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2013届高二数学教案:2.1不等式的证明方法之一:比较法(人教A版选修4-5)


第二讲
课 题: 第 01 课时

证明不等式的基本方法

教学札记

不等式的证明方法之一:比较法

教学目标:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 教学重、难点:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 教学过程: 一、新课学习: 要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质:
a ?b ? a?b ? 0
a ? b ? a?b ? 0
a ? b ? a?b ? 0

二、典型例题: 例 1、设 a , b 都是正数,且 a ? b ,求证: a ? b ? a b ? ab 。
3 3 2 2

例 2、若实数 x ? 1 ,求证: 3 (1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) .
2 4 2 2

证明:采用差值比较法:
3 (1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x )
2 4 2 2

=3 ? 3x ? 3x ? 1 ? x ? x ? 2x ? 2 x ? 2 x
2 4 2 4 2

3

= 2 ( x ? x ? x ? 1)
4 3

= 2 ( x ? 1) ( x ? x ? 1)
2 2

= 2 ( x ? 1) [( x ?
2

1 2

) ?
2

3 4

]. 1 2 3 4

? x ? 1, 从而 ( x ? 1)

2

? 0, 且 ( x ? 3 4
2

) ?
2

? 0,



2 ( x ? 1) [( x ?
2

1 2

) ?
2

] ? 0,



3 (1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) .
2 4 2

讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换?

? 例 3、已知 a , b ? R , 求证 a b ? a b .
a b b a

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 a , b 对称,不妨设 a ? b ? 0 .
?a?b ? 0 ?a b ?a b
a b b a

? a b (a
b b

a ?b

?b

a ?b

)? 0

,从而原不等式得证。

2)商值比较法:设 a ? b ? 0 ,

?

a b

? 1, a ? b ? 0 , ?

a b a b
b

a

b a

a a?b ? ( ) ? 1 . 故原不等式得证。 b

例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 m 行走,另一半 时间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走。如果 m ? n , 问甲、乙两人谁先到达指定地点。 分析:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为
t 1 , t 2 。要回答题目中的问题,只要比较 t 1 , t 2 的大小就可以了。

解:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为
t 1 , t 2 ,根据题意有
t1 2 m ? t1 2 n ? S ,

S 2m

?

S 2n

? t 2 ,可得 t 1 ?

2S m ? n

,t2 ?

S (m ? n) 2 mn



从而 t 1 ? t 2 ?

2S m ?n

?

S (m ? n) 2 mn

?

S [ 4 mn ? ( m ? n ) ]
2

2 ( m ? n ) mn

? ?

S (m ? n)

2

2 ( m ? n ) mn



其中 S , m , n 都是正数,且 m ? n 。于是 t 1 ? t 2 ? 0 ,即 t 1 ? t 2 。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论:如果 m ? n ,甲、乙两人谁先到达指定地点? 三、课堂练习: 1.比较下面各题中两个代数式值的大小:
2 (1) x 与 x ? x ? 1 ; (2) x ? x ? 1 与 ( x ? 1) .
2 2 2

2.已知 a ? 1 . 求证: (1) a ? 2 a ? 1;
2

(2)
a?b?c

2a 1? a
2

? 1.

3.若 a ? b ? c ? 0 ,求证 a b c ? ( abc )
a b c

3

.

四、课时小结: 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作 差(或作商) 、变形、判断符号。 “变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑 成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 五、课后作业: 课本 23 页第 1、2、3、4 题。 六、教学后记:



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