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浙江省衢州市2015届高三数学4月教学质量检测试题 文(含解析)


浙江省衢州市 2015 届高三数学 4 月教学质量检测试题 文(含解析)
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.已知 a , b 为正实数,则“ a ? 1 且 b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的( ) A.必要不充分条件 C.充分必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析:“ a ? 1 且 b ? 1 ”,根据不等式的性质,必有“ ab ? 1 ”,故为充分条件.如果 “ ab ? 1 ”,不一定有“ a ? 1 且 b ? 1 ”,比如 a ? 10, b ? 考点:1、不等式;2、充要条件. 2.下列函数中既是奇函数又是增函数的是( ) A. y ? x3 ? x 【答案】A 【解析】 试题分析:对 A. y ? x ? x 既是奇函数又是增函数;对 B. y ? log a x ,不是奇函数,又不一
3

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

1 .故不是必要条件.选 B. 2

B. y ? log a x

C. y ? 3x

D. y ? ?

1 x

定是增函数 则有 ?

对 C. y ? 3 是增函数, 但不是奇函数; 对 D. y ? ?
x

1 , 取 x1 ? ?1, x2 ? 1 , x

1 1 1 ? ? ,故不能说 y ? ? 是增函数.故选 A. x x1 x2

考点:函数的性质. 3.若 l , m, n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题正确的是( ) A. ? / / ? , l ? ? , n ? ? ? l / / n ????? B. ? ? ? , l ? ? ? l ? ? C. l ? n, m ? n ? l / / m 【答案】D 【解析】 试题分析:对 A. l , n 有可能为异面直线,故不正确;对 B. l , ? 有可能斜交,也有可能平行, D. l ? ? , l / / ? ? ? ? ?

-1-

故不正确;对 C. l , n 可以相交,也可以是异面直线,故错;对 D.由于 l ? ? ,故在 ? 内存在 直线 l ? ? l ,又 l ? ? ,所以 l ? ? ? ,根据平面与平面垂直的判定定理可知, ? ? ? .故选 D. 考点:空间直线与平面的位置关系. 4.将函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图像沿 x 轴向右平移 一个可能取值为( ) A. ?

? 后,得到的图像关于原点对称,则 ? 的 6

?
3

B.

? 6

C.

? 3

D.

5? 6

【答案】D

考点:三角函数的图象. 5. 若直线 ax ? by ? 2 ? 0( a ? 0, b ? 0)被圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 所截得的弦长为 6 ,则

2 3 ? 的最小值为( a b
A. 10 【答案】C 【解析】

) B. 4 ? 2 6 C. 5 ? 2 6 D. 4 6

2 2 试题分析:若直线 ax ? by ? 2 ? 0( a ? 0, b ? 0)被圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 的标准方程为

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 ,由于弦长为 6,即为直径,所以 ?2a ? 2b ? 2 ? 0, a ? b ? 1 ,则
2 3 2 3 ? ? ( ? )(a ? b) ? ( 2 ? 3) 2 ? 5 ? 2 6 ,选 C. a b a b
考点:1、直线与圆;2、柯西不等式.

??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AB ? BC 6.在 ?ABC 中,若 AB ? 1 , AC ? 3 , AB ? AC ? BC ,则 ??? ? ?( ) BC
A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

【答案】B
-2-

【解析】 试题分析:由 | AB ? AC |?| BC | 知, AB ? AC ,所以 ?ABC 是直角三角形.,| BC |? 2 ,利

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB?BC BA?BC 1?1 1 ? ? ? ??? ? ?? 用数量积的几何意义得 ??? ? ? ,选 B. 2 2 | BC | | BC |
考点:平面向量. 7.已知 a ? R ,若函数 f ( x) ? 的零点个数为( ) A. 1 或 2 【答案】A B. 2 C. 1 或 0 D. 0 或 1 或 2

1 2 x ? | x ? 2a | 有三个或者四个零点,则函数 g ( x) ? ax2 ? 4x ? 1 2

考点:函数的零点. 8. 设 点 P( x, y )是 曲 线 a x ? b y ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 任 意 一 点 , 其 坐 标 ( x, y ) 均 满 足

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 2 2 ,则 2a ? b 取值范围为( )
A.

? 0, 2?

B. ?1, 2?

C. ?1, ?? ?

D.

?2, ???

【答案】D 【解析】

x2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 试题分析:设 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,则满足
的轨迹是以 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) 为焦点的椭圆,其方程为

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 2 2 的点 P

x2 y 2 ? ? 1 .曲线 2 1

1 1 a x ? b y ? 1(a ? 0, b ? 0) 为如下图所示的菱形 ABCD, C ( , 0), D (0, ) .由于 a b
x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 2 2 ,所以

1 1 2 ? 2, ? 1 ,即 a ? , b ? 1 .所以 a b 2

-3-

2a ? b ? 2 ?

2 ? 1 ? 2 .选 D. 2

y D B1 F2 A O B
考点:考点:1、曲线与方程;2、不等式.

y B1 F2 A O B F1 D C x

C x F1

第Ⅱ卷(共 100 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
2 9.设全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 1 ? 0? , B ? x | x ? 2 ? 0 , 则 A ? B ?

?

?



A? B ?

, ?R B ?



【答案】 (? 2, ?1];(??, 2);(??, ? 2] ? [ 2, ??) 【解析】 试题分析: A ? {x | x ? ?1}, B ? {x | ? 2 ? x ? 2},所以

A ? B ? (? 2,1], A ? B ? (??, 2), ?R B ? (??, ? 2] ?[ 2, ??) .
考点:集合与不等式. 10.设函数 f ( x) ? 2 cos( x ? 区间为 .

1 2

?
6

) ,则该函数的最小正周期为

,值域为

,单调递增

【答案】 4?;[ ?2, 2];[4k ? ? 【解析】 试题分析:最小正周期 T ?

7?

? , 4k ? ? ], k ? Z . 3 3

2?

?

7? 1 7? ? ? 2 k? ? x ? 2 k? ? , ? ? 4k? ? x ? 4k? ? (k ? Z ) 即单调递增区间为 6 2 6 3 3
-4-

? ?

? 4? ,值域为 [?2, 2] .由 ?? ? 2k? ?

1 ? x ? ? 2 k? 得 2 6

[?

7? ? ? 4k? , 4k? ? ](k ? Z ) . 3 3

考点:三角函数的性质. 11.某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则该几何体的体积为 面积为

cm3 ,外接球的表

cm2 .

2 2 正视图

侧视图

俯视图

(第 11 题图) 【答案】 【解析】 试题分析:根据三视图可知,该几何体是一棱长为 2 的正方体截去一三棱锥所得的组合体(如 下图所示) ,其体为 V ? 23 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?

20 ; 12 ? 3

1 1 3 2

20 ,它的外接球就是正方体的外接球,其直径 3

为 2R ? 22 ? 22 ? 22 ? 2 3 ,外接球的表面积为. S ? 4? R 2 ? 12?

D1 B1 D A 2 B

C1

C

考点:1、三视图;2、空间几何体的体积及表面积.

? x ? 0, ? 12. 设不等式组 ? x ? 2 y ? 4, 所表示的平面区域为 D ,则区域 D 的面积为 ?2 x ? y ? 4 ?

;若直线

y ? ax ? 1 与区域 D 有公共点, 则 a 的取值范围是



-5-

【答案】 【解析】

4 7 ;[ , ?? ) 3 4

试题分析:由 ?

?x ? 2 y ? 4 4 4 得 B ( , ) .易得 A(0, 4), C(0, 2) .所以区域 D 的面积为 3 3 ?2 x ? y ? 4

4 ? (?1) 1 4 4 7 S ? ? 2 ? ? .直线 BD 的斜率为 k ? 3 ? ,直线 y ? ax ? 1 与区域 D 有公共点, 4 2 3 3 4 ?0 3 7 所以 a ? k ? . 4
5

y

5

y

4 A 3 2 1

4 A 3 2 y=ax-1

C

B x
–2

C

1 –1 O –1 D –2 1

B x
2 3 4

–2

–1 O –1

1

2

3

4

–2 考点:不等式组表示的平面区域 .

13. F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点, P 为双曲线右支上的一点, ? A 是 ?PF1F2 16 9


的内切圆, ? A 与 x 轴相切于点 M (m, 0) ,则 m 的值为 【答案】 4 . 【解析】

试题分析:如下图所示, PF2 ? PF 1 ? BF 2 ? CF 1 ? MF 2 ? MF 1 ? 2a ,所以点 M 在双曲线上, 因为 a ? 4 ,所以 M (4,0) ,即 m ? 4 .
y P B A F2 O M C x F1

-6-

考点:圆锥曲线. 14.定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x ) ,如果对于任意给定的等比数列 ?an ? ,? f (an )? , 仍 是等比数列,则称 f ( x ) 为“等比函数”. 现有定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的如下函 数:① f ( x) ? 3x ;② f ( x) ? x3 ; ③ f ( x) ? 的 f ( x ) 的序号为 【答案】②③ .

2 ; ④ f ( x) ? log2 | x | .则其中是“等比函数” x

考点:1、等比数列;2、新定义. 15.在 ?ABC 中, AC ? BC ? 0 ,点 M 在 BC 边上,且满足 BM ? 2MC ,则 cos ?MAB 的 最小值为 【答案】 【解析】 试题分析:因为 AC ? BC ? 0 ,所以 ?C ? 90 .建立坐标系如图所示,设
?

??? ? ??? ?


???? ?

???? ?

3 2

??? ? ??? ?

???? ? ??? ? A(a,0), M (0, b), B(0,3b) ,则 AM ? (?a, b), AB ? (?a,3b) ,

???? ? ??? ? AM ?AB a 2 ? 3b2 a 4 ? 6a 2b2 ? 9b4 cos ? ? ???? ? ? ? ??? ? a 4 ? 10a 2b2 ? 9b4 AM ? AB (a 2 ? 3b2 )(a 2 ? 9b2 )

4a 2 b 2 4 4 3 ? 1? 4 ? 1? 2 ? 1? ? . 2 2 2 4 a 9b a ? 10a b ? 9b 6 ? 10 2 ? 10 ? 2 b2 a

-7-

y B

M C

θ

x A

考点:1、平面向量;2、不等式. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 15 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 3c sin A ? a cos C . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)当 3 cos A ? cos B 取得最大值时,试判断 ?ABC 的形状. 【答案】 (Ⅰ) C ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由

?
6

; (Ⅱ) ?ABC 为等腰三角形.

3c sin A ? a cos C 变 形 得

3c a ? ,由正弦定理变形得: cos C sin A

c a a 3c c 3 ? ,从而得 , 3 sin C ? cos C ,所以 tan C ? .在三 ? ? sin C sin A sin A cos C sin C 3
角形中, 0 ? C ? ? ,所以 C ?

?
6

.

(Ⅱ)为了求 3 cos A ? cos B 的最大值,需将角 A, B 换掉一个.由(1)知 B ?

5? ? A ,所以 6

3 cos A ? cos B
?

? 3 cos A ? cos(

5? ? A) 6

? 3 cos A ?

3 1 cos A ? sin A 2 2

3 1 cos A ? sin A ,即 2 2

? ? 2? , 3 cos A ? cos B ? sin( A ? ) .由此可知, 3 cos A ? cos B 取得最大值时 A ? , B ? 3 6 3
C?

?
6

,故此时 ?ABC 为等腰三角形.

-8-

试题解析: (Ⅰ)由 3c sin A ? a cos C 结合正弦定理变形得: 从而 3 sin C ? cos C , tan C ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (Ⅱ)由(1)知 B ?

a 3c c ? ? sin A cos C sin C

3分

3 , 3

?????????????6 分

?
6

; ???????????????????7 分

5? ?A 6

?????????????????????8 分

则 3 cos A ? cos B ? 3 cos A ? cos(

5? ? A) 6

? 3 cos A ?
∵0 ? A ? 当 A?

3 1 3 1 ? cos A ? sin A ? cos A ? sin A ? sin( A ? ) 11 分 3 2 2 2 2
????????????12 分

5? ? ? 7? , ∴ ? A? ? 6 3 3 6

?
3

?

?
2

时,

3 cos A ? cos B 取得最大值 1,

??????13 分

此时 A ?

?
6

,B ?

2? ? , C ? , ????????????????14 分 3 6
??????????????15 分

故此时 ?ABC 为等腰三角形 . 考点:1、解三角形;2、三角恒等变换. 17.(本小题满分 15 分)

已知数列 {an } 是首项为 2 的等差数列, 其前 n 项和 Sn 满足 4Sn ? an ? an?1 . 数列 {bn } 是以

1 1 为首项的等比数列,且 b1b2b3 ? . 2 64
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,若对任意 n ? N * 不等式 成立,求 ? 的取值范围.
n 【答案】 (Ⅰ) an ? 2n , bn ? ( ) ; (Ⅱ) ? 的取值范围为 (??,3] .

1 S1

?

1 S2

???

1 1 ? ? ? Tn 恒 Sn 4 2

1

1 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据题设将等差数列等比数列的通项公式代入求得 {an } 的公差 d 及 {bn } 的公 比 q 即可得数列 {an } 、 {bn } 的通项公式.(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n ,所以 Sn ? n(n ? 1) ,从

-9-



1 1 1 1 , ? ? ? Sn n(n ? 1) n n ? 1
. 又

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? S1 S2 Sn 2 2 3 n n ?1 n ?1

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 .由此可知,对任意 n ? N * , 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? 1 T 成立等 Tn ? 2 n 1 S1 S2 Sn 4 2 2n 1? 2
价于

1 3 1 1 1 3 1 1 ? ? n ?1 ? ? 恒 成 立 . 所 以 ? 小 于 等 于 ? ? n ?1 的 最 小 值 . 显 然 4 2 n?1 2 4 2 n?1 2

3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 ? ? n ?1 对 n ? N * 递 增 , ( ? ? n ?1 ) m i ?n ? ? ? , 从 而 2 n?1 2 2 n ?1 2 2 2 4 4 3 1 ? ? ? ? ? 3. 4 4
试题解析: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意得,? 4a1 ? a1 (a1 ? d ) ,解得 d ? 2 , ∴ an ? 2n ?????????????????????????4 分

3 由 b1b2b3 ? b2 ?

1 1 b 1 ? b2 ? ,从而公比 q ? 2 ? , 64 4 b1 2

n ∴ bn ? ( ) ?????????????????????????8 分

1 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 1 ? ? ? Sn n(n ? 1) n n ? 1



1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 分 ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? S1 S2 Sn 2 2 3 n n ?1 n ?1

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 ,?????????????????12 分 又 Tn ? 2 1 2n 1? 2
∴对任意 n ? N * ,

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? Tn 等价于 S1 S2 Sn 4 2
???????????????????13 分

3 1 1 1 ? ? n ?1 ? ? 2 n ?1 2 4


3 1 1 ? ? n ?1 对 n ? N * 递增, 2 n ?1 2
3 2 1 1 3 1 1 3 ? n ?1 ) min ? ? ? ? , n ?1 2 2 2 4 4
?????????14 分

∴( ?

- 10 -



3 1 ? ? ? ? ? 3 .即 ? 的取值范围为 (??,3] ????????15 分 4 4

考点:数列与不等式. 18.(本小题满分 15 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形,PA ? 平面 ABCD , 点 M, N 分别为 BC, PA 的中点,且 PA ? AD ? 2 , AB ? 1 , AC ? 3 . (Ⅰ)证明: MN // 平面 PCD ; (Ⅱ)求直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值.

P

N A B M
(第 18 题图)

D C

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值为 【解析】

15 . 5

试题分析: (Ⅰ)根据直线与平面平行的判定定理,需在平面 PCD 内找一条与 MN 平行的直 线.结合题设可取取 PD 中点 E ,连结 NE , CE , 易得四边形 MNEC 为平行四边形,从而

MN / / CE ,问题得证.(Ⅱ)思路一:斜线与平面所成的角,就是斜线与其在该平面内的射
影所成的角,故首先作出直线 MN 在平面 PAD 内的射影. 由于平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 过 M 作 MF ? AD ,则 MF ? 平面 PAD ,连结 NF ,那么 ?MNF 为直线 MN 与平面 PAD 所成的角,在 Rt ?MNF 中,即可求出直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值.思路二,易证 得 AB, AC , AP 两两互相垂直,故可分别以 AB, AC , AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角 坐标系 A ? xyz ,然后利用空间向量求解. 试题解析: (Ⅰ)证明:取 PD 中点 E ,连结 NE , CE .
// ? N 为 PA 中点,? NE ?

1 AD , 2

又 M 为 BC 中点,底面 ABCD 为平行四边形,

// 1 AD . ? MC ? 2

- 11 -

// MC ,即 MNEC 为平行四边形, ? NE ?
∴ MN / / CE

????????4 分

? EC ? 平面 PCD ,且 MN ? 平面 PCD ,

? MN // 平面 PCD .
(其它证法酌情给分) (Ⅱ)方法一:

?????????????????7 分

? PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 ABCD ,? 平面 PAD ? 平面 ABCD ,
过 M 作 MF ? AD ,则 MF ? 平面 PAD ,连结 NF . 则 ?MNF 为直线 MN 与平面 PAD 所成的角, ????????10 分 由 AB ? 1 , AC ? 3 , AD ? 2 ,得 AC ? CD , 由 AC ? CD ? AD ? MF ,得 MF ?

3 , 2

在 Rt ?AMN 中, AM ? AN ? 1 ,得 MN ? 在 Rt ?MNF 中, NF ?

2.

MN 2 ? MF 2 ?

5 , 2

3 MF 15 ? tan ?MNF ? ? 2 ? , FN 5 5 2
直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值为 方法二:

15 . ????????15 分 5

? PA ? 平面 ABCD , PA ? AB , PA ? AC ,
又? AB ? 1 , AC ? 3 , BC ? AD ? 2 ,

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 , AB ? AC .
z P

???????????9 分

N

A
x B M C y

D

如图,分别以 AB, AC , AP 为 x 轴, y 轴, z 轴,
- 12 -

建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则M( ,

1 3 , 0) , N (0, 0,1) , 2 2

P(0, 0, 2) , D(?1, 3,0) ,

???? ? ??? ? 1 3 ? MN ? (? , ? ,1) , AP ? (0,0, 2) , 2 2 ??? ? AD ? (?1, 3,0) ,????????11 分 ? 设平面 PAD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ??? ? ? ? ? ? ? AB ? n ? 0 ?2 z ? 0 由 ? ???? ? ,令 y ? 1 得 n ? ( 3,1,0) , ??13 分 ?? ?? x ? 3 y ? 0 ? ? AD ? n ? 0 ?
设 MN 与平面 PAD 所成的角为 ? ,则

???? ? ? sin ? ? cos ? MN , n ? ?

5 3 6 , ? tan ? ? ? 5 4 2 2 15 .?????????15 分 5

? MN 与平面 PAD 所成角的正切值为

考点:1、空间直线与平面的位置关系;2、空间直线与平面所成的角. 19.(本小题满分 15 分) 如图,设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,过点 F 的直线 l1 交抛物线 C 于 A, B
2

两点,且 | AB |? 8 ,线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 与圆 x ? y ?
2 2

1 切于点 P ,与抛物线 C 切于点 Q ,求 ?FPQ 的面积. 2

(第 19 题图)

- 13 -

【答案】 (Ⅰ) y 2 ? 4 x ; (Ⅱ) S?PQF ? 【解析】

3 . 2

试题分析: (Ⅰ)利用焦点弦公式 | AB |? x1 ? x2 ? p 及弦 AB 的中点的坐标即可求出 p,从而求 得抛物线 C 的方程; (Ⅱ)由于 l2 与 ? O 相切,所以 OP ? PQ,| PQ |2 ?| OQ |2 ?r 2 .点 F 到直 线 l2 的 距 离 即 为 ?FPQ 的 高 . 所 以 只 要 求 出 直 线 l2 的 方 程 及 点 Q 的 坐 标 即 可 . 设

l2 : y ? kx ? m ,由 l2 与 ? O 相切且直线 l2 与抛物线相切可得两个含 k , m 的方程,解这个方程
组可得 k , m 的值,从而求出直线 l2 的方程及点 Q 的坐标. 试题解析: (Ⅰ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB 中点坐标为 ( 由题意知

x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2

x1 ? x2 ? 3 ,? x1 ? x2 ? 6 , 2

?????????3 分 ?????????6 分

又 AB ? x1 ? x2 ? p ? 8 ,? p ? 2 ,

故抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ; ???????????????7 分 (Ⅱ)设 l2 : y ? kx ? m ,由 l2 与 ? O 相切得

2 m ? ? 2m2 ? 1 ? k 2 2 2 1? k
由?

① ?????????????9 分

? y ? kx ? m ? y ? 4x
2

? k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 ( ? )

? 直线 l2 与抛物线相切,
?? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0
由 ①,②得 k ? m ? ?1 ,

? km ? 1

②????????11 分

? 方程( ? )为 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,
?Q(1, ?1) ,
2 2 ? PQ ? xQ ? yQ ? r 2 ? 1?1?

1 3 6 ; ??????13 分 ? ? 2 2 2

此时直线 l2 方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 ,

? 令 F (1, 0) 到的距离为 d ? 2 ,
? S?PQF ? 1 1 6 3 PQ ? d ? ? ? 2? . 2 2 2 2
?????????15 分

考点:直线与圆锥曲线.
- 14 -

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? c ( x ? R , a ? 0) (Ⅰ)若 a ? ?1, c ? 0 ,且 y ? f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值为 g (b) ,求 g (b) ; (Ⅱ)若 a ? 0 ,函数 f ( x) 在 [?8, ?2] 上不单调,且它的图象与 x 轴相切,求 小值.

f (1) 的最 b ? 2a

??1 ? 2b, (b ? ?1) ? 2 f (1) ) min ? 4 . 【答案】 (Ⅰ) g (b) ? ?b , ( ?1 ? b ? 3) ; (Ⅱ) ( b ? 2 a ??9 ? 6b, (b ? 3) ?
【解析】
2 试题分析: (Ⅰ)将 a ? ?1, c ? 0 代入得 f ( x) ? ? x2 ? 2bx ? ?( x ? b)2 ? b ,对称轴是直线

x ? b . 由 于 x ?[? 1, 3 , ] 所 以 分 b ? ?1 , ?1 ? b ? 3 , b ? 3 三 种 情 况 讨 论 . ( Ⅱ )

f (1) a ? 2b ? c ? , 为了求其最小值, 可将其中的一个字母换掉.函数 f ( x) 的图象和 x 轴相 b ? 2a b ? 2a
切 , 所 以

? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?
2

c 1 b 2 ? ( ) a 4 a







f( a 1 ? b ?)c ? ? b ? 2a b ? 2a

1?

2b c b 2b ? ? 1 ? a a2? a 4 a b b ?2 ?2 a a

1

(

)

, 接下来就考虑求出

b 的范围.因为 f ( x) a

在 [?8, ?2] 上 不 单 调 , 所 以 对 称 轴 x ? ?

2b b b ? ? (? 8 ? , 2, ?) 即 ? ( 2 , 8.) 设 2a a a
, 则

b ? t ? (2,8) ? t ? 2 ? (0, 6) a

f (1) ? b ? 2a

1?

2b 1 b 2 1 ? ( ) 1 ? 2t ? t 2 2 a 4 a ? 4 ? 1 t ? 8t ? 4 ? 1 [(t ? 2) ? 16 ? 8] ,这样利用重 b 4 t ?2 t ?2 4 t ?2 ?2 a
2 2 2

要不等式即可求出其最小值. 试题解析: (Ⅰ) a ? ?1, c ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 2bx ? ?( x ? b) ? b , ∴对称轴是直线 x ? b , ① b ? ?1 时, f ( x)max ? f (?1) ? ?1 ? 2b ②当 ?1 ? b ? 3 时, f ( x)max ? f (b) ? b
2

③当 b ? 3 时, f ( x)max ? f (3) ? ?9 ? 6b

- 15 -

??1 ? 2b, (b ? ?1) ? 2 综上所述, g (b) ? ?b , ( ?1 ? b ? 3) ; ????????????6 分 ??9 ? 6b, (b ? 3) ?
(Ⅱ)∵函数 f ( x) 的图象和 x 轴相切,∴ ? ? b ? 4ac ? 0 ?
2

c 1 b 2 ? ( ) , a 4 a

∵ f ( x) 在 [?8, ?2] 上不单调, ∴对称轴 x ? ? ∴

2b b ? ? ? (?8, ?2) 2a a

b ? (2,8) a

f (1) a ? 2b ? c ? ? b ? 2a b ? 2a

1?

2b c 2b 1 b ? 1 ? ? ( )2 a a? a 4 a , b b ?2 ?2 a a



b ? t ? (2,8) ? t ? 2 ? (0, 6) , a



f (1) ? b ? 2a

1?

2b 1 b 2 1 ? ( ) 1 ? 2t ? t 2 2 a 4 a ? 4 ? 1 t ? 8t ? 4 b t ?2 4 t ?2 ?2 a

1 16 1 16 ? [(t ? 2) ? ? 8] ? [2 (t ? 2) ] ? 8] ? 4 , 4 t ?2 4 t ?2
∴(

f (1) ) min ? 4 ,此时当且仅当 t ? 2 ? 4 ? (0,6) ? t ? 6 .???14 分 b ? 2a

考点:函数及其最值.

- 16 -


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