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必修1 1.1集合复习,内容概要及巩固练习


必修 1 第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 知识点 1 元素与集合的概念 1.元素:一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写字母 a, b, c... 表示。 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合,通常用大写字母 A, B, C... 表示。 集合概念的三个性质: (1)描述性:集合是一个原始的不加定义的概念,像点、直线

一样,只能描述性地说明; (2)广泛性:凡是看得见,摸得着,想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象; (3)整体性:集合是一个整体,已暗含“所有” , “全部” 。 集合的分类:有限集和无限集。 知识点 2 集合中元素的特性 1.确定性:集合中的元素是确定的; 2.互异性:是指给定的一个集合的元素中,任何两个元素是不同的; 3.无序性:集合与其中元素的排列次序无关。 【例】判断下列每组对象能否构成一个集合: A.高一 1 班成绩好的同学; B.2010 年度诺贝尔经济学奖获得者; C.立方接近零的正数; D.2012 年伦敦奥运会所有比赛项目; E.1,2,3,2 知识点 3 元素与集合的关系 1.如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to) A ,记作 a ? A ; 2.如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to) A ,记作 a ? A 知识点 4 常用数集及表示符号
非负整数集(或自然数集) ,记作 N 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z 有理数集,记作 Q 实数集,记作 R

【例】下列关系中正确的是___________ A. 0 ? N * ; B. ? ? Q ; C. ? ? Q ; D. 0 ? N ; E.
2 ? R ; F. ?3 ? Z ; G. 0 ? Z ; F. 0.9 ? R

3 2

知识点 5 集合的表示方法 1.列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“ {} ”括起来表示集合的方法; 2.描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合的方法;一般形式 ?x ? I p( x)? 3.图示法:用数轴或 Venn 图(韦恩图)表示集合
1

例如表示 ?3 ? x ? 5 内的正整数 列举法: ?1,3,5?

描述法: x ? Z * ?3 ? x ? 5 或 x ?3 ? x ? 5,x ? Z *

?

? ?

?

Venn 图: 【例】1.用列举法表示下列集合
? ? 9 (1) A ? ? x ? N, x? N ? ? 9? x ? (2) B ? y y ? ? x 2 ? 6, x ? N , y ? N

?

?

2.用描述法表示下列集合
(1) ?2, 4,6,8,10,12? ; ?1 2 3 4 5 ? (2) ? , , , , ? ; ?3 4 5 6 7 ? (3)正偶数集; (4)被3除余2的正整数集合; (5)平面直角坐标系中坐标轴上点的集合; (6) ?1, 22 , 32 , 42 , ??

【巩固练习】 一、选择题 1.下列各组对象 ①接近于 0 的数的全体; ②比较小的正整数全体; ③平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体;④正三角形的全体; ⑤ 2 的近似值的全体.其中能构成集合的组数有( )

A.2 组 B.3 组 C.4 组 D.5 组 50 2.设集合 M={大于 0 小于 1 的有理数},N={小于 10 的正整数}, P={定圆 C 的内接三角形},Q={所有能被 7 整除的数}, 其中无限集是( ) A.M、N、P B.M、P、Q C.N、P、Q D.M、N、Q 3.下列命题中正确的是( ) A.{x|x2+2=0}在实数范围内无意义 B.{(1,2)}与{(2,1)}表示同一个集合 C.{4,5}与{5,4}表示相同的集合 D.{4,5}与{5,4}表示不同的集合 4.直角坐标平面内,集合 M={(x,y)|xy≥0,x∈R,y∈R}的元素所对应的点是( ) A.第一象限内的点 B.第三象限内的点 C.第一或第三象限内的点 D.非第二、第四象限内的点 5. 已知 M={m|m=2k, k∈Z}, X={x|x=2k+1, k∈Z}, Y={y|y=4k+1, k∈Z}, 则( A.x+y∈M B.x+y∈X C.x+y∈Y D.x+y ? M
2

)

6.下列各选项中的 M 与 P 表示同一个集合的是( ) 2 2 A.M={x∈R|x +0.01=0},P={x|x =0} B.M={(x,y)|y=x2+1,x∈R},P={(x,y)|x=y2+1,x∈R} C.M={y|y=t2+1,t∈R},P={t|t=(y-1)2+1,y∈R} D.M={x|x=2k,k∈Z},P={x|x=4k+2,k∈Z} 二、填空题 7.由实数 x,-x,|x|所组成的集合,其元素最多有______个. 8.集合{3,x,x2-2x}中,x 应满足的条件是______. 9.对于集合 A={2,4,6},若 a∈A,则 6-a∈A,那么 a 的值是______. 10.用符号∈或 ? 填空: ①1______N,0______N.-3______Q,0.5______Z, 2 ______R.
1 ______R, 5 ______Q,|-3|______N+,|- 3 |______Z. 2 11.若方程 x2+mx+n=0(m,n∈R)的解集为{-2,-1},则 m=______,n=______. 12.若集合 A={x|x2+(a-1)x+b=0}中,仅有一个元素 a,则 a=______,b=______.



?x ? y ? 1 ? 13.方程组 ? y ? z ? 2 的解集为______. ?z ? x ? 3 ?

14.已知集合 P={0,1,2,3,4},Q={x|x=ab,a,b∈P,a≠b},用列举法表示集合 Q =______. 15.用描述法表示下列各集合: ①{1,3,5,7,9,11}________________________________________________. ②{2,3,4}___________________________________________________________. 1 2 3 4 5 ③ { , , , , } ______________________________________________________. 9 16 25 36 49 16.已知集合 A={-2,-1,0,1},集合 B={x|x=|y|,y∈A},则 B=______. 三、解答题 17.集合 A={有长度为 1 的边及 40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素?试画出这些元 素来.

18.设 A 表示集合{2,3,a2+2a-3},B 表示集合{a+3,2},若已知 5∈A,且 5 ? B,求实 数 a 的值.

3

19.实数集 A 满足条件:1 ? A,若 a∈A,则

1 ? A. 1? a

(1)若 2∈A,求 A; (2)集合 A 能否为单元素集?若能,求出 A;若不能,说明理由; 1 (3)求证: 1 ? ? A . a

20.已知集合 A={x|ax2-3x+2=0},其中 a 为常数,且 a∈R ①若 A 是空集,求 a 的范围; ②若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ③若 A 中至多只有一个元素,求 a 的范围.

21.用列举法把下列集合表示出来: 9 ? N}; ①A= {x ? N | 9? x 9 ? N | x ? N}; ②B= { 9? x ③C={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N}; ④D={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}; ⑤E= {x |
p ? x, p ? q ? 5, p ? N, q ? N*}? q

22.已知集合 A={p|x2+2(p-1)x+1=0,x∈R},求集合 B={y|y=2x-1,x∈A}.

4

1.1.2 集合的基本关系 知识点 1 子集,真子集,集合相等 名称 文字语言 符号语言 若 a ? A ,则 a ? B ,称 对于两个集合 A,B 如果 为 A 是 B 的子集,记作: 集合 A 中任意一个元素 A? B或B ? A, 都是集合 B 的元素,我 子集 们就说这两个集合有包 读作: “集合 A 包含于集 含关系,称集合 A 为集 合 B ”或“集合 B 包含 合 B 的子集。 集合 A ” 。 如果集合 A 是集合 B 的 如果集合 A ? B , 但存在 子集,且在集合 B 中至 x ? B且x ? A ,则 A B , 真子集 少存在一个元素不是集 读作:集合 A 真包含于集 合 A 的元素,我们称集 合B 合 A 是集合 B 的真子集。 如果集合 A 是集合 B 的 若 A ? B 且 B ? A ,则称集 集合 子集, 集合 B 也是集合 A 合 A 与集合 B 相等,记作: 相等 的子集,则集合 A 与集 A?B; 合 B 相等 知识点 2 空集

图形语言

?, 1.空集: 不含任何元素的集合叫做空集, 记作: 并规定: 空集是任何集合的子集, 即? ? A,

显然有 ? ? ? 。 2.相关性质: (1)空集只有一个子集,即它本身; (2)空集是任何非空集合的真子集,若 ?

A ,则一定有 ? ≠ A .

【例】1.写出下列集合的所有子集: (1) {1, 2}

(2) {?3,5, 6}

(3) {a, b, c}

2.写出下列集合的真子集: (1) {a, b}

(2) {x, y, z}

(3) {?2,3,5}

归纳:含有 n 个元素的集合有______个子集,________真子集. 【例】已知集合 A ? ? x 1 ? ax ? 2? , B ? ? x ?1 ? x ? 1? ,求满足 A ? B 的实数 a 的取值范围.

5

【巩固练习】 考点一.判断集合间的关系 例 1:已知 M= ? y ? R y ? x ? N= ? x ? R x ? m2 ? ,则下列关系中正确的是
N A. M 【针对练习】





B. M = N

C. M ≠ N

D. N

M

1、已知集合 M ? {( x, y) | x ? y ? 0, xy ? 0} 和 P ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ,那么(

) )

A. P M B. M P C. M ? P D. M P 2、集合 A={x|x=2n+1,n∈Z}, B={y|y=4k±1,k∈Z},则 A 与 B 的关系为( A.A ? B.A ? B C.A=B D.A≠B ? ?B 3、集合 A ? ? x x ? 2k , k ? Z ? , B ? ?x x ? 4k ? 2, k ? Z?,则有( A. A ? B B. A ? B C. B ? A D. 以上都不是
y ? 1} 则集合 A, B 之间的关系是( x



4、设集合 A ? {( x, y ) | y ? x}, B ? {( x, y ) |



A、 A ? B B、 B ? A C、 A ? B D、以上都不是 5、已知集合 A= ?0,1? B= ?x x ? A?,则 A 与 B 的关系正确的是 A. A ? B B. A B C. B ? A D. A ? B 6、设集合 A={0,1},集合 B={x|x ? A },则 A 与 B 的关系如何?





7、已知 A ? {0,1}, B ? {x | x ? A}, C ? {x | x ? A, x ? N ?} ,试确定 A,B,C 之间的关系

考点二:确定集合的个数问题 例 2:满足关系式 ? 1,2? ? A ? ? 1,2,3,4,5? 的集合 A 的个数为( (A) 4 【针对练习】 1、集合 {a, b, c} 的子集有( A. 5 B. 6 C. 7 )个 D. 8 (B)6 (C) 7 (D) 8 )

2、满足 ?a?? M {a,b,c,d}的集合 M 共有( ) A.6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 15 个 3、若 A ? B, A ? C, B ? {0,1,2,3}, C ? {0,2,4,8} 则满足上述条件的集合 A 有 个 4、设 P 、 Q 为 两 个 非 空 实 数 集 合 , 定 义 集 合 P ? Q ? {a ? b | a ? P, b ? Q} , 若 P ? {0,2,5}, Q ? {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是________
6

考点三:利用集合间的关系求字母参数问题 例 3:已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5} , B ? {x | ?m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ,且 B ? A ,求实数 m 的取值 范围。

【针对练习】 1、设 A= ?x1 ? x ? 2?,B= ?x x ? a?若 A B,则实数 a 的取值范围 ( A. a ? 2 B. a ? 1 C.
a ?1



D.

a?2

2、已知集合 A ? {x | x 2 ? 4x ? 0} , B ? {x | x 2 ? ax ? a ? 0} ,若 B ? A ,求实数 a 满足的条件。

3、已知非空集合 A ? ?x 2a ? 3 ? x ? 3?, B ? ?x ?1 ? x ? 2a ?1? (1)若 B ? A .求实数 a 的取值范围 (2)若 A=B,求 a 的值。

4、已知 A ? {x ? R | x 2 ? 2x ? 8 ? 0}, B ? {x ? R | x 2 ? ax ? a 2 ? 12 ? 0} , B ? A, B ? ? ,求实数 a 的 取值集合。

考点四:集合相等问题 例 4:已知集合 M ? {a, a ? d , a ? 2d}, N ? {a, aq, aq2 }, a ? 0, M ? N ,求 q 的值。

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【针对练习】 1、下列命题中正确的是( ) A.{x|x2+2=0}在实数范围内无意义 B.{(1,2)}与{(2,1)}表示同一个集合 C.{4,5}与{5,4}表示相同的集合 D.{4,5}与{5,4}表示不同的集合 2、下列各选项中的 M 与 P 表示同一个集合的是( ) 2 2 A.M={x∈R|x +0.01=0},P={x|x =0} B.M={(x,y)|y=x2+1,x∈R},P={(x,y)|x=y2+1,x∈R} C.M={y|y=t2+1,t∈R},P={t|t=(y-1)2+1,y∈R} D.M={x|x=2k,k∈Z},P={x|x=4k+2,k∈Z} 3、下列各组集合中,表示同一集合的是 ( ) A. M ? ??3,2??, N ?? 2,3?? B. M ? ?3,2?, N ? ?2,3? C. M ? ?? x, y ? x ? y ? 1? , N ? ? y x ? y ? 1? D. M ? ?1,2?, N ? ??1.2?? 4、已知 A ? {x, x 2 , xy}, B ? {1, x, y}, A ? B, 求实数 x , y 的值。

5、含有三个实数的集合可表示为集合 {a, ,1} 也可表示为集合 {a 2 , a ? b,0} , 求 a 2004 ? b 2004

b a

考点五:空集问题 例 5:下面关系式① ? ⑥ ? ? {a} (7)
? {0}

{a}

② a {a}
?=

③ {a} ? {a}

④ {a} ?{a, b}
0 ??

⑤ a ?{a, b, c}
? ? {?}

(8) )

0

(9) 0?{?} (10)

(11)

(12)

? ? {?}

其中正确的是( A.5 个

( C.7 个 D.8 个



B.6 个

【针对练习】 1、集合 A={x|x2+x+1=0,x∈R} ,B={x|x(x2+6x+10)=0,x∈N} ,C={x|4x+5< 0,x∈Q} ,D={绝对值小于 2 的质数} ,其中是空集的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2 2 2、集合 A ? x x ? x ? 1 ? 0 , B ? x ? N x x ? 6 x ? 10 ? 0 ,

?

?

C ? ? x ? Q 4 x ? 5 ? 0? , D ? x x为小于2的质数

?

?

?

?

?

?

,其中为空集的有





A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3、下列表述正确的是( ) A. ?0? ? ? B. ?1, 2? ? ?2,1? C. ??? ? ? D. 0 ? N 4、数集 {0} 与 ? 的关系是( ) A、 {0}
?

B、 {0} ? ?

C.、 {0} ? ?

D、 {0} ? ?

8

1.1.3 集合的基本运算 知识点 1 并集、交集、补集 名称 文字语言 符号语言 图形语言 性质
(1) A ? B ? B ? A; (2) A ? A ? A; (3) A ? ? ? ? ? A ? A; (4) A ? ? A ? B ? , B ? ? A ? B ? ; (5)若A ? B, 则A ? B ? B.

并集 ( A? B )

一般地, 由所有属 于集合 A 或属于 集合 B 的元素所 组成的集合,称 A∪B 为集合 A 与 B 的 ={x|x∈A,或 x∈B} 并集。记作: A∪B,读作:“A 并 B”. 一般地,由属于 集合 A 且属于集 合 B 的元素所组 成的集合,叫做 集合 A 与 B 的交 集.记作:A∩B, 读作: “A 交 B”.

(1) A ? B ? B ? A;
A∩B ={x|∈A,且 x∈B}

交集 ( A? B )

(2) A ? A ? A; (3) A ? ? ? ? ? A ? ?; (4) A ? B ? A, A ? B ? B; (5)若A ? B, 则A ? B ? A.

全集/补集 ( CU A )

全集:一般地,如 果一个集合含有 我们所研究问题 中所涉及的所有 元素,那么就称 这个集合为全 集,通常记作 U。 补集: 对于全集 U 的一个子集 A, 由 CU A 全集 U 中所有不 ={x|x∈U 且 x∈A} 属于集合 A 的所 有元素组成的集 合称为集合 A 相 对于全集 U 的补 集,简称为集合 A 的补集, 记作: CU A .

(1) ? CU A ? ? U ; CU ? CU A ? ? A; CU U =?; CU ? =U ; (2) A ? ? CU A ? ? U ; A ? ? CU A ? ? ?; (3) A ? B ? ? CU A ? ? ? CU B ? ; (4)若A ? B, 则B ? ? CU A ? ? U .

交、并、补 运算的关 CU A ? CU B ? CU ? A ? B ? ; CU A ? CU B ? CU ? A ? B ? 系 类型 1 并集的运算与应用 【例】已知集合 A ? x x ? 2 ? 3? , B ? x 2 x ? 3 ? 3x ? a? ,求 A ? B .

?

?

9

【例】已知集合 A ? ?1,3, x? , B ? ?1, x 2 ? , A ? B ? ?1,3, x? ,求满足条件的实数 x 的值.

类型 2 交集的运算与应用 【例】设集合 A ? ?a 2 , a ? 1, ?3? , B ? ?a ? 3, 2a ? 1, a 2 +1? , A ? B ? ??3? ,求实数 a .

【例】设集合 A ? ?? x, y ? 2 x ? y ? 1, x, y ? R? , B ? 求 a 的值.

?? x, y ? ax

2

? 2 y ? a, x, y ? R ,若 A ? B ? ? ,

?

类型 3 全集与补集的运算与应用
1, 2, 3?,A= x ?U x 2 ? mx ? 0 ,若 CU A={1,2} 【例】设集合 U = ?0, ,求实数 m 的值.

?

?

类型 4 集合的混合运算 【例】已知全集 U = ? x x ? 4?,A= ? x ?2 ? x ? 3? , B ? ? x ?3 ? x ? 2? , 求: A ? B, ?CU A? ? B, A ? ?CU B ? , CU ? A ? B ? , ?CU A? ? ?CU B ?

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【巩固训练】 小试牛刀 1.设集合 M={4,5,6,8},集合 N={3,5,7,8},那么 M∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8} 2.设集合 A={x|2x+1<3},B={x|-3<x<2},则 A∩B 等于( ) A.{x|-3<x<1} B.{x|1<x<2} C.{x|x>-3} D.{x|x<1} 3.设全集 U={a,b,c,d,e},集合 M={a,c,d},N={b,d,e},那么(?UM)∩(?UN) 是( ) A.? B.{d} C.{a,c} D.{b,e} 4.设集合 A={x|x+1>0},B={x|x-2<0}, 则图中阴影部分表示的集 合为( ) A.{x|x>-1} B.{x|x<2} C.{x|x>2 或 x<-1} D.{x|-1<x<2} 巩固夯实 1.第二十九届夏季奥林匹克运动会于 2008 年 8 月 8 日在北京举行.若集合 A={参加北 京奥运会比赛的运动员},集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合 C={参加北京 奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是( ) A.A?B B.B?C C.A∩B=C D.B∪C=A 2.已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合 M∩N 为( ) A.x=3,y=-1 B.(3,-1) C.{3,-1} D.{(3,-1)} 3.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 S={1,3,5},T={3,6},则?U(S∪T)等于( ) A.? B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8} 4.已知 U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则( ) A.M∩N={4,6} B.M∪N=U C.(?UN)∪M=U D.(?UM)∩N=N 5.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,a-2,5},?UA={2,4},则 a 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.(2008 北京高考,文 1)若集合 A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1 或 x>4},则集合 A∩B 等于 ( ) A.{x|x≤3 或 x>4} B.{x|-1<x≤3} C.{x|3≤x<4} D.{x|-2≤x<-1} 2 7.设集合 A={-3,0,1},B={t -t+1}.若 A∪B=A,则 t=__________. 8.已知集合 A={0,m},B={n∈Z|0<n<3},若 A∩B≠?,则 m 的值为________. 9.设全集 U={0,1,2,3,4,5},A∩B={1},A∩(?UB)={2},(?UA)∩(?UB)={0,5},则(? UA)∪B=________. 10.设 A={x∈Z||x|≤6},B={1,2,3},C={3,4,5,6},求:
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(1)A∩(B∩C); (2)A∩?A(B∪C).

自我检测 1.已知全集 U=Z,A={-1,0,1,2},B={x|x2=x},则 A∩?UB 为( ) A.{-1,2} B.{-1,0} C.{0,1} D.{1,2} 2.已知集合 S={x∈R|x+1≥2},T={-2,-1,0,1,2},则 S∩T 等于( ) A.{2} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 3.已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(?UA)∪(?UB)等于( ) A.{1,6} B.{4,5} C.{1,2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7} 4.满足 M?{a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数是?( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 M={0,3,5},M∩(?UN)={0,3},则满足条件的集合 N 共有 ( ) A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.16 个 6.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合 ?U(A∪B)中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.设集合 U={1,2,3,4},N={1,2},M={2,4},则图中阴影部分所表示 的集合是( ) A.{1,2,4} B.{1,4} C.{1} D.{2} 8.如右图所示,全集为 I,非空集合 P、Q 满足 P?Q?I,若含 P、I、Q 的一个集合运算表达式使运算结果为?,则这个运算表达式可以是 __________.(只需写一个表达式) 9.定义集合 M 与 N 的新运算如下:M*N={x|x∈M∪N,且 x?M∩N}.若 M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3,6,9,12,15},则(M*N)*M=__________. 10.集合 A={x|-2<x<-1 或 x>1},B={x|a≤x≤b},若 A∪B={x|x>-2},A∩B ={x|1<x≤3}.求 a、b 的值.
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11. 已知 A={2,4, a3-2a2-a+7}, B={-4, a+3, a2-2a+2, a3+a2+3a+7}, 且 A∩B ={2,5}. (1)求实数 a 的值; (2)求 A∪B.

12. 已知全集 U={1,2,3,4,5}, A={x|x2-5x+m=0}, B={x|x2+nx+12=0}, 且(?UA)∪B ={1,3,4,5},你能求 m+n 的值吗?

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答案与解析
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课前预习
1.A 2.A 集合 A={x|2x+1<3}={x|x<1},借助数轴易知选 A. 3.A ?UM={b,e},?UN={a,c},于是(?UM)∩(?UN)={b,e}∩{a,c}=?. 4.D A={x|x>-1},B={x|x<2},于是 A∩B={x|-1<x<2}. 课堂巩固 1. D 参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛 的所有运动员,因此 A=B∪C. ? ? ?x+y=2, ?x=3, 2. D M、 N 中的元素是平面上的点, M∩N 是集合, 并且其中元素也是点, 解? 得? ? ? ?x-y=4, ?y=-1. 3.B S∪T={1,3,5,6},则?U(S∪T)={2,4,7,8}. 4.B 由 M、N 的元素容易知道 M∪N={2,3,4,5,6,7},即 M∪N=U. 5.C 由已知可得 3∈A,故 a-2=3,所以 a=5. 6.D 利用数轴表示,如图所示,可得 A∩B={x|-2≤x<-1}. 7.0 或 1 由 A∪B=A 知 B?A, ∴t2-t+1=-3①或 t2-t+1=0②或 t2-t+1=1③.①无解;②无解;③t=0 或 t=1. 8.1 或 2 化简 B={1,2},∵A∩B≠?, ∴m=1 或 2.

9.{0,1,3,4,5} 根据题设要求,将 6 个元素分别填入符合要求的集合中(如图所示),易得(?UA)∪B= {0,1,3,4,5}. 10.解:A={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}. (1)∵B∩C={3},∴A∩(B∩C)={3}. (2)由 B∪C={1,2,3,4,5,6},得?A(B∪C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}. ∴A∩?A(B∪C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}. 课后检测 1.A B={0,1},A∩?UB={-1,2}. 2.B (直接法)S={x∈R|x≥1},T={-2,-1,0,1,2},故 S∩T={1,2}. (排除法)由 S={x∈R|x≥1}可知 S∩T 中的元素比 0 要大,而 C、D 项中有元素 0,故排除 C、D 项, 且 S∩T 中含有元素 1,故排除 A 项. 3.D ?UA={1,3,6},?UB={1,2,6,7},则(?UA)∪(?UB)={1,2,3,6,7}. 4.B 由题意知 a1∈M,a2∈M,a3?M,a4 具有不确定性,故 M 可能为{a1,a2}或{a1,a2,a4},共 2 个. 5.C 集合 N 中没有元素 0,3,有元素 5,故集合 N 的个数为含元素 1,2,4 的集合的子集的个数 23=8 6.B A={x|x2-3x+2=0},因此 A={1,2},B={x|x=2a,a∈A},当 a=1 时,x=2;当 a=2 时, x=4.因此 B={2,4},此时 A∪B={1,2,4}.因此?U(A∪B)={3,5},其中含元素的个数为 2. 7.C 阴影部分可表示为(?UM)∩N={1,3}∩{1,2}={1}. 8.P∩(?IQ) 用 Venn 图表示含 I、P、Q 的运算表达式结果为?,只需无公共部分的两区域表示的集合 取交集即可.由 Venn 图,知 P∩(?IQ)或(?IQ)∩(Q∩P)或(?IQ)∩(Q∪P),(?IQ)∩(?QP),(?QP)∩P 均可. 9 . N 方 法 一 : ∵M∩N = {0,6,12} , ∴M*N = {2,3,4,8,9,10,15} . ∴(M*N)*M = {0,3,6,9,12,15}=N. 方法二:如图所示,由定义可知 M*N 为图中的阴影区域,∴(M*N)*M 为图中阴影Ⅱ和 空白的区域,∴(M*N)*M=N. 10.解:先在数轴上画出 A 的范围及 B 的范围.

若使 A∪B={x|x>-2},则应有-2<a≤-1,b≥1.
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若使 A∩B={x|1<x≤3},则-1≤a≤1,b=3.综上所述,a=-1,b=3. 11.解:(1)由题意,知 a3-2a2-a+7=5,解得 a=-1,1,2. 当 a=-1,1 时,A={2,4,5},B={-4,2,4,5}或{-4,1,4,12},均与已知 A∩B={2,5}矛盾; 当 a=2 时,符合题意,故 a=2. (2)此时 A∪B={2,4,5}∪{-4,2,5,25}={-4,2,4,5,25}. 点评:在处理集合运算时,对于能化简的集合要先进行化简.如果集合中含有字母,要注意对字母进 行讨论,如何选择正确的分类标准是关键.求出待定系数的值后,要进行检验.其中,集合中元素的互异 性是检验的一个依据. 12.解:∵U={1,2,3,4,5},(?UA)∪B={1,3,4,5},∴2∈A.又 A={x|x2-5x+m=0}, ∴2 是关于 x 的方程 x2-5x+m=0 的一个根,得 m=6 且 A={2,3}.∴?UA={1,4,5}. ∴3∈B 且 B={x|x2+nx+12=0}.∴3 一定是关于 x 的方程 x2+nx+12=0 的一个根. ∴n=-7 且 B={3,4}.∴m+n=-1. 点评:(1)全集是一个相对的概念,因研究问题的范围不同而有所变化,如在实数范围内解方程、不等 式,全集为 R,而在整数范围内解方程、不等式,全集可为 Z. (2)补集是相对于全集 U 而言的,它包含三层意思: ①A 是 U 的一个子集,即 A?U;②?UA 表示一个集合,且?UA?U;③?UA 是由 U 中不属于 A 的所 有元素组成的集合,即?UA={x|x∈U,且 x?A}.

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集合与集合的表示方法参考答案
一、选择题 1.A 2.B 3.C 4.D 5.A 6.C 解析:在选项 A 中,M= ? ,P={0},是不同的集合; 在选项 B 中,有 M={(x,y)|y=x2+1≥1,x∈R},P={(x,y)|x=y2+1≥1,y∈R},是不同的集 合,在选项 C 中,y=t2+1≥1,t=(y-1)2+1≥1,则 M={y|y≥1},P={t|t≥1},它们都是由不小于 1 的全体实数组成的数集,只是用不同的字母代表元素,因此,M 和 P 是同一个集合,在选项 D 中,M 是 由?,0,2,4,6,8,10,?组成的集合,P 是由?,2,6,10,14,?组成的集合,因此,M 和 P 是 两个不同的集合.答案:C. 二、填空题 7.2 8.x≠3 且 x≠0 且 x≠-1

?x ? ? 3, ? 2 根据构成集合的元素的互异性,x 满足 ? x ? 2 x ? ? 3, ? x 2 ? 2 x ? x. ? ?
解之得 x≠3 且 x≠0 且 x≠-1. 9.2 或 4 10.①∈,∈,∈, ? ,∈.②∈, ? ,∈, ? . 12. a ? 11.m=3,n=2.

1 1 , b ? .解析:由题意知,方程 x2+(a-1)x+b=0 只有等根 x=a,则 ? =(a-1)2-4b 3 9 1 1 =0①,将 x=a 代入原方程得 a2+(a-1)a+b=0②,由①、②解得 a ? , b ? . 3 9
13.{(1,0,2)} 14.Q={0,2,3,4,6,8,12} * 15.①{x|x=2n,n∈N 且 n≤6}, ②{x|2≤x≤4,x∈N},或{x|(x-2)(x-3)(x-4)=0} ③ {x | x ? 2} 三、解答题 17.解:有 4 个元素,它们分别是: (1)底边为 1,顶角为 40°的等腰三角形;(2)底边为 1,底角为 40°的等腰三角形;
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n , n ? N *且n ? 6} n?2

16.B={0,1,2}解析:∵y∈A,∴y=-2,-1,0,1,∵x=|y|,∴x=2,1,0,∴B={0,1,

(3)腰长为 1,顶角为 40°的等腰三角形;(4)腰长为 1,底角为 40°的等腰三角形.

18.解:∵5 ∈A,且 5 ? B.

?a 2 ? 2a ? 3 ? 5, ?a ? ?4或a ? 2, ∴? 即? ? 2. ? 5, ?a ? ?a ? 3 ?
∴a=-4

1 ? A ,即-1∈A. 1? 2 1 1 ∵-1∈A,-1≠1∴ ? A ,即 ? A . 2 1 ? (?1) 1 1 1 ∵ ? A, ? ? A ,即 2∈A. ? 1, ∴ 1 2 2 1? 2 1 1 由以上可知,若 2∈A,则 A 中还有另外两个数-1 和 ∴ A ? {?1, ,2} . 2 2 1 , 即 a2-a+1=0. (2)不妨设 A 是单元素的实数集.则有 a ? 1? a
19.证明:(1)若 2∈A,由于 2≠1,则 ∵?=(-1)2-4×1×1=-3<0, ∴方程 a2-a+1=0 没有实数根. ∴A 不是单元素的实数集.

1 ?A 1? a 1 1 ?A. ∴ ? A ,即 1 1? a 1? 1? a
(3)∵若 a∈A,则 ∴?

20.解:①∵A 是空集∴方程 ax2-3x+2=0 无实数根

②∵A 中只有一个元素,∴方程 ax2-3x+2=0 只有一个实数根. 当 a=0 时,方程化为-3x+2=0,只有一个实数根 x ? 当 a≠0 时,令 ? =9-8a=0,得 a ?

?a ? ? 0, 9 解得 a ? ? 8 ?? ? 9 ? 8a ? 0,

2 ; 3

9 ,这时一元二次方程 ax2-3x+2=0 有两个相等的实数根,即 8 9 A 中只有一个元素.由以上可知 a=0,或 a ? 时,A 中只有一个元素. 8
③若 A 中至多只有一个元素,则包括两种情形,A 中有且仅有一个元素,A 是空集,由①、②的结果 可得 a=0,或 a ?

9 . 8

21.解:①由 9-x>0 可知,取 x=0,1,2,3,4,5,6,7,8 验证,则 x=0,6,8 时
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9 ? 1, 9? x

3,9 也是自然数,∴A={0,6,8}②由①知,B={1,3,9}. ③∵y=-x2+6≤6,而 x∈N,y∈N,∴x=0,1,2 时,y=6,5,2 符合题意. ∴C={2,5,6}. ④点(x,y)满足条件 y=-x2+6,x∈N,y∈N,则有

? x ? 0, ? ? y ? 6,

? x ? 1, ? ? y ? 5,

? x ? 2, ? ? y ? 2.
*

∴D={(0,6),(1,5),(2,2)}.

? p ? 0, ? p ? 1, ? ?q ? 5, ?q ? 4, 1 2 3 p 又∵ x ? ,∴ E ? {0, , , ,4} 4 3 2 q
⑤由 p+q=5,p∈N,q∈N 得 ?

? p ? 2, ? ?q ? 3,

? p ? 3, ? p ? 4, ? ? ?q ? 2, ?q ? 1.

22.解:由已知, ? =4(p-1)2-4≥0,得 P≥2,或 P≤0, ∴A={p|p≥2,或 p≤0},∵x∈A,∴x≥2,或 x≤0. ∴2x-1≥3,或 2x-1 ≤-1,∴B={y|y≤-1,或 y≥3}.

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