , 9 4 36 1 1 4 1 1 P(? ? 1) ? P( A0 ? B1 ) ? P( A1 ? B0 ) ? ? ? ? ? , 9 2 9 4 6

1 1 4 1 4 1 13 P(? ? 2) ? P( A0 ? B2 ) ? P( A1 ? B1 ) ? P( A2 ? B0 ) ? ? ? ? ? ? = , 9 4 9 2 9 4 36 4 1 4 1 1 P(? ? 3) ? P( A1 ? B2 ) ? P( A2 ? B1 ) ? ? ? ? ? . 9 4 9 2 3 4 1 1 P(? ? 4) ? P( A2 ? B2 ) ? ? ? . 9 4 9
综上知 ? 有分布列

?
P

0 1/36

1 1/6

2 13/36

3 1/3

4 1/9

从而, ? 的期望为

E? ? 0 ?
解法二:

1 1 13 1 1 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? (株) 36 6 36 3 9 3

分布列的求法同上 令 ?1,?2 分别表示甲乙两种树成活的株数,则

?1 : B(2, ),? 2 : B(2, )
故有 E?1 =2 ? = ,E? 2 ? 2 ? 从而知 E? ? E?1 ? E? 2 ?

2 3

1 2

2 4 3 3

1 ?1 2

7 3

32、 (2009 重庆卷文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分 别为

5 4 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 6 5

(Ⅰ)至少有 1 株成活的概率; (Ⅱ)两种大树各成活 1 株的概率. 解 设 Ak 表示第 k 株甲种大树成活 , k ? 1, 2 ; 设 Bl 表示第 l 株乙种大树成活 ,

l ? 1, 2
则 A1 , A2 , B1 , B2 独立,且 P( A1 ) ? P( A2 ) ? (Ⅰ)至少有 1 株成活的概率为:

5 4 , P( B1 ) ? P( B2 ) ? 6 5

1 1 899 1 ? P( A1 ? A2 ? B1 ? B2 ) ? 1 ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P ( B1 ) ? P ( B2 ) ? 1 ? ( ) 2 ( ) 2 ? 6 5 900

(Ⅱ)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1 株的概率为:
1 P ? C2

5 1 1 4 1 10 8 4 ? C2 ? ? ? 66 5 5 36 25 45

2007—2008 年高考题 一、选择题 1.(2008 年全国Ⅱ理 6)从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为( A. ) D.

9 29

B.

10 29

C.

19 29

20 29

1 2 2 1 C20 C10 ? C20 C10 20 【解析】 P ? ? 3 29 C30

答案 D 2、 (2007 年辽宁理)一个坛子里有编号为 1,2,?,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球 的号码是偶数的概率是( A. ) C.

1 22

B.

1 11

3 22

D.

2 11

答案 D 3、(2007 年湖北理)连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = (m,n) 与向量

? ?? b ? (1 , ? 1) 的夹角为 ? ,则 ? ? ? 0, ? 的概率是( ? ??
A.



5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

5 6

答案 C 4、 (2007 年浙江理 5) 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? 2 ) , P(? ≤ 4) ? 0.84 ,则 P(? ≤ 0) ? ( A. 0.16 答案 A 5、 (2007年安徽理)以 ? ( x) 表示标准正态总体在区间( ? ?, x )内取值的概率,若随机变
2 量 ? 服从正态分布 N (?, ? ) ,则概率 P ( ? ? ? ? ? ) 等于



B. 0.32

C. 0.68

D, 0.84

(A) ? ( ? ? ? ) - ? ( ? ? ? ) (C) ? ( 答案 B 二、填空题 7、 (2007 天津文 15)随机变量 ? 的分布列如下:

(B) ? (1) ? ? (?1) (D) 2? ( ? ? ? )

1? ?

?

)

?
P

?1

0
b

1

a

c


其中 a,b,c 成等差数列,若 E? ? 答案

1 ,则 D? 的值是 3

5 9 1 ,他投球 10 次,恰好投进 3 2

8、 (2007 年湖北理)某篮运动员在三分线投球的命中率是 个球的概率 答案 . (用数值作答)

15 128
2

9、 (2007 年全国Ⅱ理 14)在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1,? ) (?>0) ,若 ? 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ? 在(0,2)内取值的概率为 答案 0.8 【解析】在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1,? ) (?>0) ,正态分布图象的对
2



称轴为 x=1,? 在(0,1)内取值的概率为 0.4,可知,随机变量 ξ 在(1,2)内取值的概 率于 ? 在(0,1)内取值的概率相同,也为 0.4,这样随机变量 ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8。 三、解答题 11、 (2008 年全国Ⅱ理理 18)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元, 若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少 支付赔偿金 10 000 元的概率为 1 ? 0.999
104



(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不

小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元) . 解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p ,记投保的 10 000 人中出险的人 数为 ? ,则 ? ~ B(104,p) . (Ⅰ)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发生当且仅当

? ? 0 , ································· 2 分
P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? p)10 ,
又 P( A) ? 1 ? 0.99910 ,故 p ? 0.001 . ···················· 5 分 (Ⅱ)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为
4

4

10 000? ? 50 000 ,

? ? 10 000a ? (10 000? ? 50 000) ,
E? ? 10 000a ? 10 000E? ? 50 000 , ············· 9 分

由 ? ~ B(104, 10?3 ) 知, E? ? 10 000 ?10?3 ,

E? ? 104 a ?104 E? ? 5 ?104
? 104 a ? 104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 .

E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0
? a ? 10 ? 5 ≥ 0 ? a ≥15 (元) .
故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. ?????????????????? 12 分 12、 (2008 年全国Ⅱ理 18)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元, 若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少 支付赔偿金 10 000 元的概率为 1 ? 0.999
104



(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不

小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元) . 解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p ,记投保的 10 000 人中出险的人 数为 ? ,则 ? ~ B(104,p) . (Ⅰ)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发生当且仅当

? ? 0 , P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? p)10 ,
又 P( A) ? 1 ? 0.99910 ,故 p ? 0.001 . (Ⅱ)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为
4

4

10 000? ? 50 000 ,

? ? 10 000a ? (10 000? ? 50 000) ,
E? ? 10 000a ? 10 000E? ? 50 000 ,

由 ? ~ B(104, 10?3 ) 知, E? ? 10 000 ?10?3 ,

E? ? 104 a ?104 E? ? 5 ?104
? 104 a ? 104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 .

E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0
? a ? 10 ? 5 ≥ 0 ? a ≥15 (元) .
故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元.

0.6 , 13、 (2007 年福建文) 甲、 乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别是 0.7 ,
且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求: (Ⅰ)甲试跳三次,第三次才成功的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (Ⅲ)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 解:记“甲第 i 次试跳成功”为事件 Ai , “乙第 i 次试跳成功”为事件 Bi ,依题意得

2, 3 )相互独立. P( Ai ) ? 0.7, P( Bi ) ? 0.6 ,且 Ai , Bi ( i ? 1,

(Ⅰ) “甲第三次试跳才成功”为事件 A1 A2 A3 ,且三次试跳相互独立,

? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? 0.3? 0.3? 0.7 ? 0.063.
答:甲第三次试跳才成功的概率为 0.063 . (Ⅱ) “甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 C . 解法一:

C ? A1 B1 ? A1B1 ? A1B1 ,且 A1 B1 , A1B1 , A1B1 彼此互斥,

? P(C) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P( A1)P(B1)
? 0.7 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.88 .
解法二: P(C) ? 1 ? P( A 1 ) P( B 1 ) ? 1 ? 0.3? 0.4 ? 0.88 . 答:甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为 0.88 . (Ⅲ)设“甲在两次试跳中成功 i 次”为事件 Mi (i ? 01 , , 2) , “乙在两次试跳中成功 i 次”为事件 Ni (i ? 0, 1, 2) , 事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 M1 N0 ? M 2 N1 , 且 M1 N0 , M 2 N1 为互斥事件,

? 所求的概率为 P(M1N0 ? M 2 N1 ) ? P(M1N0 ) ? P(M 2 N1 )
? P(M1 ) P( N0 ) ? P(M 2 ) P( N1 )
1 1 ? C2 ? 0.7 ? 0.3? 0.42 ? 0.72 ? C2 ? 0.6 ? 0.4

? 0.0672 ? 0.2352 ? 0.3024
答:甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为 0.3024 . 14、 (2007 年全国Ⅱ文 19)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件, 假设事件 A : “取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 . (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (2)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件,求事件 B : “取出的 2 件产品中至少有一

件二等品”的概率 P ( B ) . (1)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” , A1 表示事件 “取出的 2 件产品中恰 有 1 件二等品” . 则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A 1 ,故

P( A) ? P( A0 ? A1 )
? P( A0 ) ? P ( A1 ) ? (1 ? p) 2 ? C1 2 p (1 ? p ) ? 1 ? p2
于是 0.96 ? 1 ? p . 解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去) .
2

(2)记 B0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” , 则 B ? B0 .

? 0. ?2 若 该 批 产 品 共 100 件 , 由 ( 1 ) 知 其 中 二 等 品 有 1 0 0

2 件0, 故

P( B0 ) ?

2 C80 316 . ? 2 C100 495

P( B) ? P( B0 ) ? 1 ? P( B0 ) ? 1 ?

316 179 ? 495 495

15、 (2007 重庆理)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆

900 元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获 9000 元的赔偿(假
设每辆车最多只赔偿一次) ,设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为

1 1 , , 9 10

1 ,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中: 11
(Ⅰ)获赔的概率; (Ⅱ)获赔金额 ? 的分布列与期望. (18) (本小题 13 分)

2, 3 .由题意知 A1 , A2 , A3 独立, 解:设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, k ? 1,
且 P ( A1 ) ?

1 1 1 , P ( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 9 10 11

(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为

8 9 10 3 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? ? ? ? . 9 10 11 11
(Ⅱ) ? 的所有可能值为 0 , 9000 , 18000 , 27000 .

8 9 10 8 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? , 9 10 11 11

P(? ? 9000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 )
1 9 10 8 1 10 8 9 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 10 11 9 10 11 9 10 11 242 11 ? ? , 990 45

P(? ? 18000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 )
1 1 10 1 9 1 8 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 10 11 9 10 11 9 10 11 27 3 ? ? , 990 110

P(? ? 27000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
1 1 1 1 ? ? ? ? . 9 10 11 990
综上知, ? 的分布列为

?
P
求 ? 的期望有两种解法: 解法一:由 ? 的分布列得

0

9000

18000

27000

8 11

11 45

3 110

1 990

E? ? 0 ? ?

8 11 3 1 ? 9000 ? ? 18000 ? ? 27000 ? 11 45 110 990

29900 ≈ 2718.18 (元) . 11

2, 3, 解法二:设 ?k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额, k ? 1,
则 ?1 有分布列

?1
P

0

9000

8 9

1 9

1 ? 1000 . 9 1 1 ? 900 , E?3 ? 9000 ? ? 818.18 . 同理得 E? 2 ? 9000 ? 10 11
故 E?1 ? 9000 ? 综上有 E? ? E?1 ? E?2 ? E?3 ? 1000 ? 900 ? 818.18 ? 2718.18 (元) .

第二部分

四年联考汇编

2012-2013 年联考题
1.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测理】彩票公司每天开奖一次, 从 1、2、3、4 四个号码中随机开出一个作为中奖号码,开奖时如果开出的号码与前一 天相同,就要重开,直到开出与前一天不同的号码为止。如果第一天开出的号码是 4, 则第五天开出的号码也同样是 4 的概率为 A.

1 3

B.

7 27

C.

3 8

D.

1 27

【答案】B 【解析】第一天开出 4,则后四天开出的中奖号码的种数有 3 种。第五天同样开出 4,则 中间三天开出的号码种数:第二天有 3 种,第三天如果是 4,则第四天有 3 种;如果第三 天不是 4,则第四天有 2 种,所以满足条件的种数有 3 ? 2 ? 2 ? 3 ?1? 3 ? 21 。所以所求概 率为
4

2.【云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理】设随机变量 ? 服从正态分布 N (3,4) ,若

21 7 ? ,选 B. 81 27

P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,则 a 的值为 (
A.5 【答案】D B.3 C.



5 3

D.

7 3

【 解析 】因为 ? 服 从 正态分 布 N (3,4) , 所以随 机变 量 ? 关于 直线 x ? 3 对 称, 因为

2a ? 3 ? a ? 2 P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) , ? 3, 所以 x ? 2a ? 3, x ? a ? 2 关于 x ? 3 对称, 所以 2
即 3a ? 7 ,解得 a ?

7 ,选 D. 3

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 3.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域 ? y ? ?2 ?

为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到直线 y +2=0 的距离大于 2 的概率是 A.

4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

【答案】D 【解析】不等式对应的区域为三角形 DEF,当点 D 在线段 BC 上时,点 D 到直线 y +2=0 的距 离等于 2,所以要使点 D 到直线的距离大于 2,则点 D 应在三角形 BCF 中。各点的坐标为

BC ? 6, B(?2,, 0) C (4,, 0) D(?6, ? 2),E(4, ? 2),F (4, 3) ,所以 DE ? 10,EF ? 5,

S CF ? 3 , 根 据 几 何 概 型 可 知 所 求 概 率 为 P ? ?BCF S?DEF

1 ? 6?3 9 2 ? ? , 选 D. 1 ?10 ? 5 25 2

4.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 (A) 【答案】C 【解析】从袋中任取 2 个球,恰有一个红球的概率 P ?
1 1 C2 C2 4 2 ? ? ,选 C. 2 C4 6 3

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

5.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 随机分成两组,使 得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是( (A) )

2 4 1 2 (B) (C) (D) 21 63 21 63

【答案】B 【解析】将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 随机分成两组,使得每组至少有一个数则有
1 2 3 4 5 6 C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? 27 ? 2 ? 126 种,因为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 28 ,所以

要使两组中各数之和相,则有各组数字之和为 14.则有 7 ? 6 ? 1 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ;

7 ? 5 ? 2 ? 6 ? 4 ? 3 ?1; 7 ? 4 ? 3 ? 6 ? 5 ? 2 ?1; 7 ? 4 ? 2 ?1 ? 6 ? 5 ? 3 ; 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 7 ? 6 ?1; 6 ? 4 ? 3 ?1 ? 7 ? 5 ? 2 ; 6 ? 5 ? 2 ?1 ? 7 ? 4 ? 3 ;

6 ? 5 ? 3 ? 7 ? 4 ? 2 ? 1 共 8 种,所以两组中各数之和相等的概率是

8 4 ? ,选 B. 126 63

6.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次 面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验,若第二次面向上的点数小于 第一次面向上的点数我们称其为后效实验, 若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验. 那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是( )

A.

1 2

B.

1 6

C.

1 12

D.

1 36

【答案】B 【解析】投掷该骰子两次共有 6 ? 6=36 中结果,两次向上的点数相同,有 6 种结果,所以 投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是

6 ?1 1 = ,选 B. 6? 6 6

7.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四次月考理】如下图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 上的 任意一点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个[点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( )

(A)

1 4

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

【答案】C

1 AB BC S?ABE 2 1 ? ? 【解析】 由几何概型的计算方法, 可以得出所求事件的概率为 P ? S ABCD AB BC 2
所以选 C. 8.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理】圆 x ? y ? ? 内的曲线
2 2 2

,随机往圆内投掷一个点 A ,则点 y ? ? sin x 与 x 轴围成的阴影部分区域记为 M (如图)

A 落在区域 M 的概率为_________________.

4 3 【答案】 ?
【 解 析 】 当 ?? ? x ? 0 时 ,

? ? (? s i nx
?

0

d ) x? cos x0 2 所以阴影部分的面积为 ?? ? ,
4 . ?3

2 ? 2 ? 4 ,所以根据几何概型知点 A 落在区域 M 的概率为

9.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理】如果随机变量 ? ~ N (?1, ? 2 ) , 且 P(?3 ? ? ? ?1) ? 0.4 ,则 P(? ? 1) = 【答案】 0.1 【 解 析 】 根 据 对 称 性 可 知 P(?3 ? ? ? ?1) ? P(?1 ? ? ? 1) ? 0.4 , 所 以 .

P(? ? 1?)P ? ?(?

1? 0 ? . 4 0 . 4 ? 3 ) ? 。 0 . 1 2

10.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】 (本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品 的质量,从两厂生产的产品中随机抽取各10件,测量产品中某种元素的含量 (单位: 毫克). 下表是测量数据的茎叶图:

规定:当产品中的此种元素含量满足≥18 毫克时,该产品为优等品.

(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率; (Ⅱ)从乙厂抽出的上述 10 件产品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件产品中优等品数 ? 的 分布列及其数学期望 E (? ) ; (Ⅲ)从上述样品中,各随机抽取 3 件,逐一选取,取后有放回,求抽到的优等品数甲厂 恰比乙厂多 2 件的概率. 【答案】解: (I)甲厂抽取的样本中优等品有 6 件,优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有 5 件,优等品率为 (II) ? 的取值为 0,1,2,3.
3 1 C50 ? C5 C5 ? C52 5 1 P(? ? 0) ? ? , P(? ? 1) ? ? , 3 3 C10 12 C10 12

6 3 ? . 10 5

5 1 ? . ??????..2 分 10 2

P(? ? 2) ?

1 3 C52 ? C5 C5 5 1 ? , P ( ? ? 3) ? ? 3 3 C10 12 C10 12

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 12

5 12

5 12

1 12

E ?) ? 0? 故 ?的数学期望为(


1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 12 12 12 2 ???????? 9

(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件,即 A=“抽取的优等品数甲 厂 2 件,乙厂 0 件” ,B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙厂 1 件”

3 2 1 1 27 P( A) ? C32 ( ) 2 ( ) ? C30 ( ) 0 ( )3 ? 5 5 2 2 500 81 3 3 3 1 1 1 1 2 P( B) ? C3 ( ) ? C3 ( )( ) ? 5 2 2 1000
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率为 P( A) ? P( B) ?

27 81 27 ? ? . ?13 分 500 1000 200

11.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 13 分)

某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛 成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统 计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决 下列问题: 频率分布表

(Ⅰ)写出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学 到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 ? 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数,求 ? 的分布 列及其数学期望. 【答案】 解: (Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 . ? ??4 分 (Ⅱ)由题意可知,第 4 组有 4 人,第 5 组有 2 人,共 6 人. 从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有
2 C6 ? 15 种情况.

????????????????????????6 分

设事件 A :随机抽取的 2 名同学来自同一组,则

P( A) ?

2 2 C4 ? C2 7 ? . 2 C6 15

所以,随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知, ? 的可能取值为 0,1, 2 ,则

7 . ??????????8 分 15

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C4 C4 C2 8 C2 6 2 1 , , ? ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? . 2 2 2 C6 15 5 C6 15 C6 15

所以, ? 的分布列为

?
P

0
2 5

1

2

8 15

1 15

???????????????? 12 分

所以, E? ? 0 ?

2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . ??????????????13 分 5 15 15 3

12.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 13 分) 汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽 车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车 出租天数 车辆数 1 5 2 10 3 30 4 35 5 15 6 3 7 2

B 型车 出租天数 车辆数 1 14 2 20 3 20 4 16 5 15 6 10 7 5

(I)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好 是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天 数恰好为 4 天的概率;

(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A,B 两种车型中购买 一辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由. 【答案】解: (I)这辆汽车是 A 型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 30 ? ? 0.6 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 30 ? 20
这辆汽车是 A 型车的概率为 0.6 ???3 分

(II)设“事件 Ai 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天” , “ 事 件 Bj 表 示 一 辆 B 型 车 在 一 周 内 出 租 天 数 恰 好 为 j 天 ” ,其中

i, j ? 1,2,3,...,7
则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

P( A1B3 ? A2 B2 ? A3B1 ) ? P( A1B3 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A3B1 ) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 )P( B2 ) ? P( A3 )P( B1 )
5 2 0 1 0 2 0 3 0 1 4 ? ? ? ? ? 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 9 ? 1 2 5 ?

??????5 分 ??????7 分

该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

9 125

??????9 分 (Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为

X
P

1 0.05

2 0.10

3 0.30

4 0.35

5 0.15

6 0.03

7 0.02

设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为

Y

1

4

5

6

7[Y.COM /]

2

3

P
=3.62

0.14

0.20

0.20

0.16

0.15

0.10

0.05

E ( X ) ? 1 ? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3 ? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02

E (Y ) ? 1 ? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3 ? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05

=3.48
??????12 分 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天, B 类车型一个星期出租天数的 平均值为 3.48 天. 从出租天数的数据来看, A 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的 方差,综合分析, 选择 A 类型的出租车更加合理 . ??????13 分

13.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题共 13 分)甲、乙、丙三人独立 破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 、 、p, 且他们是否破 译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为 (Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率; (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX . 【答案】记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,依题意有

1 1 2 3

1 . 4

P( A1 ) ?

1 1 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? p, 且 A1 , A2 , A3 相互独立. 2 3

(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

1 2 2 1 ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? ? ? . 2 3 3
(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B ,则有

???????3 分

1 2 1? p , P( B) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? (1 ? p ) ? 2 3 3 1 1? p 1 ? ,p? . 所以 4 3 4
(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0,1,2,3 . 所以 P ( X ? 0) ?

???????5 分 ????????7 分 ????????8 分

1 , 4

P( X ? 1) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )

?

1 1 1 3 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? , 4 2 3 4 2 3 4 24

P( X ? 2) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )

1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 1 1 1 . ????????11 分 P( X ? 3) = P ( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? ? 2 3 4 24 ?
X 分布列为:

X
P

0
1 4

1

2

3
1 24
????????12 分

11 24

1 4

所以, E ( X ) ? 0 ?

1 11 1 1 13 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 4 24 4 24 12

??????13 分

14.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 13 分)某工厂甲、乙两个车 间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品,称其重量(单位:克) 是 否 合 格 , 分 别 记 录 抽 查 数 据 , 获 得 重 量 数 据 茎 叶 图 ( 如 右 ) .

(Ⅰ)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的 产品的重量相对稳定; (Ⅱ)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两件样品重量之差不超过 2 克的概 率.
2 2 【答案】 (Ⅰ) 设甲、 乙两个车间产品重量的均值分别为 X 甲 、X 乙 , 方差分别为 s甲 、s乙 ,

则 X甲 ? 分

122 ? 114 ? 113 ? 111 ? 111 ? 107 ? 113 , 6

????????1

X乙 ?


124 ? 110 ? 112 ? 115 ? 108 ? 109 ? 113 , 6

????????2

2 s甲 ?

1? 2 2 2 122 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?113 ? 113? ? 6?
2 2 2 ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?107 ? 113? ? ?

? 21 ,


????????4

1 2 2 2 2 s乙 ? ??124 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113 ? ? 6

? ?1 1 5 ? 1 3 ? ?1?
2

1? 0 ?8
2

?

1 ?1 3 ? ?? 1 0 9 ?
2

1 1 3

? 29.33 ,


????????6

2 2 由于 s甲 ,所以 甲车间的产品的重量相对稳定;????????7 ? s乙

分 (Ⅱ)从乙车间6件样品中随机抽取两件,结果共有 15 个:

?124,110? , ?124,112?, ?124,115?, ?124,108?, ?124,109?, ?110,112? , ?110,115?, ?110,108?, ?110,109?, ?112,115?, ?112,108? , ?112,109? , ?115,108?, ?115,109?, ?108,109?
分 设所抽取两件样品重量之差不超过2克的事件为 A, 则事件 A 共有 4 个结果: .??????9

?110,112? , ?110,108? , ?110,109? , ?108,109? .
所以

??11 分

P ? A? ?

4 . 15

???13 分

15.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 13 分) 生产 A, B 两种元件, 其质量按测试指标划分为: 指标大于或等于 82 为正品, 小于 82 为 次品.现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件 A 元件 B

[70,76)
8

[76,82)
12

[82,88)
40 40

[88,94)
32 29

[94,100]
8

7

18

6

(Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B,

若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元 .在(Ⅰ)的前提下, (ⅰ)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列 和数学期望; (ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率. 【 答 案 】 ( Ⅰ ) 解 : 元 件 A 为 正 品 的 概 率 约 为

40 ? 32 ? 8 4 ? . 100 5
元件 B 为正品的概率约为

??????1 分

40 ? 29 ? 6 3 ? . 100 4

???2 分 ???3 分

(Ⅱ)解: (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90, 45,30, ?15 .

4 3 3 P( X ? 9 0 ?) ? ? ; 5 4 5 4 1 1 P ( X ? 30) ? ? ? ; 5 4 5
所以,随机变量 X 的分布列为:

1 3 3 P( X ? 45) ? ? ? ;[来源:Z_xx_k.Com] 5 4 20 1 1 1 P( X ? ?15) ? ? ? .???7 分 5 4 20

X
P

90
3 5

45
3 20

30
1 5

?15
1 20
????8 分

3 3 1 1 EX ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? ? (?15) ? ? 66 . 5 20 5 20
(ⅱ)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5 ? n 件. 依题意,得 50n ? 10(5 ? n) ? 140 , 所以 n ? 4 ,或 n ? 5 . 解得 n ?

???9 分

19 . 6
???11 分

设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A ,

1 3 81 4 3 4 P( A) ? C5 ( ) ? ? ( )5 ? 则 4 4 4 128 .

???13 分

16.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】 (本小题满分 12 分)为了参加 2012 年 贵州省高中篮球比赛, 某中学决定从四个篮球较强的班级中选出 12 人组成男子篮球队代表 所在地区参赛,队员来源人数如下表: 班级 人数 高三( 7 )班 高三( 17 )班 高二( 31 )班 高二( 32 )班

4

2

3

3

(I)从这 12 名队员中随机选出两名,求两人来自同一班级的概率; (II)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言,设其

中来自高三(7)班的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 【答案】解: (I)“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一班级”记作事件 A , 则 P( A) ?
2 2 C4 ? C2 ? C32 ? C32 13 ······················· 6 ? ? 2 C12 66

(II) ? 的所有可能取值为 0,1, 2 ························· 7 ? 则 P(? ? 0) ?
0 2 1 1 2 0 C4 C8 14 C4 C8 16 C4 C8 3 ? , P ( ? ? 1) ? ? , P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C12 33 C12 33 C12 33

∴ ? 的分布列为:

?

0

1

2

P

14 33

16 33

3 33

······································ 10? ∴ E? ? 0 ?

14 16 3 2 ? 1? ? 2 ? ? ······················ 12 ? 33 33 33 3

17.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四次月考理】 (满分 12 分)以下茎叶图记录了甲、乙 两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(Ⅰ)如果 X ? 8 ,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X ? 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这 两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望. 【答案】解:(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; ??????????????3 分 4 4 1 35 2 35 2 35 2 11 2 . ?????????6 分 方差为 s ? [(8 ? ) ? (9 ? ) ? (10 ? ) ] ? 4 4 4 4 16
所以平均数为 x ? (Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学 的植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的结果, 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17, 18, 19, 20, 21 事件 “Y=17”

等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可 能的结果,因此 P(Y=17)=

2 1 ? 。 16 8

同理可得

P (Y ? 18) ?

1 1 1 1 ; P (Y ? 19) ? ; P(Y ? 20) ? ; P(Y ? 21) ? . 4 4 4 8

所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17 18 19 20 21

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21) =17×

1 1 1 1 1 +18× +19× +20× +21× 8 4 4 4 8
????????????12 分 英语老师要求学生

=19。

18.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研理】 (本小题满分 12 分)

从星期一到星期四每天学习 3 个英语单词; 每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进 行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同) (Ⅰ) 英语老师随机抽了 4 个单词进行检测, 求至少有 3 个是后两天学习过的单词的概率; (Ⅱ)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 每个能默写对的概率为

4 ,对前两天所学过的单词 5

3 .若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测,求该学生 5

能默写对的单词的个数 ξ 的分布列和期望. 【答案】 (Ⅰ)设英语老师抽到的 4 个单词中,至少含有 3 个后两天学过的事件为 A,则由 题意可得 P ( A) ? 5分 (Ⅱ)由题意可得ξ 可取 0,1,2,3,则有 P(ξ =0) ? ( )2 ?
1 4 C3 3 6 C6 + C 6 ? 4 C12 11

???????????????????

1 5

2 2 ? 5 125

???6 分

4 1 2 1 2 3 19 P(ξ =1) ? C1 , ?( ) ? ? 2? ? ? 5 5 5 5 5 125 4 2 4 1 3 56 P(ξ =2) ? ( )2 ? + C1 ,?????????????9 分 ? ? ? 2? 5 5 5 5 5 125 4 3 48 P(ξ =3) ? ( )2 ? ? ???????????????????10 分 5 5 125
所以ξ 的分布列为: ξ P 0 1 2 3

2 125

19 125

56 125

48 125

?11 分 故 Eξ =0×

2 19 56 48 11 +1× +2× +3× = ???????????12 分 125 125 125 125 5

19.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理】(本小题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的 列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2) 能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的 理由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为 ? ,求 ? 的分布 列与期望. 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

不喜爱打篮球 5

合计

10 50

3 5

0.05[ 0.15 2.072 0.10 来: 2.706 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

k
(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
-----------------------3 分 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

【答案】解:(1) 列联表补充如下:

喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30

(2)∵ K ?
2

50 ? (20 ?15 ?10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 30 ? 20 ? 25 ? 25

∴在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为喜爱打篮球与性别有关.-- -----7 分 (3)喜爱打篮球的女生人数 ? 的可能取值为 0,1, 2 . 其概率分别为

P(? ? 0) ?
故 ? 的分布列为:

0 2 1 1 2 0 C10 C15 C10 C15 C10 C15 7 1 3 , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C25 20 C25 2 C25 20

?
P

0
7 20

1

2

1 2

3 20

? 的期望值为: E? ? 0 ?

7 1 3 4 ? 1? ? 2 ? ? ---------------------12 分 20 2 20 5

20.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理】 (本小题满分 12 分)班主任 统计本班 50 名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图 5 所示条形图表示. (1)求该班学生每天在家学习时间的平均值; (2)假设学生每天在家学习时间为 18 时至 23 时,已知甲每天连续学习 2 小时,乙每天连 续学习 3 小时,求 22 时甲、乙都在学习的概率.











: (



















20 ? 1+ 10 ? 2 ? 10 ? 3 ? 5 ? 4 ?????(6 分) ? 1.8(小时) . 50 (Ⅱ)设甲开始学习的时刻为 x,乙开始学习的时刻为 y,试验的全部结果所构成的区

域为 Ω ={(x,y)|18≤x≤21,18≤y≤20},面积 SΩ = 2×3=6. 事件 A 表示“22 时甲、乙都在学习” ,所构成的区域为 A={(x,y)|20≤x≤21,19≤y ≤20},面积为 S A ? 1?1 ? 1 , 这是一个几何概型,所以 P(A) ?
SA 1 ? . S? 6

?????????(12 分)

2011-2012 年联考题
1. (安徽六校联考)某五所大学进行自主招生,同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀, 并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的 任意一所就读, 则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学) 的概率是( ) A.
1 5

B.

24 125

C.

96 125

D.

48 125

答案 D 2.(三明市三校联考)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中 任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两个点连成 直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ( )

?B ?
C

?F ?E ? A

1 75 3 C. 75
A. 答案 D

2 75 4 D. 75
B.

?D

3. (安庆市四校元旦联考)一只蚂蚁在三边边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行, 某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超 过 1 的概率为 答案 。

1 2

4. (三明市三校联考) (本小题满分 13 分)某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人) 中选 3 人参加学校学生会的干部竞选. (Ⅰ)设所选 3 人中女生人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望; (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率. (Ⅰ)解: ? 的所有可能取值为 0,1,2.

C3 1 4 依题意,得 P(? ? 0) ? 3 ? , C6 5
∴ ? 的分布列为

1 2 C2 C1 3 1 4 C2 4 C2 P(? ? 1) ? 3 ? , P(? ? 2) ? 3 ? . C6 5 C6 5

?

0

1

2

P
∴ E? ? 0 ?

1 5

3 5

1 5
???????????? (7 分)

1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5

(Ⅱ)解:设“男生甲被选中”为事件 A ,“女生乙被选中”为事件 B ,
2 P ? AB ? 2 C5 C1 1 1 4 则 P ? A? ? 3 ? , P ? AB ? ? 3 ? , ∴ P ? B A? ? ? .故在男生甲被选中 C6 2 C6 5 P ? A? 5

的情况下,女生乙也被选中的概率为 分)

2 5

??????????(13

5. (肥城市第二次联考)甲有一只放有 x 个红球, y 个黄球, z 个白球的箱子,且

x ? y ? z ? 6( x, y, z ? N ) ,乙有一只放有 3 个红球,2 个黄球,1 个白球的箱子,两个各
自从自己的箱子中任取一球,规定:当两球同色时甲期,异色时乙胜。 (1)用 x、y、z 表示甲胜的概率; (2)若又规定当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为 1、2、3 分,否则得 0 分。求甲 得分的期望的最大值及此时 x、y、z 的值. 解: (1)P(甲胜)=P(甲、乙均取红球)+P(甲、乙均取黄球)+P(甲、乙均取白球)

?

x 3 y 2 z 1 ? ? ? ? ? 6 6 6 3 6 6

????4 分

(2)设甲的得分为随机变量ξ ,则

z 1 z y 2 2y ? ? , P(? ? 2) ? ? ? 6 6 36 6 6 36 x 3 3x 3x ? 2 y ? z P(? ? 1) ? ? ? , P(? ? 0) ? 1 ? 6 6 36 36 z 2y 3x E? ? 3 ? ? 2 ? ? 1? ? 0 36 36 36 P(? ? 3) ?
? 3 z ? 4 y ? 3 x 3( x ? y ? z ) 1 y ? ? ? 36 36 2 36
????10 分

? x, y, z ? N , 且x ? y ? z ? 6, 又0 ? 3x ? 2 y ? z ? 36
∴当 y=6 时,Eξ 取得最大值为

2 ,此时 x=z=0. 3

????12 分

6.(2009 昆明一中第三次模拟)次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行,比赛采用积 分制,比赛规则规定赢一局得 2 分,平一局得 1 分,输一局得 0 分;比赛共进行五局,积

分有超过 5 分者比赛结束,否则继续进行。根据以往经验,每局甲赢乙的概率为 甲的概率为

1 ,乙赢 2

1 ,且每局比赛输赢互不受影响。若甲第 n 局赢、平、输的得分分别记为 3

an ? 2、 an ? 1、an ? 0, n ? N ? ,
1 ? n ? 5, 令 Sn ? a1 ? a2 ?

? an

(Ⅰ)求甲与乙平局的概率; (Ⅱ)求 S5 ? 7 的概率。

1 1 1 ,输的概率为 ,所以平的概率为 2 3 6 1 1 19 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 1 ? ? (Ⅱ) P(? ? 5) ? C4 ( )( ) ( ) ? C4 ( )C3 ( )( ) ( ) ? . 2 6 2 3 6 2 2 216 12 216
解: (Ⅰ)由已知甲赢的概率为 7.(2009 牟定一中期中)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,其中甲袋装有 1 个红球, 4 个白球;乙袋装 有 2 个红球,3 个白球。现从甲、乙两袋中各任取 2 个球。 (I)用 ? 表示取到的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列及 ? 的数学期望; (II)求取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率。
2 C32 9 C4 解: (Ⅰ) P(?=0) ? 2 ? 2 ? , C5 C5 50

1 1 1 2 2 C3 ? C2 C4 C4 C4 12 P(? ? 1) ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 25 C5 C5 C5 C5

P(?=2) ?
随机变量 ? 的分布 列为

1 1 2 2 1 2 C1 C4 C2 C4 C2 3 1 4 C 3 ? C2 , ? ? ? ? P ( ? = 3 ) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 C5 C5 C5 C5 10 C5 C5 25

?
P

0

1

2

3

9 50

12 25

3 10

1 25

数学期望 E? ?

6 ???????????????8 分 5 3 1 17 ? ? ????12 分 10 25 50

(II)所求的概率 P ? (? ? 2) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?

8.(2010 宁波十校联考)某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用

选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机会,选说累计答对 3 题 或答错 3 题即终止其初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰,已知 选手甲答题连续两次答错的概率为 间没有影响。 ) (I)求甲选手回答一个问题的正确率; (Ⅱ)求选手甲可进入决赛的概率; (Ⅲ)设选手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。 解答: (1)设甲选手答对一个问题的正确率为 P 1) ? 1 ,则 (1 ? P
2

1 , (已知甲回答每个问题的正确率相同,并且相互之 9

1 9

故甲选手答对一个问题的正确率 P 1 ?

2 3 2 3
3

3分

(Ⅱ)选手甲答了 3 道题目进入决赛的概率为 ( ) = 选手甲答了 4 道题目进入决赛的概率为 C3 ( ) ?
2 3
2

8 27

4分

2 3

1 8 ? 3 27
1 3
2

5分

选手甲答了 5 道题目进入决赛的概率为 C4 ( ) ( ) ?
3

2 3

16 81

6分

选手甲可以进入决赛的概率 P ? (Ⅲ) ? 可取 3,4,5 则有 P(? ? 3) ? ( ) ? ( ) ?
3 3

8 8 16 64 ? ? ? 27 27 81 81

8分

2 3

1 3

1 3

9分

2 1 2 1 2 1 10 P(? ? 4) ? C32 ( ) 2 ? ? ? C32 ( ) 2 ? ? ? 3 3 3 3 3 3 27 8 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 P(? ? 5) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ? 3 3 3 3 3 3 27
因此有 (直接列表也给分)

10 分

11 分

?
P
故 E? ? 3 ? ? 4 ?

3

4

5

1 3

10 27
14 分

8 27

1 3

10 8 107 ? 5? ? 27 27 27

9. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)甲乙两运动员进行射击训练,已知他 们击中目标的环数都稳定在 7,8,9,10 环,且每次射击成绩互不影响,射击环数的频率

分布表如下, 甲运动员 射击 环数 7 0 8 0 9 10 5 合计 00 乙运动员 射击 环数 7 8 2 9 10 .35 合计 0 若将频率视为概率,回答下列问题, (1)求甲运动员击中 10 环的概率 (2)求甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率 (3)若甲运动员射击 2 次,乙运动员射击 1 次, ? 表示这 3 次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的次数,求 ? 的分布列及 E? . 解: x ? 45, y ? 0.35, z ? 32 (1)设“甲运动员击中 10 环”为事件 A , P( A) ? 0.35 ? 甲运动员击中 10 环的概率为 0.35. ??? 2 ? 8 1 频 数 8 .1 1 .15 0 率 0 频 1 1 1 .1 频 数 1 .1 0 0 .45 3 率 0 频

x

y

z
0

(2)设甲运动员击中 9 环为事件 A 1 ,击中 10 环为事件 A2 则甲运动员在一次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的概率

P ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 0.45 ? 0.35 ? 0.8

???? 4 ?

? 甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率

P ? 1 ? ?1 ? P ( A1 ? A2 ) ? ? 1 ? 0.23 ? 0.992
3

答:甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率为 0.992. ???? 6 ? (3) ? 的可能取值是 0,1,2,3

P ?? ? 0? ? 0.22 ? 0.25 ? 0.01
1 P ?? ? 1? ? C2 ? 0.2 ? 0.8? 0.25 ? 0.22 ? 0.75 ? 0.11 1 P ?? ? 2? ? 0.82 ? 0.25 ? C2 ? 0.8? 0.2 ? 0.75 ? 0.4

P ?? ? 3? ? 0.82 ? 0.75 ? 0.48
所以 ? 的分布列是

?
P

0 0.01

1 0.11

2 0.4

3 0.48 ???? 10? ???? 12?

E? ? 0 ? 0.01 ? 1? 0.11 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.48 ? 2.35 .

题组一(1 月份更新) 一、选择题 1、(2009 杭州二中第六次月考)从正方体的 8 个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出 两条,则这两条直线是异面直线的概率是 A. 29 B. 29 C. 34 D. 4 ( )

189
答案 B

63

63

7

2、(2009 杭州高中第六次月考)从 3 男 1 女 4 位同学中选派 2 位同学参加某演讲比赛, 那么选派的都是男生的概率是( A. 答案 D ) C.

3 4

B.

1 4

2 3

D.

1 2

3、(2009 金华十校 3 月模拟)同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概 率等于 A 答案 C 二、填空题 1、 (2009 上海十四校联考)在集合 {x | x ? 素 恰好满足方程 cos x ? 答案

1 4

B

1 3

C

3 8

D

1 2

nx , n ? 1,2,3, ?,10} 中任取一个元素,所取元 6

1 的概率是 2

1 5

2 、( 2009 上 海 八 校 联 考 ) 已 知 集 合 A ? { z | z ? 1 ? i ? i 2 ?

? i n , n ? N *} ,

( z1 可以等于 z2 ),从集合 B 中任取一元素,则该元素的 B ? {? | ? ? z1 ? z2 , z1 、 z2 ? A} , 模为 2 的概率为______________。 答案

2 7
则使点

3、 (2009 杭州学军中学第七次月考)在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P, P 到三个顶点的距离至少有一个 小于 1 的概率是_____ 答案

3? 6

4、 (2009 上海奉贤区模拟考)在 1,2,3,4,5 这五个数字中任取不重复的 3 个数字组成 一个三位数, 则组成的三位数是奇数的概率是 答案 (用分数表示) 。

3 5

5、 (2009 冠龙高级中学 3 月月考文)某小组有三名女生,两名男生,现从这个小组中任意 选出一名组长,则其中一名女生小丽当选为组长的概率是 答案 。

1 5

6、(2009 台州市第一次调研)一堆除颜色外其它特征都相同的红白两种颜色的球若干个, 已知红球的个数比白球多, 但比白球的 2 倍少,若把每一个白球都记作数值 2,每一个红球都记作数值 3,则所有

球的数值的总和等于 60.现从中任取一个球,则取到红球的概率等于 答案
14 23

.

7、 (2009 冠龙高级中学 3 月月考理甲、乙两人各进行一次射击如果两人击中目标的概率都 是 0.6,则其中恰有一人击中目标的概率是 。

答案 P( AB) ? P( AB) ? P( A)P( B) ? P( A) P(B) ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.6) ? 0.6 ? 0.48 8、 (2009 上海普陀区)正方体骰子六个表面分别刻有 1 ~ 6 的点数. 现同时掷了两枚骰子, 则得到的点数之和大于 10 的概率为 答案 .

1 ; 12

9、 (2009 上海青浦区)市场上有一种“双色球”福利彩票,每注售价为 2 元,中奖概率为 6.71%,一注彩票的平均奖金额为 14.9 元.如果小王购买了 10 注彩票,那么他的期望收益 是 元.

答案 ? 8.66 元

三、解答题 1、 (2009 昆明市期末)某大学毕业生响应国家号召,到某村参加村委会主任应聘考核。考 核依次分为笔试、面试、试用共三轮进行,规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核, 否则将被淘汰,三轮考核都通过才能被正式录用。设该大学毕业生通过三轮考核的概率分 别为 、 、 , 且各轮考核通过与否相互独立 (Ⅰ)求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率; (Ⅱ)设该大学毕业生在应聘考核中考核次数为ξ ,求ξ 的数学期望和方差。 (解:Ⅰ)记“该大学生通过第一轮笔试”为事件 A, “该大学生通过第二轮面试”为事件 B, “该大学生通过第三轮试用”为事件 C。 则 P ( A) ?

2 3 4 3 4 5

2 3 4 , P( B) ? , P(C ) ? . 3 4 5

那么该大学生未进入第三轮考核的概率是

P ? P( A ? A ? B) ? P( A) ? P( A) P( B) ? 1 ?
(Ⅱ)ξ 的可能取值为 1,2,3.

2 2 3 1 ? (1 ? ) ? · · · · · · · · · · · ·6 分 3 3 4 2

P(ξ =1)=P( A )=1-P(A)= .

1 3

1 6 1 P(ξ =3)= P( A ? B) ? P( A) P( B) ? 2
P(ξ =2)=P( A ? B )=P(A)(1-P(B))=
或 P(ξ =3)= P( A ? B ? C ? A ? B ? C ) ? 分

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 2

ξ 的数学期望 E? ? 1 ? 分

1 1 1 13 ? 2 ? ? 3? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 3 6 2 6

13 2 1 13 1 13 1 29 ) ? ? (2 ? ) 2 ? ? (3 ? ) 2 ? ? .· · · · · · · · · · 12 分 6 3 6 6 6 2 36 2、(2009 杭州二中第六次月考)一个袋子内装有若干个黑球, 3 个白球, 2 个红球(所
ξ 的方差 D? ? (1 ? 有的球除颜色外其它均相同) ,从中任取 2 个球,每取得一个黑球得 0 分,每取一个白球得

1 分,每取一个红球得 2 分,已知得 0 分的概率为
分. (Ⅰ)求袋子内黑球的个数; (Ⅱ)求 ? 的分布列与期望. 解: (Ⅰ)设袋中黑球的个数为 n,则 p(? ? 0) ?

1 ,用随机变量 ? 表示取 2 个球的总得 6

2 Cn 1 ? 2 Cn?5 6

化简得: n ? 3n ? 4 ? 0 ,解得 n ? 4 或 n ? ?1 (舍去) ,即有 4 个黑球
2

(Ⅱ) p(? ? 0) ?

1 1 C1 ? C1 1 C 2 ? C2 ? C4 1 11 , p(? ? 1) ? 4 2 3 ? , p(? ? 2) ? 3 ? 2 6 C9 3 C9 36

p(? ? 3) ?

1 1 2 C3 ? C2 C2 1 1 ? , p ( ? ? 4) ? ? 2 2 C9 6 C9 36

?

0

1

2

3

4

∴ ? 的分布列为

P

1 6

1 3

11 36

1 6

1 36

E? ? 0 ?

1 1 11 1 1 14 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 6 3 36 6 36 9

3、 (2009 上海卢湾区 4 月模考)袋中有 8 个颜色不同,其它都相同的球,其中 1 个为黑球, 3 个为白球,4 个为红球 (1)若从袋中一次摸出 2 个球,求所摸出的 2 个球恰为异色球的概率; (2)若从袋中一次摸出 3 个球,且所摸得的 3 球中,黑球与白球的个数都没有超过 红球的个数,记此时得到红球的个数为 ? ,求随机变量 ? 的概率分布律,并求 ? 的数学期 望 E? 和方差 D? .
1 1 1 解: (1)摸出的 2 个球为异色球的不同摸法种数为 C7 ? C3 C4 ? 19 种,从 8 个球中摸
2 出 2 个球的不同摸法种数为 C8 ? 28 ,故所求概率为

19 ; 28

(6 分)

(2)符合条件的摸法包括以下三种:一种是所摸得的 3 球中有 1 个红球,1 个黑球,
1 1 1 个白球,共有 C4 C3 ? 12 种不同摸法,一种是所摸得的 3 球中有 2 个红球,1 个其它颜色 2 1 3 球, 共有 C4 一种是所摸得的 3 球均为红球, 共有 C4 C4 ? 24 种不同摸法, ? 4 种不同摸法,

故符合条件的不同摸法共有 40 种. 由题意随机变量 ? 的取值可以为 1 , 2 , 3 . 得随机变量 ? 的概率分布律为:

x
P(? ? x)
E? ? 1? 3 3 1 9 ? 2 ? ? 3? ? , 10 5 10 5
2 2

1

2

3

3 10

3 5

1 10

(12 分) (13 分)

9? 3 ? 9? 1 9 ? 9? 3 ? . D? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? 5 ? 5 ? 10 25 ? 5 ? 10 ?

2

(14 分)

4、 (2009 上海卢湾区一模)(理)袋中有同样的球 5 个,其中 3 个红色, 2 个黄色,现

从中随机且不返回地摸球,每次摸 1 个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球, 记随机变量 ? 为此时已摸球的次数,求:. (1)随机变量 ? 的概率分布律;(2)随机变量 ? 的数学期望与方差. (文)袋中有同样的球 9 个,其中 6 个红色, 3 个黄色,现从中随机地摸 6 球,求: (1)红色球与黄色球恰好相等的概率(用分数表示结果) (2)红色球多于黄色球的不同摸法的和数. (理)解:(1)随机变量 ? 可取的值为 2, 3, 4, P (? ? 2) ?
1 1 1 C2 C3C2 3 ? ; 1 1 C5 C4 5

1 1 1 P22C3 ? P32C2 P33C2 3 1 P (? ? 3) ? ? ; P (? ? 4) ? 1 1 1 1 ? ; 1 1 1 C5 C4 C 3 10 C5 C4 C3C2 10

得随机变量 ? 的概率分布律为:

x
P (? ? x )

2
3 5

3
3 10

4
1 10

(2)随机变量 ? 的数学期望为: E? ? 2 随机变量 ? 的方差为:

3 3 1 5 ?3 ?4 ? ; 5 10 10 2

D? ? (2 ? 2.5)2

3 3 1 9 ? (3 ? 2.5)2 ? (4 ? 2.5) 2 ? 5 10 10 20
3 3 C6 C3 5 ? ; 6 C9 21

(文)解:(1) p ?

6 0 5 1 4 2 (2) C6 C3 ? C6 C3 ? C6 C3 ? 64 .

5、 (2009 上海九校联考)学习小组有 6 个同学,其中 4 个同学从来没有参加过数学研究性 学习活动,2 个同学曾经参加过数学研究性学习活动. (1)现从该小组中任选 2 个同学参加数学研究性学习活动, 求恰好选到 1 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率; (2)若从该小组中任选 2 个同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,

该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数 ? 是一个随机变量, 求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 解: (1)记“恰好选到 1 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的 A ,
1 1 C4 C2 8 则其概率为 P( A) ? ? . 2 C6 15

???4 分

答:恰好选到 1 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为 (2)随机变量 ? ? 2,3,4

8 15

???5 分

P(? ? 2) ?

2 C4 2 ? ; 2 C6 5

??6 分

1 1 C4 C 8 P(? ? 3) ? 2 2 ? ; C6 15 2 C2 1 ? ; 2 C6 15

???8 分

P(? ? 4) ?

???10 分

∴随机变量 ? 的分布列为

?
P

2

3

4

2 5

8 15

1 15

∴ E? ? 2 ? 2 ? 3 ? 8 ? 4 ? 1 ? 8 . 5 15 15 3

??12 分

6、(2009 台州市第一次调研)体育课进行篮球投篮达标测试,规定:每位同学有 5 次投 篮机会,若投中 3 次则“达标” ;为节省测试时间,同时规定:若投篮不到 5 次已达标, 则停止投篮;若后面投篮全中,也不能达标(例如前 3 次都未投中等情形) ,则停止投 篮.同学甲投篮命中率为 ,且每次投篮互不影响. (Ⅰ)求同学甲恰好投 4 次达标的概率; (Ⅱ)设测试中甲投篮次数记为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望 Eξ . 解: (Ⅰ)同学甲同学恰好投 4 次达标的概率 P ? C 3 ( )
2

2 3

2 3

3

1 8 ? 3 27

(4 分)

(Ⅱ) ? 可取的值是 3,4,5

1 2 1 P(? ? 3) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 3 3 3 2 1 8 2 P(? ? 5) ? C 4 ( )2 ( )2 ? 3 3 27 1 8 10 P(? ? 4) ? 1 ? ? ? 3 27 27

(6 分) (8 分) (10 分)

? 的分布列为
?
3 4
10 27

5

1 3
P

8 27
(12 分)

所以 ? 的数学期望为 E? ? 3 ?

1 10 8 107 ? 4? ? 5? ? . 3 27 27 27

(14 分)

7、 (2009 广州一模)甲、乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击 一次, 击中目标得 2 分,未击中目标得 0 分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别 为

3 9 和 p ,且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为 2 的概率为 ,假设 5 20

甲、乙两人射击互不影响 (1)求 p 的值; (2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ ,求ξ 的分布列和数学期望. (本题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识,考查运算求解能力) 解:(1)设“甲射击一次,击中目标”为事件 A, “乙射击一次,击中目标”为事件 B, “甲 射击一次,未击中目标”为事件 A , “乙射击一次,未击中目标”为事件 B ,则

3 2 P(A) ? ,P(A) ? ,P(B) ? p,P(B) ? 1 ? p, 5 5
??1 分

3 2 9 p? , 5 5 20 3 3 解得 p ? ,故 p 的值为 . 4 4
依题意得 (1 ? p) ? (2)ξ 的取值分别为 0,2,4.

??3 分 ??5 分 ??6 分 ??8 分

2 1 1 P(? ? 0) ? P(AB) ? P(A) ? P(B) ? ? ? , 5 4 10

P(? ? 2) ?

9 , 20
??10 分

3 3 9 P(? ? 4) ? P(AB) ? P(A) ? P(B) ? ? ? , 5 4 20
∴ξ 的分布列为 ξ P 0 2 4

1 10

9 20

9 20
??12 分

∴Eξ = 0 ?

1 9 9 27 ? 2? ? 4? ? . 10 20 20 10

??14 分

8、 (2009 玉溪一中期末)甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在 7, 8,9,10 环,且每次射击成绩互不影响.射击环数的频率分布条形图如下:

若将频率视为概率,回答下列问题. (Ⅰ)求甲运动员在 3 次射击中至少有 1 次击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (Ⅱ)若甲、乙两运动员各自射击 1 次,ξ 表示这 2 次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的 次数,求 ξ 的分布列及 Eξ . 解: (Ⅰ)甲运动员击中 10 环的概率是:1 一 0.1—0.1—0.45=0.35. 设事件 A 表示“甲运动员射击一次,恰好命中 9 环以上(含 9 环,下同)”, 则 P(A)=0.35+0.45=0.8. 事件“甲运动员在 3 次射击中,至少 1 次击中 9 环以上”包含三种情况: 恰有 1 次击中 9 环以上,概率为 p1=C 1 3 ·0.8 ·(1-0.8) =0.096;
1 2

2 恰有 2 次击中 9 环以上,概率为 p2=C 3 ·0.8 ·(1-0.8) =0.384;
2 1

恰有 3 次击中 9 环以上,概率为 p3=C 3 3 ·0.8 ·(1-0.8) =0.512.
3 0

因为上述三个事件互斥,所以甲运动员射击 3 次,至少 1 次击中 9 环以上的概率 p= p1+ p2+ p3=0.992. (Ⅱ)记“乙运动员射击 1 次,击中 9 环以上”为事件 B, 则 P(B)=1—0.1—0.15=0.75. 因为 ? 表示 2 次射击击中 9 环以上的次数,所以 ? 的可能取值是 0,1,2. 因为 P( ? =2)=0.8·0.75=0.6; P( ? =1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35; P( ? =0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05. 所以 ? 的分布列是 ξ P 0 0.05 1 0.35 2 0.6

所以 Eξ =0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55.

9、 (2009 广东三校一模)如图, A, B 两点有 5 条连线并联,它们在单位时间能通过的信息 量依次为 2,3,4,3,2 .现从中任取三条线且记在单位时间内通过的 信息总量为 ? . (1)写出信息总量 ? 的分布列; (2)求信息总量 ? 的数学期望. (1)由已知, ? 的取值为 7,8,9,10 . 2分
1 2 2 1 C2 C2 ? C2 C1 3 , ? 3 10 C5

2 3 A 4 3 2 B

? P?? ? 7? ?

1 2 C2 C2 1 ? , 3 5 C5

P?? ? 8? ?

1 1 1 C2 C2 C1 2 P?? ? 9? ? ? , 3 5 C5

1 1 C2 C1 1 P?? ? 10? ? ? 3 10 C5

8分

?

7

8

9

10

? ? 的分

P

1 5

3 10

2 5

1 10

布列为:

9分

(2) E ?? ? ?

1 3 2 1 ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 10 5 10 5 10
12 分

11 分

?

42 ? 8 .4 5

10、 (2009 东莞一模)某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知 道:一年后可能获利 10﹪,可能损失 10﹪,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分 别为

1 1 1 , , ;如果投资乙项目,一年后可能获利 20﹪,也可能损失 20﹪,这两 2 4 4

种情况发生的概率分别为 ? 和?(? ? ? ? 1 . ) (1) 如果把 10 万元投资甲项目, 用 ? 表示投资收益 (收益=回收资金-投资资金) , 求? 的概率分布及 E? ; (2) 若把 10 万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益, 求? 的取值范 围. 解: (1)依题意, ? 的可能取值为 1,0,-1 ???1 分

? 的分布列为 ?
p 1

?4 分 0

?1

1 1 2 4 1 1 1 E? = ? = ????6 分 2 4 4

1 4

(2)设? 表示 10 万元投资乙项目的收益,则? 的分布列为??8 分

?
p

2

?2

?

?

E? ? 2? ? 2? ? 4? ? 2 ????10 分

依题意要求 4? ? 2 ? ∴1 ? ? ? 注:只写出 ? ?

1 ? 11 分 4

9 ???12 分 16

9 扣1分 16

11、 (2009 番禺一模)某射击测试规则为:每人最多有 3 次射击机会,射手不放过每次机

, 2, 3) 分, 会, 击中目标即终止射击, 第 i 次击中目标得 4 ? i (i ? 1 3 次均未击中目标得 0 分. 已
知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其各次射击结果互不影响. (1)求该射手恰好射击两次的概率; (2)该射手的得分记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望. 解(1)设该射手第 i 次击中目标的事件为 Ai (i ? 1 , 2, 3) ,则 P( Ai) ?0.8 ,P ( A )i ? 0.2 1分 该射手恰好射击 2 次,则第 1 次没击中目标,第 2 次击中目标,表示的事件为 A1 A2 ,?2 分 由于 A1 , A2 相互独立,则 P( A 1A 2 ) ? P( A 1 )P( A 2 ) ? 0.2 ? 0.8 ? 0.16 . 即该射手恰好射击两次的概率为 0.16 ; (2) ? 可能取的值为 0,1,2,3. 由于 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? (0.2)3 ? 0.08 ??4 分 ??5 分 ??6 分 ??7 分 ??8 分 ??9 分 ??10 分 ,?

P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? (0.2)2 ? 0.8 ? 0.032 ; P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? 0.2 ? 0.8 ? 0.16 ;

P(? ? 3) ? P( A1 ) ? 0.8
则 ? 的分布列为

?
P

0 0.008

1 0.032

2 0.16

3 0.8

??11 分

故 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? 0.008 ? 1? 0.032 ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.8 ? 2.752 . 分

??12

12、 (2009 韶关一模)有人预测:在 2010 年的广州亚运会上,排球赛决赛将在中国队与日本 队之间展开,据以往统计, 中国队在每局比赛中胜日本队的概率为 制,即谁先胜三局谁就获胜,并停止比赛. (Ⅰ)求中国队以 3:1 获胜的概率; (Ⅱ).设 ? 表示比赛的局数,求 ? 的期望值. (Ⅰ)设中国队以 3:1 获胜的事件为 A. 若中国队以 3:1 获胜,则前 3 局中国队恰好胜 2 局,然后第 4 局胜. ?????????2 分 所以, P ( A) ? C3 ( ) ? ?
2 2

2 ,比赛采取五局三胜 3

2 3

1 2 8 ? .. ?????????????????5 分 3 3 27

(Ⅱ) ? ? 3, 4,5

2 1 1 P ?? ? 3? ? ( )3 ? ( )3 ? ; ?????????????????7 分 3 3 3 1 2 10 P ?? ? 4 ? ? P ? A ? ? C32 ( )3 ? ? .. ?????????????????9 分 3 3 27 8 P ?? ? 5 ? ? 1 ? P ?? ? 3? ? P ?? ? 4 ? ? .. ???????????????10 分 27 1 10 8 26 ? 5? ? 3 ???????????12 分 所以所求的 ? 的期望值 E? ? 3 ? ? 4 ? 3 27 27 27

2009 年联考题

一、选择题 1、 (2009 年山东省乐陵一中高三模拟)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1000 个大小 相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其两面涂 有油漆的概率是 A. ( B. )

1 12

1 10

C.

3 25

D.

12 125

答案 D 2、 (2009 广东江门市模拟)如图 1,分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部

分如图中阴影区域,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为 ( A.

)

4 ?? 2

B.

? ?2
2

C.

4 ?? 4

D.

? ?2
4

答案 3、(湖北省武汉二中 2009 届高三 3 月测试题)某市组织一次高三调研考 试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为 图1

f ( x) ?

1 2? ?10

?e

?

( x ?80)2 200

( x ? R) ,则下列命题中不正确的是

(

)

A. 该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B. 分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C. 分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D. 该市这次考试的数学成绩标准差为 10 答案 B 4、(2009 宁波十校联考)将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b, c ,则方程

x 2 ? bx ? c ? 0 有实根的概率为
( A ) B A

19 36

1 2

C

5 9

D

17 36
S 4

答案

5、 (2009 和平区一模)在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 的概率是 ( (A) ) (B)

1 4

1 2

(C)

3 4

(D)

2 3

答案 C 二、填空题 6、 (2009 广东中山市一模)若数据 x1 , x2 , x3 ,

, xn 的平均数 x =5,方差 ? 2 ? 2 ,则数据
,方差为 .

3x1 ?1, 3x2 ?1, 3x3 ?1,
答案

, 3xn ?1 的平均数为

7、 (2009 福建厦门一中)设 a, b ? (0,1) ,则关于 x的方程x ? 2ax ? b ? 0 在 (??, ?) 上有
2

两个不同的零点的概率为______________ 答案

1 3

8、(湖北省孝感市 2009 届高三 3 月统考理) 设三个正态分布 N ?1 ,? 12 ( ?1 ? 0 ) 、 N ?2 , ? 2 2

?

?

?

?

(?2 ? 0 ) 、 N ?3 ,? 32 ( ? 3 ? 0 )的密度函数图象 如图所示,则 ?1 、 ?2 、 ?3 按从小到大 的顺序排列 .... 是______________; ?1 、 ? 2 、 ? 3 按从小到大 的顺 .... 序排列是_____________. 答案

?

?

?2 ? ?1 ? ?3 , ?1 ? ? 3 ? ? 2

9、(2009 金陵中学三模)在边长为 2 的正三角形 ABC 中,以 A 为圆心, 3 为半径画一 弧,分别交 AB,AC 于 D,E.若在△ABC 这一平面区域内任丢一粒豆子,则豆子落在扇形 ADE 内的概率是____________. 答案

3? 6

10、 (2009 金华一中 2 月月考)从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中, 任取 2 个数字相加, 其和 为偶数的概率是 ______ . 答案

2 5

三、解答题 11、(2009 高三冲刺)甲、乙两位小学生各有 2008 年奥运吉祥物“福娃”5 个(其中“贝 贝” 、 “晶晶” 、 “欢欢” 、 “迎迎”和“妮妮各一个” ) ,现以投掷一个骰子的方式进行游戏,规则如下:当出现向上 的点数是奇数时,甲赢得乙一个福娃;否则乙赢得甲一个福娃,规定掷骰子的次数达次 时,或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止。记游戏终止时投掷骰子的次数为 ? (1)求掷骰子的次数为 7 的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望 E ? 。

解: (1)当 ? =7 时,甲赢意味着“第七次甲赢,前 6 次赢 5 次,但根据规则,前 5 次中 必输 1 次” ,由规则,每次甲赢或乙赢的概率均为

1 ,因此 2

1 1 1 5 1 1 ( ) ? ( )4 ? ? ? P(? ? 7) = 2C5 2 2 2 2 64
(2)设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为 m ,向上的点数是偶数出现的次

?| m ? n |? 5 ? 数为 n,则由 ?m ? n ? ? ,可得:当 m ? 5, n ? 0或m ? 0, n ? 5时,? ? 5;当m ? 6 ?1 ? ? ? 9 ?
n ? 1 或 m ? 1 , n ? 6 时,? ? 7 当 m ? 7 , n ? 2 或 m ? 2, n ? 7时, ? ? 9. 因此 ? 的
可能取值是 5、7、9 每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同,其概率都是

3 1 ? . 6 2

1 1 5 1 5 55 P(? ? 5) ? 2 ? ( ) 5 ? , P(? ? 7) ? , P(? ? 9) ? 1 ? ? ? 2 16 64 16 64 64
所以 ? 的分布列是:

?
P

5

7

9

1 16

5 64

55 64

E? ? 5 ?

1 5 55 275 ? 7? ? 9? ? 16 64 64 32

12、(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理) 某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A 、 B 两项技术 指标需要检测, 设各项技术指标达标与否互不影响. 若 A 项技术指标达标的概率为 有且仅有一项技术指标达标的概率为 零件为合格品. (Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率; (Ⅱ)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率; (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 E? 与 D? . 解: (Ⅰ)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P 1、P 2.

3 , 4

5 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的 12

3 ? P1 ? ? ? 4 由题意得: ? , ? P (1 ? P ) ? (1 ? P ) P ? 5 1 2 1 2 ? 12 ?
解得: P2 ? ∴

2 . 3
3 2 1 ? ? . 4 3 2

一个零件经过检测为合格品的概率 P ? P1 P2 ?

(Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为:

1 13 5 1 5 1 ? C 54 ( ) 5 ? C 5 ( ) ? . 2 2 16 1 1 1 1 (Ⅲ)依题意知 ? ~ B(4, ) , E? ? 4 ? ? 2 , D? ? 4 ? ? ? 1 . 2 2 2 2
13、 (2009 龙岩一中文)将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; (3)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x +y =15 的内部的概率. 解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件 (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件, 所以 P(A)=
2 2

4 1 ? ; 36 9 1 . 9

答:两数之和为 5 的概率为

(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B,则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事 件, 所以 P(B)= 1 ?

9 3 ? ; 36 4 3 . 4
2 2

答:两数中至少有一个奇数的概率

(3)基本事件总数为 36,点(x,y)在圆 x +y =15 的内部记为事件 C,则 C 包含 8 个 事件, 所以 P(C)=

8 2 ? . 36 9
2 2

答:点(x,y)在圆 x +y =15 的内部的概率

2 . 9

14、(湖北省八校 2009 届高三第二次联考文)在某社区举办的《2008 奥运知识有奖问答比

赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲回答对 这道题的 . 概率是

3 1 1 ,甲、丙两人都回答错 的概率是 ,乙、丙两人都回答对 的概率是 . .... .... 4 12 4

(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率. (Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率. 解:记“甲回答对这道题” 、 “ 乙回答对这道题” 、 “丙回答对这道题”分别为事件 A 、

1 1 ? ? ?P( A) ? P(C ) ? 12 ?[1 ? P( A)] ? [1 ? P(C )] ? 12 3 B 、 C ,则 P ( A) ? ,且有 ? ,即 ? 1 1 4 ? P( B) ? P(C ) ? ? P( B) ? P(C ) ? 4 4 ? ? 3 2 ∴ P ( B ) ? , P (C ) ? 8 3 1 1 (2)由(1) P ( A) ? 1 ? P ( A) ? , P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? . 4 3
则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为:

P ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ?

3 3 1 3 5 2 1 3 2 15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 8 3 4 8 3 4 8 3 32

15、 (09 江西高二期中)某科技公司遇到一个技术难题,紧急成立甲、乙两个攻关小组, 按 要求各自单独进行为期一个月的技术攻关,同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组 给予奖励.已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为 率为

2 ,被乙小组攻克的概 3

3 . 4

(1)设 ? 为攻关期满时获奖的攻关小组数,求 ? 的分布列及 E? ; (2)设? 为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方,记“函 数 f ( x) ? ? ?

7 在定义域内单调递减”为事件 C ,求事件 C 的概率. 2
2 3 3 4

x

解: 记 “甲攻关小组获奖” 为事件 A, 则 P ( A) ? , 记 “乙攻关小组获奖” 为事件 B, 则 P( B) ? . (1)由题意,ξ 的所有可能取值为 0,1,2.
2 3 1 P(? ? 0) ? P( A ? B ) ? (1 ? )(1 ? ) ? , 3 4 12 2 3 2 3 5 2 3 1 P(? ? 1) ? P( A ? B) ? ( A ? B ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? , P(? ? 2) ? P( A ? B) ? ? ? , 3 4 2 3 4 3 4 12

∴ξ 的分布列为:

ξ

0
1 12

1
5 12

2
1 2

P

∴ E? ? 0 ?

1 5 1 17 ? 1? ? 2 ? ? 12 12 2 12



(2)∵获奖攻关小组数的可能取值为 0, 1, 2, 相对应没有获奖的攻关小组的取值为 2, 1, 0.∴η 的可能取值为 0,4. 当 η =0 时, 当 η =4 时,
7 7 f ( x) ?| ? ? |x ? ( ) x 在定义域内是增函数. 2 2 f ( x) ?| ? ? 7 1 |? ( ) x 在定义域内是减函数. 2 2
1 1 7 ? ? . 2 12 12

∴ P(C ) ? P(? ? 4) ? P( A ? B) ? P( A ? B ) ?


推荐相关:

第十二章 概率与统计

第十二章 概率与统计 隐藏>> 概率与统计课堂练习一、选择题 1.在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x , cos A. . πx 2 的值介于 0 到 D. 1 之间的...


第十二章 概率与统计(往年高考集锦)

第十二章 概率与统计(往年高考集锦)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第十二章 第一部分一、选择题 概率与统计 五年高考荟萃 2009 年高考题 1.(09 山东 11...


【数学】《高考》:第十二章 概率与统计

第十二章 概率与统计 第一部分 六年高考荟萃 2013 年高考题一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )某学校组织学生参 ...


第十二章 概率与统计(09年9月最新更新)

概率与统计概率与统计隐藏>> 七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源 第十二章 概率与统计 第一部分 五年高考荟萃 2009 年高考题一、选择题 1....


第十二章 统计与概率(答案版)

第十二章 统计与概率(答案版)_数学_高中教育_教育专区。第十二章 统计与概率 12.1 统计 1、 ★(2014 东城零模文)在某次测量中得到的 A 样本数据如下: 52...


【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第十二章 高考专题突破六 高考中的概率与统计问题 理 新人教A版

【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第十二章 高考专题突破六 高考中的概率与统计问题 理 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考专题突破六 高考...


2010年高考题: 第12章 概率与统计

2010年高考题: 第12章 概率与统计_文学_高等教育_教育专区。部分省市高考题 第十二章一、选择题 概率与统计 2 3 和, 3 4 1.( 辽宁理) (3)两个实习生...


【数学】2011版《3年高考2年模拟》: 第十二章 概率与统计

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 第十二章第一部分 概率与统计三年高考荟萃 2010 年高考题一、选择题 1.(2010 辽宁理) (3)两个实习生每人加工一个零件.加工...


数学五年高考荟萃第十二章 概率与统计绝对免费!知识无价!)

数学五年高考荟萃第十二章 概率与统计绝对免费!知识无价!) 数学五年高考荟萃数学五年高考荟萃隐藏>> 第十二章 概率与统计 第十二章 第一部分一,选择题 概率与统计...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com