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全国高中数学联合竞赛2000年题及答案


2000 年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案
(10 月 15 日上午 8:009:40) 一,选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x 2 ≤0},B={x| 10 x (A){2} (B){1} (C){x|x≤2}
2.设 sinα>0,cosα<0,且 sin
(A)(2kπ+
2

2

α
3

>cos

), k∈Z 3 6 5π 5π π π (C)(2kπ+ ,2kπ+π),k∈Z (D)(2kπ+ ,2kπ+ ) U (2kπ+ ,2kπ+π),k∈Z 6 4 3 6 3.已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三 角形,则△ABC 的面积是( )
3 3 3 (D)6 3 (B) (C)3 3 3 2 4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p≠q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程 bx22ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5 4 5.平面上整点(纵,横坐标都是整数的点)到直线 y = x + 的距离中的最小值是( ) 3 5

π

,2kπ+

π

的取值范围是( ) 3 2kπ π 2kπ π (B)( + , + ),k∈Z 3 3 6 3
3

α

,则

α

= 10 x },则 A I B 是( (D)

)

(A)

(A)

34 170

(B)

6.设 ω = cos

π

5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0

+ i sin

π

34 85

(C)

1 20

(D)

1 30 )

,则以ω,ω3,ω7,ω9 为根的方程是(
(B) x4x3+x2x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0

二,填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000°)=__________.
8.设 an 是(3 x ) n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,…),则 lim (
n →∞

3 2 33 3n )=________. + +L+ a 2 a3 an

9.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. x2 y 2 10.在椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该 a b
5 1 ,则∠ABF=_________. 2 11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是________. 12.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值,

椭圆的离心率是

那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_________.

三,解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) Sn 的最大值. 13.设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N,求 f(n)= (n + 32) S n+1

1 13 14.若函数 f ( x) = x 2 + 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2

15.已知 C0:x2+y2=1 和 C1:

= 1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 a b2 上任意一点 P,均存在以 P 为项点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结 论.
2

x2

+

y2

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