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山东省枣庄市滕州二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)


山东省枣庄市滕州二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C. 若 m∥α,m∥β,则 α

∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 2. (5 分)函数 f(x)=x ﹣2ax+1 在(﹣∞,2]上是单调递减函数的必要不充分条件是() A.a≥2 B.a=6 C.a≥3 D.a≥0
2

3. (5 分)抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 线的标准方程可能是() 2 2 A.x =4y B.x =﹣4y

的一个焦点重合,则该抛物

C.y =﹣12x

2

D.x =﹣12y

2

4. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈,则输出 的 S 属于()

A.

B.
2

C.

D.

5. (5 分) 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax (a≠0) 的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△ OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为() 2 2 2 2 A.y =±4x B.y =4x C.y =±8x D.y =8x

6. (5 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,则 C 的方程为()

,过

F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△ AF1B 的周长为 4

A.

+

=1

B.

+y =1

2

C.

+

=1

D.

+

=1

7. (5 分)双曲线 A.



=1 的渐近线与圆(x﹣3) +y =r (r>0)相切,则 r=() C. 3 D.6

2

2

2

B. 2

8. (5 分)设图 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点,双曲线

上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为() A. B. C.
2

D.3

9. (5 分)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣ 1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是() A.2 B. 3 C. D.

10. (5 分)△ ABC 的顶点 A(﹣5,0) ,B(5,0) ,△ ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上, 则顶点 C 的轨迹方程是() A. ﹣ =1 B. =1

C.



=1(x>3)

D.

=1(x>4)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 2 2 11. (5 分)若 a≤b,则 ac ≤bc ,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题 的个数是.

12. (5 分)椭圆 为.

+

=1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若 PF1=4,则∠F1PF2 的大小

13. (5 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点, 若线段 AB 的长为 8,则 p=.

2

14. (5 分)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(﹣1,0) ,B(0, D 满足| |=1,则| + + |的最大值是.

) ,C(3,0) ,动点

15. (5 分) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, A1, A2, B1, B2 为椭圆 的四个顶点,F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知命题 P:函数 y=loga(1﹣2x)在定义域上单调递增;命题 Q:不等式(a 2 ﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立.若 P∨Q 是真命题,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥底面 ABCD, AB=2,∠BAD= ,M 为 BC 上一点,且 BM= ,MP⊥AP.

(1)求 PO 的长; (2)求二面角 A﹣PM﹣C 的正弦值.

18. (12 分)是否存在同时满足下列两条件的直线 l: (1)l 与抛物线 y =8x 有两个不同的交点 A 和 B; (2)线段 AB 被直线 l1:x+5y﹣5=0 垂直平分.若不存在,说明理由,若存在,求出直线 l 的方程. 19. (12 分)已知椭圆 C:x +2y =4 (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB 求线段 AB 长度 的最小值.
2 2 2

20. (13 分)P(x0,y0) (x0≠±a)是双曲线 E:

=1(a>b>0)上一点,M,N 分

别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A、B 两点,O 为坐标原点,C 为 双曲线上一点,满足 =λ ,求 λ 的值.

21. (14 分)如图,O 为坐标原点,椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1F2,

离心率为 e1;双曲线 C2:

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 3F4,离心率为 e2,已

知 e1e2=

,且|F2F4|=

﹣1.

(1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边形△ PBQ 面积的最小值.

山东省枣庄市滕州二中 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C. 若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 考点: 平面与平面平行的判定. 专题: 证明题.

分析: 通过举反例可得 A、B、C 不正确,根据垂直于同一个平面的两条直线平行,可得 D 正确,从而得出结论. 解答: 解:A、m,n 平行于同一个平面,故 m,n 可能相交,可能平行,也可能是异面直 线,故 A 错误; B、α,β 垂直于同一个平面 γ,故 α,β 可能相交,可能平行,故 B 错误; C、α,β 平行与同一条直线 m,故 α,β 可能相交,可能平行,故 C 错误; D、垂直于同一个平面的两条直线平行,故 D 正确. 故选 D. 点评: 本题考查两个平面平行的判定和性质,平面与平面垂直的性质,线面垂直的性质, 注意考虑特殊情况,属于中档题. 2. (5 分)函数 f(x)=x ﹣2ax+1 在(﹣∞,2]上是单调递减函数的必要不充分条件是() A.a≥2 B.a=6 C.a≥3 D.a≥0 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 根据二次函数的性质得出:函数 f(x)=x ﹣2ax+1 在(﹣∞,2]上是单调递减函数, 对称轴 x=a,a≥2,再根据充分必要条件的定义可判断. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣2ax+1 在(﹣∞,2]上是单调递减函数,对称轴 x=a ∴a≥2, 根据充分必要条件的定义可判断:a≥0 是必要不充分条件, 故选:D 点评: 本题考查了函数的性质,充分必要条件的定义属于容易题,难度不大.
2 2

3. (5 分)抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 线的标准方程可能是() 2 2 A.x =4y B.x =﹣4y 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 由题意可知双曲线 点可知,即可求解 解答: 解:∵双曲线

的一个焦点重合,则该抛物

C.y =﹣12x

2

D.x =﹣12y

2

的焦点为(0,3) , (0,﹣3) ,从而所求抛物线的焦

的焦点为(0,3) , (0,﹣3)
2

当所求的抛物线的焦点为(0,3)时,抛物线方程为 x =12y 2 当所求的抛物线的焦点为(0,﹣3)时,抛物线方程为 x =﹣12y 结合选项可知,选项 D 正确 故选 D

点评: 本题主要考查了双曲线的性质的应用及由焦点坐 标求解抛物线的方程,属于基础 试题 4. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈,则输出的 S 属于()

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序框图,结合条件,利用函数的性质即可得到结论. 解答: 解:若 0≤t≤2,则不满足条件输出 S=t﹣3∈, 2 若﹣2≤t<0,则满足条件,此时 t=2t +1∈(1,9],此时不满足条件,输出 S=t﹣3∈(﹣2, 6], 综上:S=t﹣3∈, 故选:D 点评: 本题主要考查程序框图的识别和判断, 利用函数的取值范围是解决本题的关键, 比 较基础. 5. (5 分) 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax (a≠0) 的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△ OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为() 2 2 2 2 A.y =±4x B.y =4x C.y =±8x D.y =8x 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线方程表示出 F 的坐标,进而根据点斜式表示出直线 l 的方程,求得 A 的坐标,进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得 a,则抛物线的方程可 得. 解答: 解:抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F 坐标为 则直线 l 的方程为 ,
2 2



它与 y 轴的交点为 A 所以△ OAF 的面积为

, ,

解得 a=±8. 2 所以抛物线方程为 y =±8x, 故选 C. 点评: 本题主要考查了抛物线的标准方程, 点斜式求直线方程等. 考查学生的数形结合的 思想的运用和基础知识的灵活运用.

6. (5 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右 焦点为 F1、F2,离心率为 ,则 C 的方程为() =1 D. + =1

,过

F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△ AF1B 的周长为 4 A. + =1 B. +y =1
2

C.

+

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用△ AF1B 的周长为 4 ,求出 a= ,根据离心率为 ,可得 c=1,求出 b,

即可得出椭圆的方程. 解答: 解:∵△AF1B 的周长为 4 , ∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a, ∴4a=4 , ∴a= , ∵离心率为 ∴ ∴b= ,

,c=1, = ,

∴椭圆 C 的方程为

+

=1.

故选:A. 点评: 本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基 础题.

7. (5 分)双曲线 A.



=1 的渐近线与圆(x﹣3) +y =r (r>0)相切,则 r=() C. 3 D.6

2

2

2

B. 2

考点: 双曲线的简单性质;点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 求出渐近线方程,再求出圆心到渐近线的距离,根据此距离和圆的半径相等,求出 r. 解答: 解:双曲线的渐近线方程为 y=± 圆心(3,0)到直线的距离 d= x,即 x± = , y=0,

∴r= . 故选 A. 点评: 本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式.

8. (5 分)设图 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点,双曲线

上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为() A. B. C. D.3

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 要求离心率,即求系数 a,c 间的关系,因此只需用系数将题目已知的条件表示出 来即可.本题涉及到了焦点弦问题,因此注意结合定义求解. 解答: 解:由双曲线的定义得:|PF1|﹣|PF2|=2a, (不妨设该点在右支上) 又|PF1|+|PF2|=3b,所以 两式相乘得 故 e= . 故选 B 点评: 本题考查了双曲线的定义,离心率的求法.主要是根据已知条件找到 a,b,c 之间 的关系化简即可. 9. (5 分)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是() A.2 B. 3 C. D.
2

, .结合 c =a +b 得
2 2 2



考点: 直线与圆锥曲线的关系;点到直线的距离公式. 专题: 计算题.

分析: 先确定 x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线, 再由抛物线的定义得到 P 到 l2 的距离等于 P 2 到抛物线的焦点 F(l2,0)的距离,进而转化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F (l2,0)和直线 l2 的距离之和最小,再由点到线的距离公式可得到距离的最小值. 2 解答: 解:直线 l2:x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线, 由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(l2,0)的距离, 2 故本题化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(l2,0)和直线 l2 的距离之和最小, 最小值为 F(l2,0)到直线 l2:4x﹣3y+6=0 的距离, 即 d= ,

2

故选 A. 点评: 本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,考查基础知识的综合应用.圆锥曲线 是 2015 届高考的热点也是难点问题,一定要强化复习. 10. (5 分)△ ABC 的顶点 A(﹣5,0) ,B(5,0) ,△ ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上, 则顶点 C 的轨迹方程是() A. ﹣ =1 B. =1

C.



=1(x>3)

D.

=1(x>4)

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据图可得:|CA|﹣|CB|为定值,利用根据双曲线定义,所求轨迹是以 B 为焦点, 实轴长为 6 的双曲线的右支,从而写出其方程即得. 解答: 解:如图设△ ABC 与圆的切点分别为 D、E、F, 则有|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支, 方程为 故选 C ﹣ =1(x>3) .

点评: 本题考查轨迹方程,利用的是定义法,定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨 迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等) ,可用定义直接探求. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. (5 分)若 a≤b,则 ac ≤bc ,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题 的个数是 2. 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 首先,判断原命题为假命题,然后,分别写出它的其它三种形式的命题,然后,分 别判断真假. 解答: 解:若 a≤b,则 ac ≤bc ,为真命题; 2 2 逆命题为:若 ac ≤bc ,则 a≤b,为假命题; 2 2 否命题:若 a>b,则 ac >bc ,为假命题; 2 2 逆否命题:若 ac >bc ,则 a>b,为真命题; 故正确命题的个数为 2, 故答案为:2. 点评: 本题重点考查了四种命题的真假判断,属于中档题.
2 2

2

2

12. (5 分)椭圆 为 .

+

=1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若 PF1=4,则∠F1PF2 的大小

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过过点 P 作 x 轴垂线交于 D,利用椭圆的定义及勾股定理可得 F1D、F2D 的值, 在△ F1PF2 中利用余弦定理计算即得结论. 解答: 解:过点 P 作 x 轴垂线交于 D, 设 F1D=x,则 F2D=2 ﹣x, ∵PF1=4,∴PF2=6﹣4=2, 则
2


2 2

=PD =

2

﹣ ,



即 4 ﹣x =2 ﹣ 解得:x= ,

由余弦定理可知:cos∠F1PF2= = =﹣ ,

∴∠F1PF2= π, 故答案为: .

点评: 本题以椭圆为载体,考查求角的大小,涉及勾股定理、余弦定理等基础知识,注意 解题方法的积累,属于中档题. 13. (5 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点, 若线段 AB 的长为 8,则 p=2. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 抛物线的方程可求得焦点坐标, 进而根据斜率表示出直线的方程, 与抛物线的方程 联立消去 y,进而根据韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2,进而利用配方法求得|x1﹣x2|,利用弦 长公式表示出段 AB 的长求得 p. 解答: 解:由题意可知过焦点的直线方程为 ,
2

联立有



∴x1+x2=3p,x1x2= ∴|x1﹣x2|= =



求得 p=2

故答案为 2 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质. 涉及直线与抛物线的关系时, 往往是利用韦达 定理设而不求. 14. (5 分)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(﹣1,0) ,B(0, D 满足| |=1,则| + + |的最大值是 +1. ) ,C(3,0) ,动点

考点: 参数方程化成普通方程;向量在几何中的应用. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 由题意可得,点 D 在以 C(3 ,0)为圆心的单位圆上,设点 D 的坐标为(3+cosθ, sinθ) ,求得| =2 + + |= + + |的最大值. .根据 4cosθ+2 sinθ 的最大值为

,可得|

解答: 解: 由题意可得, 点 D 在以 C (3, 0) 为圆心的单位圆上, 设点 D 的坐标为 (3+cosθ, sinθ) , 则| + + |= sinθ 的最大值为 |的最大值是 = =2 , = .

∵4cosθ+2 ∴| + +

+1,

故答案为: +1. 点评: 本题主要考查参数方程的应用,求向量的模,属于中档题.

15. (5 分) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, A1, A2, B1, B2 为椭圆 的四个顶点,F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 解法一:可先直线 A1B2 的方程为 ,直线 B1F 的方程为 ,联立

两直线的方程,解出点 T 的坐标,进而表示出中点 M 的坐标,代入椭圆的方程即可解出离 心率的值; 解法二: 对椭圆进行压缩变换, , , 椭圆变为单位圆: x +y =1, F' ( , 0) . 根
'2 '2

据题设条件求出直线 B1T 方程,直线直线 B1T 与 x 轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率. 解答: 解法一: 由题意, 可得直线 A1B2 的方程为 两直线联立则点 T( 上,故有 ) ,则 M( , 直线 B1F 的方程为 ) ,由于此点在椭圆

,整理得 3a ﹣10ac﹣c =0 即 e +10e﹣3=0,解得 故答案为 解法二:对椭圆进行压缩变换,
'2 '2 2

2

2





椭圆变为单位圆:x +y =1,F'( ,0) . 延长 TO 交圆 O 于 N,易知直线 A1B2 斜率为 1,TM=MO=ON=1, 设 T(x′,y′) ,则 ,y′=x′+1, , ,

由割线定理:TB2×TA1=TM×TN, (负值舍去) ,

易知:B1(0,﹣1) ,直线 B1T 方程: 令 y′=0 ,即 F 横坐标 即原椭圆的离心率 e= .

故答案: . 点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 三、解 答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知命题 P:函数 y=loga(1﹣2x)在定义域上单调递增;命题 Q:不等式(a 2 ﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立.若 P∨Q 是真命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 命题 P:函数 y=loga(1﹣2x)在定义域上单调递增,利用指数函数与复合函数的 2 单调性可得 0<a<1;命题 Q:不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立, 对 a 分类讨论:当 a=2 时成立,当 a≠2 时,可得 得 a 范围.由于 P∨Q 是真命题,求出上述并集即可. 解答: 解:命题 P:函数 y=loga(1﹣2x)在定义域上单调递增,可得 0<a<1; ,解

命题 Q:不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立.当 a=2 时成立,当 a≠2 时,可得 ,解得﹣2<a≤2.

2

若 P∨Q 是真命题,则 0<a<1 或﹣2<a≤2. 因此实数 a 的取值范围是﹣2<a≤2. 点评: 本题考查了指数函数的单调性、 一元二次不等式的解集与判别式的关系、 简易逻辑 的判定,考查了推理能力,属于基础题. 17. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥底面 ABCD, AB=2,∠BAD= ,M 为 BC 上一点,且 BM= ,MP⊥AP.

(1)求 PO 的长; (2)求二面角 A﹣PM﹣C 的正弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)建立空间坐标系,利用向量法即可求 PO 的长; (2)求平面的法向量,利用向量法即可求二面角 A﹣PM﹣C 的正弦值. 解答: 解: (Ⅰ)连接 AC,BD, ∵底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥底面 ABCD, 故 AC∩BD=O,且 AC⊥BD, 以 O 为坐标原点,OA,OB,OP 方向为 x,y,z 轴正方向建立空间坐标系 O﹣xyz, ∵AB=2,∠BAD= , ,OB=AB?sin( ∠BAD)=1, ,0,0) ,

∴OA=AB?cos( ∠BAD)= ∴O(0,0,0) ,A( =(0,1,0) , 又∵BM= , ∴ 则 = = + =(﹣ =(﹣

,0,0) ,B(0,1,0) ,C(﹣ ,﹣1,0) ,

=(﹣

,﹣ ,0) , , ,0) , =(﹣ ,0,a) , =( ,﹣ ,a) ,

设 P(0,0,a) ,则

∵MP⊥AP, ∴ ? = ﹣a =0, , . =(﹣ ,0, ) , =( ,﹣ , ) , =( ,0, ) ,
2

解得 a=

即 PO 的长为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

设平面 APM 的法向量 =(x,y,z) ,平面 PMC 的法向量为 =(a,b,c) ,



,得



令 x=1,则 =(1,

,2) ,



,得



令 a=1,则 =(1,﹣

,﹣2) ,

∵平面 APM 的法向量 和平面 PMC 的法向量 夹角 θ 满足: cosθ= = =﹣ ,

故 sinθ=

=



点评: 本题主要考查空间二面角的求解以及,空间向量的应用,建立坐标系,求出平面的 法向量是解决本题的关键.考查学生的运算和推理能力. 18. (12 分)是否存在同时满足下列两条件的直线 l: 2 (1)l 与抛物线 y =8x 有两个不同的交点 A 和 B; (2)线段 AB 被直线 l1:x+5y﹣5=0 垂直平分.若不存在,说明理由,若存在,求出直线 l 的方程.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 假定存在同时满足下列两条件的直线 l.设在抛物线 y =8x 上两点 A(x1,y1) ,B (x2,y2) ,运用点差法求得 AB 的斜率,再由两直线垂直的条件和中点坐标公式计算可得 中点坐标,进而得到所求直线方程. 解答: 解:假定存在同时满足下列两条件的直线 l. 设在抛物线 y =8x 上两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 则有 y1 =8x1,y2 =8x2, 相减可得(y1﹣y2) (y1+y2)=8(x1﹣x2) , 可得 kAB= = ,
2

∵线段 AB 被直线 l1:x+5y﹣5=0 垂直平分, 由于 =﹣ ,则 kAB=5, =5,即有 y1+y2= ,



设线段 AB 的中点为 M(x0,y0) . 则有 y0= ,代入 x+5y﹣5=0 得 x0=1.于是 AB 中点为 M(1, ) . 故存在符合题设条件的直线,其方程为: y﹣ =5(x﹣1)即 25x﹣5y﹣21=0. 点评: 本题考查抛物线的方程和性质, 主要考查抛物线方程的运用, 同时考查两直线垂直 的条件和线段中点坐标公式的运用,属于中档题. 19. (12 分)已知椭圆 C:x +2y =4 (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB 求线段 AB 长度 的最小值. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)椭圆 C:x +2y =4 化为标准方程为
2 2 2 2

+

=1,求出 a,c,即可求椭圆 C 的

离心率; (2)先表示出线段 AB 长度,再利用基本不等式,求出最小值. 解答: 解: (1)椭圆 C:x +2y =4 化为标准方程为 ∴a=2,b= ,c= ,
2 2

+

=1,

∴椭圆 C 的离心率 e= =



(2)设 A(t,2) ,B(x0,y0) ,x0≠0,则 ∵OA⊥OB, ∴ ? =0,

∴tx0+2y0=0, ∴t=﹣
2 2



∵x0 +2y0 =4, ∴|AB| =(x0﹣t) +(y0﹣2) =(x0+
2 2 2

) +(y0﹣2)

2

2

=x0 +y0 +

2

2

+4=x0 +

2

+

+4=

+

+4(0<x0 ≤4) ,

2

因为

+

≥4(0<x0 ≤4) ,

2

当且仅当
2

=

,即 x0 =4 时等号成立,

2

所以|AB| ≥8. ∴线段 AB 长度的最小值为 2 . 点评: 本题考查椭圆的方程与性质,考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于 中档题.

20. (13 分)P(x0,y0) (x0≠±a)是双曲线 E:

=1(a>b>0)上一点,M,N 分

别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A、B 两点,O 为坐标原点,C 为 双曲线上一点,满足 =λ ,求 λ 的值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: (1)求出 P 满足的关系式,运用直线的斜率 公式,化简计算可得 a =5b , 2 2 2 2 c =a +b =6b ,再由离心率公式计算即可得到; (2)联立直线方程和双曲线方程,消去 y,得到 x 的方程,运用韦达定理,以及向量的共 2 线的坐标表示,化简整理计算,即可得到 λ +4λ=0,解方程即可得到所求值.

解答: 解: (1)点 P(x0,y0)在双曲线 E: 又 M(﹣a,0) ,N(a,0) . 由直线 PM,PN 的斜率之积为 .

=1 上,有



=1,



?

= ,即

= ,



=
2 2 2


2 2 2

可得 a =5b ,c =a +b =6b , 则 e= = ;
2 2 2

(2)由(1)得双曲线的方程为 x ﹣5y =5b , 联立 ,得 4x ﹣10cx+35b =0,
2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,







=(x3,y3) ,由


2

+

,即
2 2


2 2 2

又 C 为双曲线上一点,即 x3 ﹣5y3 =5b ,有(λx1+x2) ﹣5(λy1+y2) =5b , 2 2 2 2 2 2 化简得:λ (x1 ﹣5y1 )+(x2 ﹣5y2 )+2λ(x1x2﹣5y1y2)=5b , 2 2 2 2 2 2 又 A(x1,y1) ,B(x2,y2)在双曲线上,则 x1 ﹣5y1 =5b ,x2 ﹣5y2 =5b , 2 又有 x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5(x1﹣c) (x2﹣c)=﹣4x1x2+5c(x1+x2)﹣5c =﹣35b +
2 2 2 2

﹣5c =10b ,
2 2

2

2

即有 5b λ +5b +20λb =5b , 2 得:λ +4λ=0, 解出 λ=0,或 λ=﹣4. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查联立直线方程和双曲线方程,消去未知数,运 用韦达定理,同时考查向量共线的坐标表示,具有一定的运算量,属于中档题和易错题.

21. (14 分)如图,O 为坐标原点,椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1F2,

离心率为 e1;双曲线 C2:

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 3F4,离心率为 e2,已

知 e1e2=

,且|F2F4|=

﹣1.

(1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边形△ PBQ 面积的最小值.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)运用离心率公式,结合两点间的距离,可得 a,b,进而得到椭圆和双曲线的 方程; (2)可设直线 AB 的方程为 x=my﹣1.联立椭圆方程 +y =1,得(m +2)y ﹣2my﹣1=0,
2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,运用韦达定理和中点坐标公式,设出 PQ 的方程,联立双曲线 方程,求得 P,Q 的坐标和 PQ 的长,再由四边形 APBQ 面积 S= |PQ|?2d,化简整理,即可 得到最小值. 解答 : 解: (1)因为 e1e2= 所以
2 2


4 4 4

?

=

,即 a ﹣b = a ,

因此 a =2b ,即 a= b, 从而 F2(b,0) ,F4( b,0) , 于是 b﹣b=|F2F4|= ﹣1,所以 b=1,a= 故椭圆 C1 方程为
2

, ﹣y =1.
2

+y =1,双曲线 C2 的方程为

(2)因为直线 AB 不垂直于 y 轴且过点 F1(﹣1,0) , 故可设直线 AB 的方程为 x=my﹣1. 由联立椭 圆方程 +y =1,得(m +2)y ﹣2my﹣1=0,
2 2 2

易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

则 y1,y2 是上述方程的两个实根,所以 y1+y2=

,y1y2=



因此 x1+x2=m(y1+y2)﹣2=

,AB 的中点为 M(



) ,

故直线 PQ 的斜率为﹣ ,PQ 的方程为 y=﹣ x,即 mx+2y=0.
2 2 2 2 2

由联立双曲线方程,得(2﹣m )x =4,所以 2﹣m >0,x =

,y =



从而|PQ|=2

=2



设点 A 到直线 PQ 的距离为 d,则 B 点到直线 PQ 的距离也为 d, 所以 2d= ,

因为点 A,B 在直线 mx+2y=0 的异侧,所以(mx1+2y1) (mx2+2y2)<0, 于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|, 从而 2d= ,

又因为|y1﹣y2|=

=



所以 2d=



四边形 APBQ 面积 S= |PQ|?2d=
2

=2

?

而 0<2﹣m <2,故当 m=0 时,S 取得最小值 2. 四边形 APBQ 面积的最小值为 2. 点评: 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质, 主要考查离心率的公式和方程的运用, 同时 考查直线和椭圆方程、双曲线方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查化简整理的运算能 力,属于中档题.


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