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3.2 复数代数形式的四则运算(1)


复数的四则运算(一)
问题引入

复数的运算 法则

复数加减运算 巩固练习 的几何意义

作业:自由安排

复数的四则运算(一)

我们知道实数有加、减、乘等运算,且有运算律: a?b ?b?a ab ? ba (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) (ab)c ? a(bc) a(b ? c) ? ab ? ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢?你认为应 怎样定义复数的加、减、乘运算呢?运算律仍成立吗?

注意到 i 2 ? ?1 ,虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立,所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着, 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了!

1.复数加、减法的运算法则: 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d是实数) (1)加法法则:z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则:z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).

注:⑴复数的减法是加法的逆运算; ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律, 即对任何 z1,z2,z3∈ C, 有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2 )+z3=z1+(z2+z3 ). ⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行 .

(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
例1 例2

例1、计算(1-3i )+(2+5i) +(-4+9i)
解:原式= (1 ? 2 ? 4) ? (?3 ? 5 ? 9)i = ?1 ? 11i

(a ? bi )(c ? di ) ? ac ? adi ? bci ? bdi
? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i

2.复数的乘法法则:

2

说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数; (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只是在 运算过程中把 i 2换成-1,然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律

即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有

z1 ? z2 ? z2 ? z1

,

( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ),
例2

z1 ( z2 ? z3 ) ? z1 z2 ? z1 z3 .

复数的乘法与多项 解:原式= (?6 ? 4i ? 3i ? 2i )(?1 ? 3i ) 式的乘法是类似的. = (?8 ? i )(?1 ? 3i ) 我们知道多项式的乘法用 2 乘法公式可迅速展开, 运算, 8 ? 24 i ? i ? 3 i = 类似地,复数的乘法也可大胆 = 5 ? 25i 例3.计算(a+bi)(a-bi) 运用乘法公式来展开运算. 解:原式= a 2 ? (bi )2 = a 2 ? b 2 一步到位! 注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
2

例2.计算(-2-i )(3-2i)(-1+3i)

定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.

复数 z=a+bi 的共轭复数记作

z , 即 z ? a ? bi

思考:设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z ? 另外不难证明: z
1

? z2 ? z1 ? z2 , z1 ? z2 ? z1 ? z2

z ??z?z ??

如图, z1 对应向量 OZ1 , z2 对应向量 OZ2 ,根据向量 ??? ? ???? ? ???? ? 加法可知 OZ ? OZ1 ? OZ2

我们知道,两个向量的和满足平行四边形 法则, 复数可以表示平面上的向量,那么复数 的加法与向量的加法是否具有一致性呢? 设z1=a+bi z2=c+di , 则 z + z =( a + c )+( b + d ) i 1 2 ???? ? ???? ?

y

Z2(c,d)

Z
Z1(a,b)

O

x

???? ? ???? ? ∵ OZ1 ? (a, b) , OZ2 ? (c, d ) , 根据向量加法的坐标运算可知 ??? ? ???? ? ???? ? OZ ? OZ1 ? OZ2 ? (a, b) ? (c, d ) = (a ? c , b ? d )

吻合!
类似地

这就是复数加法的几何意义.

类似地,复数减法: y
Z2(c,d)

OZ1-OZ2
Z1(a,b) O

x

Z 这就是复数减法的几何意义.

练习 1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004; 解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-20022003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.

2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x14+x24的值. 解: ? x1,2 ? 1 ? i , 4 4 ? x1 ? x2 ? (1 ? i )4 ? (1 ? i )4 ? (2i )2 ? (?2i )2 ? ?8. 注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. 3.已知复数 x 2 ? x ? 2 ? ( x 2 ? 3 x ? 2)i ( x ? R ) 是 4 ? 20i
的共轭复数,求x的值.
解:因为 4 ? 20i 的共轭复数是 4 ? 20i ,根据复数相等的定义, 可得 ? x 2 ? x ? 2 ? 4, ? x ? ?3或x ? 2 解得 ? ? 2 ? x ? ?3或x ? 6 ? x ? 3 x ? 2 ? 20. 所以 x ? ?3 .

课外练习:

1.计算:(1+2 i )2

?3 ? 4i

2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i) -20+15i 3.计算 (1 ? i )3 -2+2i 3- i . 4.若 z ? C 且 (3 ? z )i ? 1 ,则 z ? _____ 3 3 ? . m ? R 5.已知 且 (m ? i ) ? R ,则 m ? _____
1 3 6.已知 z ? ? ? i ,求 2 z 3 ? 3 z 2 ? 3 z ? 9 的值. 2 2
7.在复数集C内,你能将 x 2

3

?y

2分解因式吗?

8

(x+yi)(x-yi)
作业:自由安排

设 ? ? ? 1 ? 3 i ,求证: 2 2 (1) 1 ? ? ? ? 2 ? 0 ;(2) ? 3 ? 1. 3 1 3 2 12 ? 13 3 3 1 1 ? ? ? ? ? ( ? ? i ) ? ( ? ? i) 2 ) i) 证明:( ( 1 ) ? ? (? ? 2 2 2 2 2 2 1 3 3 2 1 1 3 1 1 2 ?? (? ? ? ii? ) ((? ? )? i ) ? 3 i ? ( 3 i )2 ? 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 ? 3 i )( 1? ?3 i3 ? (? ) ? ( ? 1 )2 ? ( 3 i )2 ? 2 ? 2i ? ? 2 i 2? 2 2 2 2 4 2 4 1 3 ? 0 ; ? ? ?1 4 4 例1

例3、下列命题中正确的是 (1)如果Z1 ? Z 2是实数,则Z1、Z 2互为共轭复数 ( 2)纯虚数Z的共轭复数是? Z。 ( 3)两个纯虚数的差还是纯 虚数 (4)两个虚数的差还是虚数 。

(2)

例4、下列命题中的真命题 为: ( A )若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (B )若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (C)若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( D)若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。

D



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