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解析几何专题04直线与椭圆基础问题


解析几何专题 04 直线与椭圆基础问题
学习目标
(1)能够根据直线与椭圆的方程准确判断它们之间的位置关系; (2)能够利用弦长公式准确求解直线被椭圆截得的弦长,并在此基础上解决相关三 角形的面积问题; (3)能够利用“点差法”以及“韦达定理”正确求解椭圆的弦中点问题; (4)初步熟悉直线与椭圆综合问题的解题程序。

知识回顾及应用
1.直线与椭圆的位置关系 (1)从图形的角度看,直线和椭圆有几种位置关系? (2)从方程的角度看,如何判断直线和椭圆的位置关系? 2.椭圆的弦长问题 (1)弦长公式 (2)弦长公式的常规处理方式 3.椭圆的弦中点问题 (1)利用“点差法”求解弦中点问题的一般程序 (2)利用“韦达定理”求解弦中点问题的一般程序 4.应用所学知识解决问题: 【题目】设实数 x, y 满足 x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则方程 x ? y ? 4 是否有解? 【答案】无解 【变式 1】 设实数 x, y 满足 x2 ? 2 y 2 ? 6 , 若方程 x ? y ? m 恰有一组解, 求实数 m 的值。 【答案】 m ? ?3

【变式 2】设实数 x, y 满足 x2 ? 2 y 2 ? 6 ,求 x ? y 的取值范围。 【答案】 x ? y ?[?3,3]
y?2 的取值范围。 x

【变式 3】设实数 x, y 满足 x2 ? 2 y 2 ? 6 ,求 【答案】

y?2 6 6 ? (??, ? ] [ , ?) x 6 6

问题探究(请先阅读课本,再完成下面例题)
1

【类型一】直线与椭圆位置关系的判断 判断直线与椭圆的位置关系一般都采用“判别式法” :联立方程组,消去 x( y ) ,得 到一个关于 y ( x) 的一元二次方程,再根据判别式的符号作出判断。
x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆上是否存在一点,它到直 25 9

例 1.已知椭圆

线 l 的距离最小?最小距离是多少? 15 41 。 【答案】存在;最小距离是 41 提示:直线和椭圆相离;椭圆与直线 l 平行且距离直线 l 较近的切线方程为
4 x ? 5 y ? 25 ? 0 ; 。

练习:设直线 y ? x ? b 与椭圆 范围。 解:将 y ? x ? b 代入

x2 ? y 2 ? 1相交于 A ,B 两个不同的点. 求实数 b 的取值 2

x2 ? y 2 ? 1,消去 y , 2

整理得 3x 2 ? 4bx ? 2b2 ? 2 ? 0 . 因为直线 y ? x ? b 与椭圆
x2 ? y 2 ? 1相交于 A ,B 两个不同的点, 2

所以 ? ? 16b2 ?12(2b2 ? 2) ? 24 ? 8b2 ? 0 , 解得 ? 3 ? b ? 3 . 所以 b 的取值范围为 (? 3, 3) . 【类型二】椭圆的弦中点问题 一般地,椭圆的弦中点问题有两种常用处理手段:一是利用“韦达定理” (联立方程 组) ;二是利用“点差法” (将弦的两个端点坐标分别代入椭圆方程后作差) 。 注意:无论使用上述哪种方法,都不能忽视判别式的验证!

例 2 中心在原点,一个焦点为 F(0, 50 )的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 所截得弦的中
1 点横坐标是 ,求椭圆方程。 2
2

【答案】

x2 y 2 ? ?1 25 75

提示:本题可以用“韦达定理” ,也可以用“点差法” 。

练习: 已知(4,2)是直线 l 被椭圆 程是 x ? 2 y ? 8 ? 0 。

x2 y 2 ? ? 1 所截得的线段的中点,则直线 l 的方 36 9

【类型三】 椭圆的弦长问题 弦长公式常常配合韦达定理一起使用:
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

其中 k 是直线的斜率, x1 , x2 分别是 A,B 两点的横坐标。
x2 y 2 ? 1 与直线 l : y ? x ? 1 交于不同的两点 M , N ,求 MN . 例 3.已知椭圆 C : ? 4 2

【答案】 MN ?

4 5 3

练习: (1)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,直线 l : y ? x ? 1 与椭圆 C 交于不同 4 2

的两点 M , N ,求 ?AMN 的面积. 【答案】 ?AMN 的面积为
10 3

(2)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,若过点 P(1, 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于不 4 2

同的两点 M , N ,当 ?AMN 的面积为
【答案】 y ? x ? 1或y ? ? x ? 1

10 时,求直线 l 的方程. 3

3

检测

x2 y2 1. AB 为过椭圆a2+b2=1 中心的弦, F(c,0)为它的焦点, 则△FAB 最大面积为( D ) A.b2 B.ab C.ac D.bc

2.已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 且斜率为 2 的直线交椭圆 E 于 P、 Q 两点,若△PF1F2 为直角三角形,则椭圆 E 的离心率为 ( A ) 5 2 2 1 A. 3 B.3 C. 3 D.3 x2 3. 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 4 +y2=1 相交于 A、 B 两点, 则|AB|的最大值为 ( C ) 4 5 4 10 8 10 A.2 B. C. D. 5 5 5 x2 2 4.已知椭圆 4 +y =1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交, 一个交点为 P,则|PF2|=______. 7 答案: 2

x2 y2 5.直线 y=kx+1 与椭圆 5 +m=1 恒有公共点,则 m 的取值范围是__________. 答案:m≥1 且 m≠5 6.如果椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,那么这弦所在直线方程为 36 9

x ? 2y ?8 ? 0 。

【能力提升】 7.已知椭圆 C : 线 l 的方程为
5 x2 y 2 5 ,则直 ? ? 1 ,过椭圆右焦点的直线 l 被椭圆截得的弦长为 3 5 4



答案: 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0
x2 y 2 ? 1 上存在关于直线 y ? 2 x ? m 对 8. 试确定实数 m 的取值范围,使得椭圆 C : ? 4 3

称的点。 1 1 答案: ? ? m ? 2 2
4

纠错矫正 总结反思

5


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